2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項復(fù)習(xí)-圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達、光學(xué)性質(zhì)問題

第第頁2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項復(fù)習(xí)—圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達、光學(xué)性質(zhì)問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 6題型一：仿射變換問題 6題型二：非對稱韋達問題 8題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì) 10題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì) 12題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì) 1403過關(guān)測試 16

一、仿射變換問題仿射變換有如下性質(zhì)：1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；3、其它不變關(guān)系．我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：（1）點變?yōu)?；?）直線斜率變?yōu)?，對?yīng)直線的斜率比不變；（3）圖形面積變?yōu)?，對?yīng)圖形面積比不變；（4）點、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；（5）弦長關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標縱坐標斜率面積弦長不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點分線段的比二、非對稱韋達問題在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時，我們會遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達”．三、光學(xué)性質(zhì)問題1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如圖1）．【引理1】若點在直線的同側(cè)，設(shè)點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線和直線的交點．【引理2】若點在直線的兩側(cè)，且點到直線的距離不相等，設(shè)點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點，若點在橢圓外，則．2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點（如圖）．【引理4】若點在直線的同側(cè)，設(shè)點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線和直線的交點．【引理5】若點在直線的兩側(cè)，且點到直線的距離不相等，設(shè)點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關(guān)于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．【引理6】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點．【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點，入射光線從點發(fā)出射到拋物線上的點，求證：反射光線平行于軸．題型一：仿射變換問題【典例1-1】如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為．【典例1-2】Р是橢圓上任意一點，O為坐標原點，，過點Q的直線交橢圓于A，B兩點，并且，則面積為．【變式1-1】已知橢圓的標準方程為．(1)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．(2)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．【變式1-2】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0經(jīng)過點，其離心率為，設(shè)，，是橢圓(1)求橢圓的標準方程；(2)證明：的面積是一個常數(shù)．【變式1-3】對于橢圓，令，，那么在坐標系中，橢圓經(jīng)伸縮變換得到了單位圓，在這樣的伸縮變換中，有些幾何關(guān)系保持不變，例如點、直線、曲線的位置關(guān)系以及點分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變?yōu)樵鹊?，由此我們可以借助圓的幾何性質(zhì)處理一些橢圓的問題．(1)在原坐標系中斜率為k的直線l，經(jīng)過，的伸縮變換后斜率變?yōu)?，求k與滿足的關(guān)系；(2)設(shè)動點P在橢圓上，過點P作橢圓的切線，與橢圓交于點Q，R，再過點Q，R分別作橢圓的切線交于點S，求點S的軌跡方程；(3)點）在橢圓上，求橢圓上點B，C的坐標，使得△ABC的面積取最大值，并求出該最大值．【變式1-4】在平面直角坐標系xOy中，若在曲線的方程中，以（為非零的正實數(shù)）代替得到曲線的方程，則稱曲線關(guān)于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比.(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線的方程；(2)射線的方程，如果橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點A、B，且，求橢圓的方程；(3)對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換，得拋物線；如此進行下去，對拋物線作變換，得拋物線，…若，，求數(shù)列的通項公式.題型二：非對稱韋達問題【典例2-1】（2024·湖北宜昌·二模）已知、分別是離心率的橢圓的左右頂點，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.【典例2-2】已知、分別是橢圓的右頂點和上頂點，、在橢圓上，且，設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值．【變式2-1】已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，分別為左右頂點，直線：與橢圓交于兩點，當時，是橢圓的上頂點，且的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線交于點，證明：點在定直線上．(3)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值．【變式2-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．【變式2-3】已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．【變式2-4】（2024·湖北·一模）如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)【典例3-1】歐幾里德生活的時期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點.現(xiàn)有橢圓，長軸長為，從的左焦點發(fā)出的一條光線，經(jīng)內(nèi)壁上一點反射后恰好與軸垂直，且.(1)求的方程;(2)設(shè)點，若斜率不為0的直線與交于點均異于點，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.【典例3-2】阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進一步研究了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，例如橢圓的光學(xué)性質(zhì)：（如圖1）從橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上．在對該性質(zhì)證明的過程中（如圖2），他還特別用到了“角平分線性質(zhì)定理”：，從而得到，而性質(zhì)得證根據(jù)上述材料回答以下問題(1)如圖3，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分別為，一束光線從F1?1,0射出，經(jīng)橢圓上點反射：處法線（與橢圓在處切線垂直的直線）與(2)已知橢圓，長軸長為，焦距為，若一條光線從左焦點射出，經(jīng)過橢圓上點若干次反射，第一次回到左焦點所經(jīng)過的路程為，求橢圓的離心率(3)對于拋物線，猜想并證明其光線性質(zhì)．【變式3-1】（2024·高三·安徽池州·期末）已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為8，橢圓C的離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，若橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，動直線l交橢圓C于P、Q兩點，且始終滿足，作交于點M，求的最大值．【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為8，T的離心率為．(1)求橢圓T的標準方程；(2)設(shè)，且，過點D的直線l與橢圓T交于不同的兩點M，N，是T的右焦點，且與互補，求面積的最大值．題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)【典例4-1】雙曲線在物理學(xué)中有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等．(1)已知A、B是在直線l兩側(cè)且到直線l的距離不相等的兩點，P為直線l上一點．試探究當點P的位置滿足什么條件時，取最大值；(2)若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱．證明：由雙曲線的一個焦點射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點．【典例4-2】（2024·遼寧丹東·一模）我們所學(xué)過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點有關(guān)．如從雙曲線的一個焦點處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，經(jīng)反射后光線的反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點處的切線）．已知雙曲線的左右焦點分別為，，從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點P處（點P在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過點．

(1)請根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問題：當，，且直線的傾斜角為時，求反射光線所在的直線方程；(2)從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點處，且三點共線，經(jīng)雙曲線反射后過點，，，延長，分別交兩條漸近線于，點是的中點，求證：為定值．(3)在（2）的條件下，延長交y軸于點，當四邊形的面積為8時，求的方程．【變式4-1】（2024·安徽安慶·一模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為、，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的、兩點反射后，分別經(jīng)過點和，且，.

(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)、為雙曲線實軸的左、右頂點，若過的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由．【變式4-2】鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡爾坐標系中的方程與在平面直角坐標系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點，為直線上一點.試探究當點的位置滿足什么條件時，取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個焦點射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點.題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)【典例5-1】拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標原點，點在拋物線上，且其縱坐標為，滿足.(1)求拋物線的標準方程；(2)已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數(shù)的值.【典例5-2】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線或其反向延長線必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點．一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點反射后，再經(jīng)C上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點．(1)求證：；(2)若PB平分，求點B到直線QP的距離．【變式5-1】拋物線具有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.如圖，已知拋物線的焦點為，為坐標原點.一條平行于軸的光線從上方射向拋物線，經(jīng)拋物線上，兩點反射后，又沿平行于軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過向拋物線的準線作垂線，垂足為，證明：，，三點共線.【變式5-2】（2024·高三·青海西寧·開學(xué)考試）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對稱軸平行．已知拋物線C：，如圖，點F為C的焦點，過F的光線經(jīng)拋物線反射后分別過點，．

(1)求C的方程；(2)設(shè)點，若過點的直線與C交于R，T兩點，求面積的最小值．1．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．2．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（

）A． B． C． D．3．（2024·高三·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．4．橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關(guān)于的對稱點為，若，，則（

）注：表示面積.A．2 B． C．3 D．5．（多選題）（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過的右支上的兩點反射后，分別經(jīng)過點和，其中共線，則（

）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當點的坐標為時，光線由經(jīng)過點到達點所經(jīng)過的路程為6C．當時，的面積為12D．當時，6．過橢圓的右焦點F的直線與橢圓交于A，B兩點，則面積最大值為.7．已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實數(shù)），求.8．橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．是上的動點，點，若的最大值為6，動直線為此橢圓的切線，右焦點關(guān)于直線的對稱點，則橢圓的離心率為；的取值范圍為．9．如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為F1?c,0，，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為8c．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：橢圓C的離心率為；點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為l，在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為．10．如圖所示，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知道：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射（即經(jīng)橢圓在該點處的切線反射）后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C相切于點，過點P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則．

11．圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學(xué)性質(zhì).我們知道，拋物線的光學(xué)性質(zhì)是平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠鏡就是應(yīng)用這些性質(zhì)設(shè)計的.下圖為卡式望遠鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡，副鏡是雙曲線左支的旋轉(zhuǎn)面型凸雙曲面鏡，主鏡對應(yīng)拋物線的頂點與副鏡對應(yīng)雙曲線的中心重合，當平行光線投射到主鏡上時，經(jīng)過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點處，但光線尚未匯聚時，又受到以為焦點的凸雙曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點處.以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系.若米，凹拋物面鏡的口徑為米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為米.12．點是橢圓的左右頂點，若過定點且斜率不為0的直線與橢圓交于M，N兩點，求證：直線AM與直線的交點在一條定直線上.13．如圖，橢圓有兩頂點，，過其焦點F0,1的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，且直線l的斜率大于1，直線AC與直線BD交于點Q.

(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值.14．如圖，已知是長軸為的橢圓上的三點，點是長軸的右頂點，過橢圓中心，且，．

(1)求橢圓的標準方程；(2)若過關(guān)于軸對稱的點作橢圓的切線，則與有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．15．如圖，已知橢圓：，直線：與圓：相切且與橢圓交于A，B兩點．

(1)若線段AB中點的橫坐標為，求m的值；(2)過原點O作的平行線交橢圓于C，D兩點，設(shè)，求的最小值．16．（2024·安徽合肥·一模）已知曲線C：，從曲線C上的任意點作壓縮變換得到點．(1)求點所在的曲線E的方程；(2)設(shè)過點的直線交曲線E于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫出分析過程．17．設(shè)為坐標原點，橢圓：經(jīng)過升縮變換后變?yōu)榍€，是曲線上的點.（1）求曲線的方程.（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點.18．生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點現(xiàn)橢圓C的焦點在x軸上，中心在坐標原點，從左焦點射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．(1)求橢圓C的方程；(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．19．如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已知橢圓：的左?右焦點分別為，，左?右頂點分別為，，一光線從點F1?1,0射出經(jīng)橢圓上點反射，法線（與橢圓在處的切線垂直的直線）與軸交于點，已知，.求橢圓的方程.20．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線.已知圖乙中，橢圓的中心在坐標原點，焦點為，由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.(1)點是橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為在上的射影滿足，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓的方程；(2)在:（1）的條件下，設(shè)橢圓上頂點為，點為軸上不同于橢圓頂點的點，且，直線分別與橢圓交于點（異于點），，垂足為，求的最小值.21．已知點為橢圓：（）內(nèi)一點，過點的直線與交于兩點．當直線經(jīng)過的右焦點時，點恰好為線段的中點．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的光學(xué)性質(zhì)是指：從橢圓的一個焦點出發(fā)的一束光線經(jīng)橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點．設(shè)從橢圓的