2024-2025學(xué)年重慶市榮昌區(qū)高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市榮昌區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（共8題，每題5分．）1.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓位置不可能為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由圓的位置和直線所過定點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線過圓內(nèi)定點(diǎn)，斜率可正可負(fù)可為0，ABD選項(xiàng)都有可能，C選項(xiàng)不可能.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（）A. B.1 C. D.5【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B3.若△的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，則BC邊上的高所在直線的方程為（）．A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)所在直線的斜率求得高線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，故可得所在直線的斜率為，則邊上的高所在直線的斜率，又其過點(diǎn)，故其方程為，整理得.故選：B.4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，卡門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時(shí)所經(jīng)過的路程為（）A.9cm B.10cm C.14cm D.18cm【正確答案】A【分析】由題意，結(jié)合橢圓的相關(guān)概念，將問題轉(zhuǎn)化為求，由已知條件離心率，結(jié)合其公式，可得答案.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)榇藱E圓的離心率為，且，所以，，所以，所以根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時(shí)所經(jīng)過的路程為．故選：A.5.已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作圓的切線，若切線長為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【正確答案】A【分析】由圓的切線的性質(zhì)可求得PC，結(jié)合拋物線方程計(jì)算可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離.詳解】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為Q，則|CQ|=1,|PQ|=26則PC=設(shè)Px,y，則由兩點(diǎn)間距離公式得到(x?4)解得，因?yàn)閥2=8x≥0，所以，因?yàn)榈臏?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離PE為3??2=5.故選：A.6.橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)M在橢圓上，且，則M到y(tǒng)軸的距離為（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)，代入橢圓方程；根據(jù)及向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，可得解方程組即可求得的值，進(jìn)而可得M到y(tǒng)軸的距離.【詳解】設(shè)，點(diǎn)M在橢圓上，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，則，，所以，，由，可得，化簡可得聯(lián)立可解得，故M到y(tǒng)軸距離為，故選：C.本題考查了點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.已知點(diǎn)，圓，若圓C上存在點(diǎn)P使得，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以點(diǎn)A為圓心，半徑為2作圓，根據(jù)點(diǎn)既在圓上，也在圓上，根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)的條件列不等式即可求的取值范圍.【詳解】由，則點(diǎn)P在圓上，又有點(diǎn)P在圓C上，所以圓A和圓C有公共點(diǎn)（P)，兩圓半徑分別為2、1，所以，所以.故選：A．8.已知雙曲線上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，以及雙曲線上的另一點(diǎn)C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，則可取，代入雙曲線方程整理可得，結(jié)合漸近線列式求解即可.【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則可取，則，整理得，解得，即，可得，則，所以該雙曲線離心率的取值范圍是．故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.巧妙設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)，根據(jù)垂直和長度關(guān)系可??；2.根據(jù)漸近線的幾何意義可得.二、多選題（共3題，每題6分．全部選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.若直線與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)，則的焦點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)的坐標(biāo)為12,0；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得或（舍去），此時(shí)對(duì)應(yīng)的的坐標(biāo)為1,0.故選：BC.10.已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B.圓與圓有三條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】根據(jù)定點(diǎn)的特征即可求解A，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解B，根據(jù)垂直時(shí)即可結(jié)合圓的弦長公式求解C，根據(jù)直線經(jīng)過圓心即可求解D.【詳解】對(duì)于A，由直線的方程，可知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由圓的方程，可得圓心，半徑，又由，由于，所以圓與圓相交，圓與圓有兩條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長最短，最短弦長為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線，將圓心代入直線的方程，可得，所以圓上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，故D正確，故選:ACD.11.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.ABC.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對(duì)稱軸變化，即可確定拋物線方程；對(duì)于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即得；對(duì)于C，將直點(diǎn)線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求得弦長，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長最大值；對(duì)于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對(duì)陰影部分面積大小進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對(duì)稱性，可得,故，即B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn),由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,因,則點(diǎn)到直線的距離為，于是,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.思路點(diǎn)睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應(yīng)用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對(duì)稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.三、填空題（共3題，每題5分．其中第14題第一空2分，第二空3分．）12.已知點(diǎn)分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為______．【正確答案】##【分析】判斷兩直線平行，即可判斷的最小值為平行直線與的距離，根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意可知直線，直線，即，則兩直線斜率均為-2，且兩直線不重合，所以直線，所以當(dāng)且時(shí)，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，所以，故13.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若使得的直線恰有條，則實(shí)數(shù)___________.【正確答案】8【分析】首先求出、、，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知必有一條弦垂直于軸或軸，求出軸、軸時(shí)的弦長，即可得解.【詳解】雙曲線，則，，，則右焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，使得的直線恰有條，由雙曲線的對(duì)稱性知必有一條弦垂直于軸或軸.若軸，由，解得或，所以，即，符合題意；若軸，由，解得或，此時(shí)，為最短弦長，只有一個(gè)解，而不是三個(gè)解，不符合題意，故舍去，綜上可得.故14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置著一個(gè)邊長為1等邊三角形，且滿足與軸平行，點(diǎn)在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則的最小正周期為______；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為______.【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得的軌跡（如圖所示），再根據(jù)軌跡可得的周期和相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)，如圖，當(dāng)三角形沿軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，開始時(shí)，先繞旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)，然后再以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)，當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時(shí)，不旋轉(zhuǎn)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)從開始到時(shí)是一個(gè)周期，故的周期為，如圖，為相鄰兩個(gè)零點(diǎn)，在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：.故答案為.方法點(diǎn)睛：以圖形旋轉(zhuǎn)為背景的函數(shù)問題，應(yīng)該通過前幾次的旋轉(zhuǎn)得到周期性，再在一個(gè)周期內(nèi)討論對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)即可.四、解答題（共5題，共77分．）15.在直角坐標(biāo)系中，，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由為直徑，可知圓心及半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得解.【小問1詳解】由已知，，則M1,1，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】由直線，即，又直線與圓相切，可得，解得.16.已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可知所求軌跡為拋物線，結(jié)合條件可寫出方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程消元后根據(jù)韋達(dá)定理可得關(guān)系式，結(jié)合，可解出方程組，繼而利用弦長公式求解即可.【小問1詳解】由題意，到F1,0的距離和到直線的距離相等.故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)Ax則，因?yàn)?，則，解方程組，可得，或所以17.如圖，在四棱錐中，平面，底面ABCD是正方形，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，.（1）若E是BC的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求直線CF與平面ABF所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取PA的中點(diǎn)G，連接GE，GF，證四邊形ECFG是平行四邊形，再由線面平行的判定定理推理作答.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【小問1詳解】取PA的中點(diǎn)G，連接GE，GF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)，且底面是正方形，則，即四邊形是平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐P-ABCD中，平面，底面ABCD是正方形，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，，設(shè)平面ABF的法向量為，則，令，得，設(shè)直線CF與平面ABF所成角為，因此，而，則，所以直線CF與平面ABF所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：直線的斜率為定值；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由題意可得的關(guān)系，求解即可.（2）設(shè)，求得弦長與原點(diǎn)到直線的距離，由面積可求直線的方程.【小問1詳解】由已知可得，解得，所以雙曲線方程為，設(shè)，所以，兩式相減，可得，又線段的中點(diǎn)為，所以，，所以，解得，所以直線的斜率為定值；【小問2詳解】由（1）設(shè)直線的方程為，由，所以，整理可得，所以，解得或，所以，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離為,所以的面積為，化簡可得，解得，所以直線的方程．19.將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為．（1）若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；（2）設(shè)橢圓，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求其最小值；（3）若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點(diǎn)記為，試判斷的垂心是否都在橢圓上，并說明理由．【正確答案】（1）或；（2），（3）垂心在橢圓上，理由見解析【分析】（1）求得橢圓的離心率，分類討論可求得；（2）可得直線的方程分別為，，分別與橢圓聯(lián)立方程，利用判別式為0,可得，，進(jìn)而可求取得最小值；（3）不妨設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，此時(shí)，的垂心的坐標(biāo)為，連接，可求得，可得，利用可得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．則或；【小問2詳解】易得，所以直線的方程分別為，，聯(lián)立