中考數(shù)學二輪復習題型專練（浙江專用）專題16 與圓有關(guān)的證明及計算（解析版）

題型十六與圓有關(guān)的證明及計算【要點提煉】【證明切線】①連半徑，證垂直證明垂直的方法大概分為三個知識點：平行；互余；全等②做垂直，證半徑證明半徑的方法一般是利用全等【圓中的相似】①常見的相似模型依舊可以在圓中取尋找，例如A型、K型、手拉手模型、X型、母子型、三垂直模型等②圓中還有一些比較特殊的模型，如下：定理一：相交弦得相似--相交線定理內(nèi)容：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等【方法指引】：此題由相交弦定理可秒！①通過同弧所對的圓周角相等可得到一對角相等；②再結(jié)合對頂角相等可證相似。其中此類題所得到的通式：可作為結(jié)論記憶定理證明：已知⊙O中，AB、CD為弦，交于P，求證：另：【相交弦定理推論】若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2=PA·PB定理二：一條切線和一條割線得相似--弦切角定理概念：\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)【方法指引】：弦切角顧名思義就是切線與弦的夾角，如例2圖中，若連接BC、AC，∠PCB即弦切角，而在該定理中指出，弦切角∠PCB等于CB所對的圓周角，例如∠PAC、∠BCD；而此等角即可幫我們推理出母子型相似即弦切角定理→母子型相似的套路，可作為結(jié)論記憶定理三：兩條割線得相似--切割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（如例1題圖：BA2=BM·BN）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等（例1題圖，若連接AN、DM，則可通過相似得出）【方法指引】：此類題如用切割線定理結(jié)合弦切角定理可秒，一般已知切線，并應(yīng)用于求線段長度，而切割線定理得到的通式或可作為結(jié)論記憶【圓中的三角函數(shù)】一般情況下出現(xiàn)三角函數(shù)都會作垂線，但圓中出現(xiàn)三角函數(shù)時一般不作垂線，可以利用直徑所對的圓周角為直角構(gòu)造直角三角形。另外，此類題目中出現(xiàn)三角函數(shù)時，我們還會將角轉(zhuǎn)移到與它相等的角上，在一道題目中，一個三角函數(shù)可以在多個角中使用，并且在一個角上也可多次使用【扇形面積及弧長】S=nΠ【專題訓練】1．（2020?臺州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點M．E是線段CM上的點，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF，BF．（1）求證：△BEF是直角三角形；（2）求證：△BEF∽△BCA；（3）當AB＝6，BC＝m時，在線段CM上存在點E，使得EF和AB互相平分，求m的值．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠EFB＝∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）證明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：設(shè)EF交AB于J．連接AE．∵EF與AB互相平分，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ=12BD∴EF＝m，∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM=m∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE=m∵△BEF∽△BCA，∴ACEF即36?m解得m＝23（負根已經(jīng)舍棄）．2．（2020?溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點，且在直徑AB兩側(cè)，連接CD交AB于點E，G是AC上一點，∠ADC＝∠G．（1）求證：∠1＝∠2．（2）點C關(guān)于DG的對稱點為F，連接CF．當點F落在直徑AB上時，CF＝10，tan∠1=25，求⊙【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠G，∴AC=∵AB為⊙O的直徑，∴BC=∴∠1＝∠2；（2）如圖，連接DF，∵AC=AD，AB是⊙∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵點C，F(xiàn)關(guān)于DG對稱，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1=2∴EB＝DE?tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2=2∴AE=DE∴AB＝AE+EB=29∴⊙O的半徑為2943．（2020?寧波）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連接BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=（2）如圖1，延長BC到點T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵AD=∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）①如圖2，連接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，F(xiàn)D＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如圖3，過點A作AG⊥BE于點G，過點F作FM⊥CE于點M，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC=12∠∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴AEAC∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG=2在Rt△ADE中，AE=2AD∴2AD∴ADAC在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴設(shè)AD＝4x，AC＝5x，則有（4x）2+52＝（5x）2，∴x=5∴ED＝AD=20∴CE＝CD+DE=35∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE∴DM＝DE﹣EM=5∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=5∴S△DEF=12DE?FM4．（2020?杭州）如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF．（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長．（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點P，①求證：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．【解答】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE=12OA=12，AE＝EB∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等邊三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF=12AB（2）①證明：過點F作FG⊥AB于G，交OB于H，連接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴FHBC=OF∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四邊形OEHF是平行四邊形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴EGGB∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．5．（2020?湖州）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連接BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求CD的長．【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，∴CD=∵AD是⊙O的直徑，AD＝6，∴CD的長=12×126．（2019?湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如圖1，已知⊙P經(jīng)過點O，且與直線l1相切于點B，求⊙P的直徑長；（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x﹣3分別交x軸和y軸于點C和點D，點Q是直線l2上的一個動點，以Q為圓心，22為半徑畫圓．①當點Q與點C重合時，求證：直線l1與⊙Q相切；②設(shè)⊙Q與直線l1相交于M，N兩點，連接QM，QN．問：是否存在這樣的點Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，連接BC，∵∠BOC＝90°，∴點P在BC上，∵⊙P與直線l1相切于點B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長＝BC＝AB＝32；（2）過點作CM⊥AB，由直線l2：y＝3x﹣3得：點C（1，0），則CM＝ACsin45°＝4×22=故點M是圓與直線l1的切點，即：直線l1與⊙Q相切；（3）如圖3，①當點M、N在兩條直線交點的下方時，由題意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，設(shè)點Q的坐標為（m，3m﹣3），則點N（m，m+3），則NQ＝m+3﹣3m+3＝22，解得：m＝3?2②當點M、N在兩條直線交點的上方時，同理可得：m＝3+2故點Q的坐標為（3?2，6﹣32）或（3+2，6+37．（2019?紹興）在屏幕上有如下內(nèi)容：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AB的長為2，過點C的切線交AB的延長線于點D．張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答．（1）在屏幕內(nèi)容中添加條件∠D＝30°，求AD的長．請你解答．（2）以下是小明、小聰?shù)膶υ挘盒∶鳎何壹拥臈l件是BD＝1，就可以求出AD的長小聰：你這樣太簡單了，我加的是∠A＝30°，連接OC，就可以證明△ACB與△DCO全等．參考此對話，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線添字母），并解答．【解答】解：（1）連接OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2，∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；（2）添加∠DCB＝30°，求AC的長，解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB，∵∠ACO＝∠A，∴∠A＝∠DCB＝30°，在Rt△ACB中，BC=12∴AC=3BC=38．（2019?金華）如圖，在?OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點B，與OC相交于點D．（1）求BD的度數(shù)．（2）如圖，點E在⊙O上，連接CE與⊙O交于點F，若EF＝AB，求∠OCE的度數(shù)．【解答】解：（1）連接OB，∵BC是圓的切線，∴OB⊥BC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∴BD的度數(shù)為45°；（2）連接OE，過點O作OH⊥EC于點H，設(shè)EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=2t則HO=OE∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．9．（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O，OD⊥BC于點D，連接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求證：OD=12②當OA＝1時，求△ABC面積的最大值．（2）點E在線段OA上，OE＝OD，連接DE，設(shè)∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正數(shù)），若∠ABC＜∠ACB，求證：m﹣n+2＝0．【解析】解：（1）①連接OB、OC，則∠BOD=12∠BOC＝∠∴∠OBC＝30°，∴OD=12OB=②∵BC長度為定值，∴△ABC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，當AD過點O時，AD最大，即：AD＝AO+OD=3△ABC面積的最大值=12×BC×AD=12（2）如圖2，連接OC，設(shè)：∠OED＝x，則∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，則∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=12∠BOC＝∠∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化簡得：m﹣n+2＝0．10．（2019?溫州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E在BC邊上，且CA＝CE，過A，C，E三點的⊙O交AB于另一點F，作直徑AD，連接DE并延長交AB于點G，連接CD，CF．（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形．（2）當BE＝4，CD=38AB時，求⊙【解析】（1）證明：連接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直徑，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形DCFG是平行四邊形；（2）解：由CD=38設(shè)CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴BEEC∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB=102∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF=32+即⊙O的直徑長為35．11．（2019?寧波）如圖1，⊙O經(jīng)過等邊△ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內(nèi)），分別與AB，CB的延長線交于點D，E，連接DE，BF⊥EC交AE于點F．（1）求證：BD＝BE．（2）當AF：EF＝3：2，AC＝6時，求AE的長．（3）設(shè)AFEF=x，tan∠DAE＝①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②如圖2，連接OF，OB，若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值．【解析】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，∴∠DEB＝∠D，∴BD＝BE；（2）如圖1，過點A作AG⊥BC于點G，∵△ABC是等邊三角形，AC＝6，∴BG=1∴在Rt△ABG中，AG=3BG＝33∵BF⊥EC，∴BF∥AG，∴AFEF∵AF：EF＝3：2，∴BE=23∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，在Rt△AEG中，AE=A（3）①如圖1，過點E作EH⊥AD于點H，∵∠EBD＝∠ABC＝60°，∴在Rt△BEH中，EHBE∴EH=32BE，∵BGEB∴BG＝xBE，∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，∴AH＝AB+BH＝2xBE+12BE＝（2x+1∴在Rt△AHE中，tan∠EAD=EH∴y=3②如圖2，過點O作OM⊥BC于點M，設(shè)BE＝a，∵BGEB∴CG＝BG＝xBE＝ax，∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，∴EM=12EC=12∴BM＝EM﹣BE＝ax?12∵BF∥AG，∴△EBF∽△EGA，∴BFAG∵AG=3∴BF=1∴△OFB的面積=BF?BM∴△AEC的面積=EC?AG∵△AEC的面積是△OFB的面積的10倍，∴12∴2x2﹣7x+6＝0，解得：x1∴y=312．（2019?衢州）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若DE=3，∠C＝30°，求AD【解析】（1）證明：連接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接AD，∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE=3，∠B＝30°，∠BED∴CD＝BD＝2DE＝23，∴OD＝AD＝tan30°?CD=33×∴AD的長為：60π?218013．（2018?寧波）如圖1，直線l：y=?34x+b與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，點C是線段OA上一動點（0＜AC＜165）．以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A交x軸于另一點D，交線段AB于點E，連接OE并延長交⊙（1）求直線l的函數(shù)表達式和tan∠BAO的值；（2）如圖2，連接CE，當CE＝EF時，①求證：△OCE∽△OEA；②求點E的坐標；（3）當點C在線段OA上運動時，求OE?EF的最大值．【解析】解：∵直線l：y=?34x+b與x軸交于點∴?34×∴b＝3，∴直線l的函數(shù)表達式y(tǒng)=?34∴B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO=OB（2）①如圖2，連接DF，∵CE＝EF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，∵四邊形CEFD是⊙A的圓內(nèi)接四邊形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA，②過點E作EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=3設(shè)EM＝3m，則AM＝4m，∴OM＝4﹣4m，AE＝5m，∴E（4﹣4m，3m），AC＝5m，∴OC＝4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE∴OE2＝OA?OC＝4（4﹣5m）＝16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2＝25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16＝16﹣20m，∴m＝0（舍）或m=12∴4﹣4m=5225，3m∴E（5225，36（3）如圖，設(shè)⊙A的半徑為r，過點O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∴12AB×OG=12OA∴OG=12∴AG=OG∴EG＝AG﹣AE=165連接FH，∵EH是⊙A直徑，∴EH＝2r，∠EFH＝90°＝∠EGO，∵∠OEG＝∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴OEHE∴OE?EF＝HE?EG＝2r（165?r）＝﹣2（r?85∴r=85時，OE?EF最大值為14．（2018?臺州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點D在BC上，點E在弦AB上（E不與A重合），且四邊形BDCE為菱形．（1）求證：AC＝CE；（2）求證：BC2﹣AC2＝AB?AC；（3）已知⊙O的半徑為3．①若ABAC=5②當ABAC為何值時，AB?AC【解析】解：（1）∵四邊形EBDC為菱形，∴∠D＝∠BEC，∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠D＝180°，又∠BEC+∠AEC＝180°，∴∠A＝∠AEC，∴AC＝AE；（2）以點C為圓心，CE長為半徑作⊙C，與BC交于點F，于BC延長線交于點G，則CF