2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程422圓與圓的位置關(guān)系課件新人教A版必修2

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系若兩圓的半徑分別為r1,r2,圓心距為d,則兩圓有以下位置關(guān)系:位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示兩圓外離0個(gè)d>r1+r2

兩圓內(nèi)含d<|r1-r2|

位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示兩圓相交2個(gè)|r1-r2|<d<r1+r2兩圓內(nèi)切1個(gè)d=|r1-r2|

兩圓外切d=r1+r2

【思考】(1)當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí),公切線的條數(shù)分別是多少?提示:公切線的條數(shù)分別是4,3,2,1,0.(2)當(dāng)兩圓相交、外切、內(nèi)切時(shí),連心線有什么性質(zhì)?提示:當(dāng)兩圓相交時(shí),連心線垂直平分公共弦;當(dāng)兩圓外切時(shí),連心線垂直于過兩圓公共點(diǎn)的公切線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),連心線垂直于兩圓的公切線.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若兩圓有唯一的公共點(diǎn),則兩圓外切. (

)(2)若兩圓沒有公切線,則兩圓內(nèi)含. (

)(3)若兩圓的半徑分別為r1,r2,圓心距為d,當(dāng)d<|r1-r2|時(shí),兩圓相交. (

)提示:(1)×.兩圓也可能內(nèi)切.(2)√.只有兩圓內(nèi)含時(shí),兩圓才沒有公切線.(3)×.當(dāng)d<|r1-r2|時(shí),兩圓內(nèi)含.2.圓x2+y2=4與圓(x-3)2+(y-4)2=49的位置關(guān)系為

(

)A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離【解析】選A.因?yàn)閳A心距為=5,大圓半徑減小圓半徑為7-2=5,故兩圓內(nèi)切.3.已知☉O1與☉O2的方程分別為(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=r2(r>1),若兩圓相交,則r的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閳A心距d=|O1O2|=2,且兩圓相交,所以r-1<d<r+1,即r-1<2<r+1,所以1<r<3.答案:1<r<3類型一兩圓位置關(guān)系的判定【典例】1.(2019·重慶高一檢測)已知圓C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圓C2:x2+y2+2x+8y-8=0,則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是 (

)A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切2.(2019·青島高一檢測)圓A:x2+y2=1與圓B:x2-4x+y2-5=0的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (

)A.0 B.3 C.2 D.1【思維·引】1.將兩圓方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式,利用圓心距與半徑的關(guān)系判斷.2.判斷兩圓的位置關(guān)系后得出交點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】1.選B.圓C1:x2+y2+4x+2y-1=0,即(x+2)2+(y+1)2=6,圓心為C1(-2,-1),半徑為.圓C2:x2+y2+2x+8y-8=0即(x+1)2+(y+4)2=25,圓心為C2(-1,-4),半徑為5.所以兩圓的圓心距d=因?yàn)楣蕛蓚€(gè)圓相交.2.選D.因?yàn)閳AB:(x-2)2+y2=1,其圓心為B(2,0),半徑為1,圓A的圓心為A(0,0),半徑為1,所以圓心距為|AB|=2,半徑之和為1+1=2,所以兩圓外切,只有一個(gè)公共點(diǎn).【內(nèi)化·悟】判斷兩圓位置關(guān)系需要計(jì)算哪些量?提示:準(zhǔn)確得出兩圓的圓心、半徑,計(jì)算出圓心距.【類題·通】幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑r1,r2.(3)求兩圓的圓心距d.(4)比較d與|r1-r2|,r1+r2的大小關(guān)系,從而判斷兩圓的位置關(guān)系.【習(xí)練·破】圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4與圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9有幾條公切線 (

)A.0 B.2 C.3 D.4【解析】選B.圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4的圓心C1(-1,-2),半徑r1=2,圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9的圓心C2(1,-1),半徑r2=3,|C1C2|=所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4與圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9相交,所以圓C1:(x+1)2+(y+2)2=4與圓C2:(x-1)2+(y+1)2=9有2條公切線.【加練·固】圓O1:(x-2)2+(y+3)2=4與圓O2:(x+1)2+(y-1)2=9的公切線有 (

)A.4條B.3條C.2條D.1條【解析】選B.兩圓O1:(x-2)2+(y+3)2=4與圓O2:(x+1)2+(y-1)2=9的圓心距為=5,兩個(gè)圓的半徑和為5,所以兩個(gè)圓外切,公切線有3條.類型二兩圓相切問題【典例】1.(2019·煙臺(tái)高一檢測)兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4ay+4a2-1=0恰有三條公切線,則a2=________.

2.已知圓O1:x2+y2-8x-8y+48=0,圓O2過點(diǎn)A(0,-4),若圓O2與圓O1相切于點(diǎn)B(2,2),求圓O2的方程. 【思維·引】1.由公切線條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系,從而求a的值.2.首先判斷兩圓是內(nèi)切還是外切,其次根據(jù)相切的性質(zhì)設(shè)出圓的方程,最后求出圓的方程.【解析】1.由題意知兩圓外切,兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+a)2+y2=4和x2+(y-2a)2=1,圓心分別為C(-a,0),D(0,2a),半徑分別為2和1,所以=2+1,解得a2=.答案:

2.圓O1的方程變?yōu)?16,所以圓心O1(4,4),因?yàn)閳AO2與圓O1相切于點(diǎn)B(2,2),所以圓O2的圓心在直線y=x上,不妨設(shè)為(a,a),因?yàn)閳AO2過點(diǎn)A(0,-4),所以圓O2與圓O1外切,因?yàn)閳AO2過B(2,2),所以a2+(a+4)2=2(a-2)2,所以a=0,所以圓O2的方程為x2+y2=16.【內(nèi)化·悟】處理兩圓相切問題的前提是什么?提示:判斷是外切還是內(nèi)切,不能確定的分兩種情況討論.【類題·通】解決兩圓相切問題的兩個(gè)步驟(1)定性,即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切,若只是告訴相切,則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論.(2)轉(zhuǎn)化思想,即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí)).【習(xí)練·破】(2019·武邑高一檢測)若圓x2+y2=4與圓x2+y2-2ax+a2-1=0相內(nèi)切,則a的值為 (

)A.1

B.-1

C.±1

D.0【解析】選C.由圓x2+y2-2ax+a2-1=0,得(x-a)2+y2=1,得圓心為(a,0),半徑為1,又由于兩圓內(nèi)切,所以圓心距等于兩圓半徑之差,即=2-1,解得:a=±1.【加練·固】求和圓(x-2)2+(y+1)2=4相切于點(diǎn)(4,-1)且半徑為1的圓的方程.【解析】設(shè)所求圓的圓心為P(a,b),所以=1.①(1)若兩圓外切,則有=1+2=3.②由①②,解得a=5,b=-1.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1.(2)若兩圓內(nèi)切,則有=2-1=1.③由①③,解得a=3,b=-1.所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.綜上,可知所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.類型三兩圓相交問題角度1與弦長相關(guān)的問題【典例】(2019·淮南高一檢測)已知圓x2+y2=4與圓x2+y2-2y-6=0,則兩圓的公共弦長為 (

)A.

B.2

C.2

D.1【思維·引】先求出公共弦所在的直線方程,再利用兩圓中的一個(gè)求弦長.【解析】選B.圓x2+y2=4與圓x2+y2-2y-6=0的方程相減可得公共弦所在的直線方程為y=-1,由于圓x2+y2=4的圓心到直線y=-1的距離為1,且圓x2+y2=4的半徑為2,故公共弦的長為2=2.【素養(yǎng)·探】在解決圓與圓相交時(shí)的弦長問題時(shí),常常用到數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),通過求公共弦的方程、解決相關(guān)的弦長問題.將本例中的兩圓改為圓C1:x2+y2+4x-4y=0和C2:x2+y2+2x-8=0,求兩圓的公共弦MN的長.【解析】圓C1的圓心為(-2,2),半徑r1=2,圓C2的圓心為(-1,0),半徑r2=3,直線MN的方程為(x2+y2+4x-4y)-(x2+y2+2x-8)=0,變形可得:2x-4y+8=0,即x-2y+4=0,圓C2的圓心到直線x-2y+4=0的距離d=則|MN|=2×=2×角度2圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用【典例】(2019·白銀高一檢測)已知圓C滿足:圓心在直線x+y=0上,且過圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)A,B.(1)求弦AB所在的直線方程和圓C的方程.(2)過點(diǎn)M(-4,1)的直線l被圓C截得的弦長為6,求直線l的方程.【思維·引】(1)利用兩圓方程相減得弦的方程,再利用兩圓相交時(shí)的性質(zhì)設(shè)圓的方程,求方程.(2)分斜率存在、不存在兩種情況,利用弦長、圓的半徑、圓心距的關(guān)系解題.【解析】(1)由題意:圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)A(-4,0),B(0,2).兩式相減得:4x-8y+16=0,即x-2y+4=0,所以弦AB所在的直線方程為x-2y+4=0.圓心在直線x+y=0上,設(shè)圓心為(a,-a),那么它到兩交點(diǎn)A,B的距離相等,故有(a+4)2+a2=a2+(2+a)2,可得:a=-3,即圓心為(-3,3),r2=10,圓C的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.(2)當(dāng)k存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+4),即kx-y+1+4k=0,直線l被圓C截得的弦長為6,即9=r2-d2,所以d2=1.即=1,可得:k=,所以直線l的方程為3x-4y+16=0;當(dāng)k不存在時(shí),直線l的方程為x+4=0.直線l被圓C截得的弦長為6,符合題意.故所求直線l的方程為x+4=0或3x-4y+16=0.【類題·通】公共弦長的求法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.(2)幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.【習(xí)練·破】(2019·杭州高一檢測)已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-4)2+(y-4)2=R2(R>0).(1)R為何值時(shí),圓C1與圓C2外切.(2)在(1)的條件下,設(shè)切點(diǎn)為P,過P作直線l與圓C1相交于E點(diǎn),若|PE|=,求直線l的方程.【解析】(1)由已知圓的方程可得:C1(0,0),C2(4,4),則|C1C2|=4=R+1,所以R=4-1.(2)因?yàn)镃1(0,0),C2(4,4),所以P為直線C1C2與圓C1的交點(diǎn)在第一象限.聯(lián)立得P