福州十八中鄭瑩教材課程

梯形問題常用輔助線添法福州十八中鄭瑩ABCDABCD平移腰平移腰可將梯形的兩腰、兩底角放置在一個(gè)三角形.EEFGABCDEO平移對(duì)角線1、當(dāng)AC⊥BD時(shí)，ΔBED是什么三角形？2、當(dāng)AC=BD時(shí)，ΔBED又是什么三角形？3、哪個(gè)命題的證明應(yīng)用了此法？對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形4、ΔBED與梯形ABCD的面積關(guān)系如何?ΔBED是直角三角形ΔBED是等腰三角形相等作高ABCDEF旋轉(zhuǎn)上底ABCDOE梯形ABCD面積與哪個(gè)圖形面積相等?△ABEF若F為AB中點(diǎn)，OF與AD、CB之間有什么關(guān)系？OF∥AD∥BC,2OF=AD+CB解決梯形問題的常用輔助線方法：1.平移腰3.做高4.延長(zhǎng)兩腰2.平移對(duì)角線5.旋轉(zhuǎn)上底添加輔助線的目的：將梯形分割成平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形和三角形的性質(zhì)，求解梯形問題。例題：1、如圖,梯形ABCD中,AB∥CD，∠D=70°

，∠C=40°

AB=4cm,CD=11cm,求BC.ABCD解：（平移腰）過B作BE∥AD交DC于E則∠1=∠D=70°,∵AB∥DE,AD∥EB∴四邊形ABED為平行四邊形∴

DE=AB=4∵△BCE中，∠C=40°∠1=70°∴∠2=∠1=70°∴CB=CE=CD─DE=11—4=7(cm)）12E440°70°711分析:∠D=70°,∠C=40°在一個(gè)三角形中結(jié)果會(huì)如何?如何才能在一個(gè)三角形中?4解法2：（延長(zhǎng)兩腰）ABCDO70°40°41170°7延長(zhǎng)DA與CB交于O∵AB∥CD∴

∠OAB=∠D=70°∵∠C=40°，∠D=70°∴

∠O=70°∴∠OAB=∠O=∠D=70°∴

OB=AB=4，OC=CD=11∴

BC=7411EABCD例2：已知，直角梯形ABCD中，∠B=∠A=90°，AD∥BC，E是腰AB的中點(diǎn)，AD=1,AB=BC=4，CD=AD+BC.求證：DE⊥CE。分析:利用勾股定理證明：（一）在Rt△ADE中，∠A=90°,AD=1,AE=2在Rt△BCE中，∠B=90°,AD=2,BC=4∵CD=5,∴在△DCE中，∴△DCE為直角三角形∴DE⊥CE例2：已知，直角梯:形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中點(diǎn)，AD=1,AB=BC=4，CD=AD+BC.求證：DE⊥CE。F證明：（二）延長(zhǎng)DE交CB延長(zhǎng)線于F∴

ΔADE≌ΔBFE∴DE=FE，AD=BF∴

DE⊥CE∴CD=AD+BC=BF+BC=CF∵AD∥CF∴∠A=∠ABF,∠ADE=∠F∵AE=BE,分析:1、AD+BC怎樣用一條線段表示?2、AD+BC跟哪條線段有關(guān)？EABCD練習(xí)：一、填空1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD且AC=8cm，BD=15cm，則梯形的高=cm.ABCDEF先用勾股定理求出BE，再用面積法求高DF。答案：120/17（cm)2、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=54

°，∠C=36°，AD=10AB=12，CD=16則BC=。ABCDE)1161012平移腰后，在RtΔBDE中計(jì)算出CE=20，則BC=CE+BE=30（cm）201581754o36o3.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD<CB，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，且EF⊥BC,試說明∠B=∠CABCDEFMN分析：要證∠B=∠C，可把它們移到同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)解決這個(gè)問題證明：過E作EM∥AB，EN∥CD，分別交BC于M、N,得到平行四邊形ABME和平行四邊形NCDE。∴AE=MB,AB=EM,AB∥EM，ED=CN，CD=NE，CD∥EN∵∠1=∠B，∠2=∠C∵AE=ED，∴BM=CN又∵BF=CF，∴FM=FN又∵EF⊥BC，∴EM＝EN，∴∠1=∠2∴∠C=∠B4.已知梯形ABCD，AD=4,CB=9,點(diǎn)E、F分別為對(duì)角線AC、BD中點(diǎn)，連接EF，求EF.ABCDFEG分析：利用兩個(gè)中點(diǎn)，考慮能否利用三角形中位線定理解：連接AF,延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD,∴∠AGB=∠GAD∵DF=FB∴ΔADF≌ΔGBF∴AF=FG,AD=GB=4又∵AE=EC所以EF=