《不完全角度下的CT重建算法分析》2100字

不完全角度下的CT重建算法分析1.1不完全角度的概念近年來，壓縮感知理論在各種領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注。與傳統(tǒng)的信號重建方法不同，CS理論REF_Ref70518298\r\h[3]只需幾個采樣點(diǎn)即可準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號。CS理論為研究不完全角重構(gòu)問題提供了一種新的途徑。有限角度問題和稀疏角度問題都屬于不完全角度問題。有限角問題是指掃描角度小于180°；稀疏角度問題是指在在一定的掃描角度的范圍內(nèi)，相鄰掃描角度之間會存在空間REF_Ref23393\r\h[17]，也就是等距掃描。在下文會分別介紹。1.2不完全角度的重建問題不完全角度重建是CT圖像重建中的一個難題。如下圖：圖2-1(a)原始圖像(數(shù)字體膜)(b)稀疏角度重建結(jié)果(c)有限角度重建結(jié)果REF_Ref71047478\r\h[4]由圖可以看出，不完全角度數(shù)據(jù)投影是，F(xiàn)BP算法的重建質(zhì)量會受到很大的影響：如圖2-1(b)所示，稀疏角度的情況下，因?yàn)閿?shù)據(jù)投影不完全，所以結(jié)果會出現(xiàn)條紋狀的影像，圖像的細(xì)節(jié)也會變得模糊不清；如圖2-1(c)所示，在有限角度的情況下因?yàn)槿笔Я诉B續(xù)角度范圍的投影數(shù)據(jù)，所以FPB重建圖像在部分方向上的信息會缺失很多。由計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)可知，分析角度不足相關(guān)問題時(shí)，由于被測目標(biāo)的投影數(shù)據(jù)量的缺失無法滿足解析法必要的條件，使用解析重建算法時(shí)就不能獲得更好的重建結(jié)果，由于這個原因?qū)＜覍W(xué)者們一般使用迭代算法，因?yàn)榈惴▽?shù)據(jù)完整性的要求較低。但是迭代算法占用的儲存空間很大，并且運(yùn)算時(shí)間跟解析算法相比也有著很大的差異。所以，對于有限角度數(shù)據(jù)重建問題，現(xiàn)已得出的重建算法在重建速率和重建準(zhǔn)確率上都不能滿足很高的要求。由于這個原因，在諸多對應(yīng)的使用條件下，大多都是重建算法成為限制有限角度問題分析的最致命的問題REF_Ref23393\r\h[17]。1.1.1正則化框架在圖像重建的過程中會遇到很多的影響因素，但是主要的影響因素便是問題的不適定性，不適定性也可以叫做反問題，它是相對于適定性給出的結(jié)論，不滿足適定性定義的問題便可以叫做適定性，它的概念可以由Hadamard引入REF_Ref70518267\r\h[6]。設(shè)X(解空間)和Y(數(shù)據(jù)空間)為度量空間，ρx和ρy分別是X和Y的度量，我們不妨引入下面這個例子： (1.1.1)下文展現(xiàn)出適定性的基本原理：稱方程(1.1.1)是適定且同時(shí)滿足三個條件:(1)(解的存在性)對任意y∈Y，都存在a∈X滿足方程(1.1.1)。(2)(解的唯一性)設(shè),∈Y,若,分別是方程(1.1.1)對應(yīng)于≠的解，則有≠。(3)(解的穩(wěn)定性)對任意ε>0，存在δ(ε)>0，只要 (1.1.2)便有 (1.1.3)反之，若便稱其為不適定的。對于不適定問題的研究,通常使用正則化方法。定義1.1.2: (1.1.4)對所有x∈X成立，α稱為正則化參數(shù)。下面是Tikhonov正則化方法的求解過程REF_Ref70518236\r\h[7]。在求解線性代數(shù)方程組Fx=y時(shí)，問題是不適定的，如果想讓問題變?yōu)檫m定性，這時(shí)候就需要在已經(jīng)獲得的函數(shù)上加上一個罰項(xiàng)，這樣函數(shù)便由以前的不適定變味了適定，這樣就方便了問題的求解，變化后的新問題變?yōu)椋? (1.1.5)其中,叫做正則化參數(shù)。求的極小值，等同于求(1.1.1)式近似解。從上面的基本介紹中我們不難發(fā)現(xiàn)，正則化理論對于不適定問題的處理,本質(zhì)上是加入一些先驗(yàn)信息進(jìn)行約束，得到問題的穩(wěn)定近似解。1.1.2稀疏優(yōu)化理論伴隨著信息論的發(fā)展與成熟，稀疏性作為衡量信號壓縮性的指標(biāo)，一直被人們高度重視。在過去的30多年里，稀疏性在信息處理領(lǐng)域顯示出巨大的作用。對于Ax=b，通常是沒有辦法求出唯一解的。信號的某些部分沒有辦法觀察到，這會讓觀測到的信號與原信號出現(xiàn)偏差。導(dǎo)致專家學(xué)者們觀測到的向量b的長度會小于實(shí)際中的信號x，因?yàn)橛^測中的偏差，這就導(dǎo)致沒有辦法將唯一確定的信號x恢復(fù)出來。但是，如果信號x是稀疏的，那么： (1.1.6)其中，。表示信號x非0分量的個數(shù)。對于行數(shù)量為m，列數(shù)量為n且滿秩的矩陣A，如果數(shù)量少于矩陣A行數(shù)目的一半，滿足上述條件，就可以恢復(fù)出x。再欠定方程組Ax=b中可求出唯一的稀疏解REF_Ref70518136\r\h[8]。通過各路專家學(xué)者的不懈努力,專家學(xué)者探究出了范函數(shù)聯(lián)系著信號的稀疏程度，如下文所示： (1.1.7)經(jīng)過專家學(xué)者們不斷地研究，人們發(fā)現(xiàn)若是想恢復(fù)稀疏信號，那么重要的是研究問題是否具有相同的意義。由于這個原因，想要恢復(fù)稀疏信號，首先就要研究問題的等價(jià)。專家學(xué)者們提出了CS理論REF_Ref70518136\r\h[8]，該理論回答了關(guān)于與等價(jià)的一些關(guān)鍵問題。定理1.1.1假設(shè)存在一個子集T，即，如果滿足: (1.1.8)我們就可以用概率不少于重建出f:，對任意的(1.1.9)定理1.1.1表明需要重建的信號的疏密程度在該模型下與觀測角度的數(shù)量相等。并且，f是否能被精確重構(gòu)，只取決于有效測量的個數(shù)，而不取決于f在頻域中的位置。這對于不完全角度重建，特別是有限角度重建具有重要意義，上文提到的這種重建方式，它可以只關(guān)注獲取到的信息的數(shù)量，而不用去考慮是通過什么方式收集到的信息。因?yàn)檫@個原因，它的優(yōu)點(diǎn)便可以顯現(xiàn)出來：在比較容易獲取信息的地方可以盡量多的獲取信息，在不容易獲取信息的地方可以獲取比較少的信息，甚至可以不獲取信息。CS理論的提出，對研究稀疏優(yōu)化理論有著非常重大的意義，它的基本結(jié)論還有更多的形式，在這就不一一列舉上文說明了，想要在稀疏優(yōu)化理論上對不完全角度進(jìn)行重建，也就是利用理論的結(jié)論與優(yōu)化算法，設(shè)計(jì)具體的不完全角度重建算法，在較少的采集角度數(shù)量下獲得較好的重建效果。從上面的定理形式中我