二次函數(shù)的圖象和性質課件

二次函數(shù)的圖象和性質二次函數(shù)的概念和標準形式定義二次函數(shù)是指含有**一個**未知數(shù)且**最高次數(shù)為二**的函數(shù).標準形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)變量x是自變量,y是因變量.二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax^2+bx+c其中a,b,c為常數(shù)，且a≠0。系數(shù)的意義a決定拋物線的開口方向和形狀，b決定拋物線的對稱軸，c決定拋物線與y軸的交點。二次函數(shù)的判別法判別式二次函數(shù)y=ax2+bx+c的判別式Δ=b2-4ac判斷根的性質根據(jù)判別式Δ的值，可以判斷二次函數(shù)的根的情況。Δ>0二次函數(shù)有兩個不同的實數(shù)根。Δ=0二次函數(shù)有兩個相同的實數(shù)根。Δ<0二次函數(shù)沒有實數(shù)根，有兩個共軛復數(shù)根。二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一個拋物線，它是由一個頂點和兩條對稱軸組成的曲線。拋物線的形狀取決于二次函數(shù)系數(shù)的正負。當二次函數(shù)系數(shù)為正時，拋物線開口向上；當二次函數(shù)系數(shù)為負時，拋物線開口向下。二次函數(shù)圖像的形狀二次函數(shù)的圖像是一個拋物線。拋物線形狀取決于二次項系數(shù)a的正負。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。二次函數(shù)圖像的特點對稱性二次函數(shù)圖像關于對稱軸對稱，對稱軸是一條垂直于x軸的直線，其方程為x=-b/2a。開口方向二次函數(shù)圖像的開口方向取決于a的值。當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下。頂點二次函數(shù)圖像的頂點是圖像上最低或最高點，其坐標為(-b/2a,f(-b/2a))。二次函數(shù)的最大值和最小值1最大值開口朝下的二次函數(shù)，在對稱軸左側遞增，右側遞減，對稱軸上的點為函數(shù)的最大值點。1最小值開口朝上的二次函數(shù)，在對稱軸左側遞減，右側遞增，對稱軸上的點為函數(shù)的最小值點。二次函數(shù)的性質對稱性二次函數(shù)圖像關于對稱軸對稱.單調性二次函數(shù)圖像在對稱軸左側單調遞增,在對稱軸右側單調遞減.最大值或最小值當二次函數(shù)的開口向上時,函數(shù)有最小值;當開口向下時,函數(shù)有最大值.零點二次函數(shù)圖像與x軸的交點叫做二次函數(shù)的零點.二次函數(shù)的零點定義使二次函數(shù)值為零的自變量的值稱為二次函數(shù)的零點。求解求解二次函數(shù)的零點就是解方程f(x)=0，即ax2+bx+c=0。二次函數(shù)的增減性1增函數(shù)當自變量的值增大時，函數(shù)的值也隨之增大，稱為增函數(shù)。2減函數(shù)當自變量的值增大時，函數(shù)的值隨之減小，稱為減函數(shù)。3判斷方法觀察函數(shù)圖像的趨勢，如果圖像從左到右是上升的，則為增函數(shù)；如果圖像從左到右是下降的，則為減函數(shù)。二次函數(shù)的對稱性對稱軸二次函數(shù)的圖像關于一條直線對稱，這條直線叫做對稱軸。對稱中心對稱軸與圖像的交點叫做對稱中心，也是函數(shù)的頂點。對稱性應用對稱性可以幫助我們快速繪制二次函數(shù)圖像，并找出函數(shù)的最大值或最小值。二次函數(shù)的漸近線水平漸近線當自變量趨于正負無窮時，函數(shù)值趨于一個常數(shù)，則該常數(shù)所對應的直線稱為水平漸近線。垂直漸近線當自變量趨于某個常數(shù)時，函數(shù)值趨于正負無窮，則該常數(shù)所對應的直線稱為垂直漸近線。二次函數(shù)的實際應用二次函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，例如在工程學、物理學、經(jīng)濟學等領域都有著重要的應用。例如，在建筑工程中，拋物線形狀的拱橋能夠承受更大的壓力，從而提高橋梁的穩(wěn)定性和安全性。在物理學中，二次函數(shù)可以用來描述物體的運動軌跡，例如拋射運動和自由落體運動。拋物線的定義和性質定義拋物線是平面內到一個定點F(焦點)和一條定直線l(準線)距離相等的點的軌跡。性質拋物線具有以下性質：1.對稱軸：過焦點且垂直于準線的直線是拋物線的對稱軸。2.頂點：拋物線與對稱軸的交點稱為拋物線的頂點。拋物線的標準方程頂點式y(tǒng)^2=2px(p>0),開口向右；y^2=-2px(p>0),開口向左；x^2=2py(p>0),開口向上；x^2=-2py(p>0),開口向下。焦點式(x-h)^2=4p(y-k)(p>0),開口向上；(x-h)^2=-4p(y-k)(p>0),開口向下；(y-k)^2=4p(x-h)(p>0),開口向右；(y-k)^2=-4p(x-h)(p>0),開口向左。拋物線的圖像和特征拋物線是一個對稱的曲線，其形狀類似于一個開口向上的U形或開口向下的U形。拋物線的形狀取決于其開口方向和頂點的位置。開口方向由拋物線的系數(shù)決定，而頂點的位置由拋物線的頂點坐標決定。拋物線的特征包括：對稱性開口方向頂點坐標焦距準線拋物線與坐標軸的交點X軸交點令y=0，解方程即可Y軸交點令x=0，解方程即可拋物線的最大值和最小值開口向上最小值開口向下最大值拋物線的對稱性拋物線關于其對稱軸對稱。對稱軸垂直于準線，并經(jīng)過焦點。拋物線上任意一點與其關于對稱軸的對稱點的距離相等。拋物線的幾何性質焦點拋物線上任意一點到焦點的距離等于該點到準線的距離。準線拋物線與準線之間的距離始終保持不變。對稱性拋物線關于其對稱軸對稱。拋物線在實際中的應用橋梁設計拋物線形狀的橋梁具有良好的承重能力，可以有效地將壓力分散到橋梁結構的各個部分。天線設計拋物線形狀的天線可以集中無線電波，提高信號的強度和方向性，廣泛應用于通信和廣播領域。光學器件拋物線形狀的反射鏡可以將平行光線匯聚到焦點，或者將焦點的光線反射成平行光束，應用于望遠鏡、燈具等領域。二次函數(shù)的簡單變換平移將二次函數(shù)的圖像向左或向右平移，或向上或向下平移?？s放將二次函數(shù)的圖像沿著x軸或y軸進行拉伸或壓縮。對稱將二次函數(shù)的圖像關于x軸或y軸進行對稱變換。二次函數(shù)圖像的平移1上移將函數(shù)表達式中的常數(shù)項加上一個正數(shù)2下移將函數(shù)表達式中的常數(shù)項減去一個正數(shù)3左移將函數(shù)表達式中的自變量加上一個正數(shù)4右移將函數(shù)表達式中的自變量減去一個正數(shù)二次函數(shù)圖像的縮放1縱向拉伸當|a|>1時，圖像沿y軸方向拉伸，拉伸的倍數(shù)為|a|。2縱向壓縮當0<|a|<1時，圖像沿y軸方向壓縮，壓縮的倍數(shù)為|a|。3橫向壓縮當|b|>1時，圖像沿x軸方向壓縮，壓縮的倍數(shù)為1/|b|。4橫向拉伸當0<|b|<1時，圖像沿x軸方向拉伸，拉伸的倍數(shù)為1/|b|。二次函數(shù)圖像的對稱1對稱軸二次函數(shù)圖像關于對稱軸對稱2對稱點圖像上任意一點關于對稱軸的對稱點也在圖像上3頂點對稱軸與圖像的交點，也就是二次函數(shù)的頂點二次函數(shù)圖像的變換平移將圖像沿水平方向或垂直方向移動一定的距離。縮放將圖像沿水平方向或垂直方向拉伸或壓縮。對稱將圖像關于某條直線或某一點進行翻轉。旋轉將圖像繞某一點旋轉一定的角度。二次函數(shù)在實際生活中的應用拋物線橋梁拋物線橋梁的設計利用了拋物線的形狀，使橋梁具有良好的承重能力和穩(wěn)定性。衛(wèi)星天線衛(wèi)星天線通常采用拋物線形狀，以集中和反射電磁波。運動軌跡一些物體在運動過程中，其軌跡可以用二次函數(shù)來描述，例如拋射運動。二次函數(shù)的綜合應用及練習1實際問題建模將實際問題轉化為二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的性質求解。2圖形分析通過觀察二次函數(shù)圖像