中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題16 與圓有關(guān)的證明及計(jì)算（原卷版）

題型十六與圓有關(guān)的證明及計(jì)算【要點(diǎn)提煉】【證明切線】①連半徑，證垂直證明垂直的方法大概分為三個知識點(diǎn)：平行；互余；全等②做垂直，證半徑證明半徑的方法一般是利用全等【圓中的相似】①常見的相似模型依舊可以在圓中取尋找，例如A型、K型、手拉手模型、X型、母子型、三垂直模型等②圓中還有一些比較特殊的模型，如下：定理一：相交弦得相似--相交線定理內(nèi)容：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等【方法指引】：此題由相交弦定理可秒?、偻ㄟ^同弧所對的圓周角相等可得到一對角相等；②再結(jié)合對頂角相等可證相似。其中此類題所得到的通式：可作為結(jié)論記憶定理證明：已知⊙O中，AB、CD為弦，交于P，求證：另：【相交弦定理推論】若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2=PA·PB定理二：一條切線和一條割線得相似--弦切角定理概念：\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)【方法指引】：弦切角顧名思義就是切線與弦的夾角，如例2圖中，若連接BC、AC，∠PCB即弦切角，而在該定理中指出，弦切角∠PCB等于CB所對的圓周角，例如∠PAC、∠BCD；而此等角即可幫我們推理出母子型相似即弦切角定理→母子型相似的套路，可作為結(jié)論記憶定理三：兩條割線得相似--切割線定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)（如例1題圖：BA2=BM·BN）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等（例1題圖，若連接AN、DM，則可通過相似得出）【方法指引】：此類題如用切割線定理結(jié)合弦切角定理可秒，一般已知切線，并應(yīng)用于求線段長度，而切割線定理得到的通式或可作為結(jié)論記憶【圓中的三角函數(shù)】一般情況下出現(xiàn)三角函數(shù)都會作垂線，但圓中出現(xiàn)三角函數(shù)時一般不作垂線，可以利用直徑所對的圓周角為直角構(gòu)造直角三角形。另外，此類題目中出現(xiàn)三角函數(shù)時，我們還會將角轉(zhuǎn)移到與它相等的角上，在一道題目中，一個三角函數(shù)可以在多個角中使用，并且在一個角上也可多次使用【扇形面積及弧長】S=nΠ【專題訓(xùn)練】1．（2020?臺州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點(diǎn)M．E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點(diǎn)，連接EF，BF．（1）求證：△BEF是直角三角形；（2）求證：△BEF∽△BCA；（3）當(dāng)AB＝6，BC＝m時，在線段CM上存在點(diǎn)E，使得EF和AB互相平分，求m的值．2．（2020?溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連接CD交AB于點(diǎn)E，G是AC上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．（1）求證：∠1＝∠2．（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對稱點(diǎn)為F，連接CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時，CF＝10，tan∠1=25，求⊙3．（2020?寧波）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連接BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．4．（2020?杭州）如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF．（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長．（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，①求證：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．5．（2020?湖州）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連接BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求CD的長．6．（2019?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如圖1，已知⊙P經(jīng)過點(diǎn)O，且與直線l1相切于點(diǎn)B，求⊙P的直徑長；（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x﹣3分別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線l2上的一個動點(diǎn)，以Q為圓心，22為半徑畫圓．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，求證：直線l1與⊙Q相切；②設(shè)⊙Q與直線l1相交于M，N兩點(diǎn)，連接QM，QN．問：是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（2019?紹興）在屏幕上有如下內(nèi)容：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AB的長為2，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D．張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答．（1）在屏幕內(nèi)容中添加條件∠D＝30°，求AD的長．請你解答．（2）以下是小明、小聰?shù)膶υ挘盒∶鳎何壹拥臈l件是BD＝1，就可以求出AD的長小聰：你這樣太簡單了，我加的是∠A＝30°，連接OC，就可以證明△ACB與△DCO全等．參考此對話，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線添字母），并解答．8．（2019?金華）如圖，在?OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B，與OC相交于點(diǎn)D．（1）求BD的度數(shù)．（2）如圖，點(diǎn)E在⊙O上，連接CE與⊙O交于點(diǎn)F，若EF＝AB，求∠OCE的度數(shù)．9．（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求證：OD=12②當(dāng)OA＝1時，求△ABC面積的最大值．（2）點(diǎn)E在線段OA上，OE＝OD，連接DE，設(shè)∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正數(shù)），若∠ABC＜∠ACB，求證：m﹣n+2＝0．10．（2019?溫州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E在BC邊上，且CA＝CE，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB于另一點(diǎn)F，作直徑AD，連接DE并延長交AB于點(diǎn)G，連接CD，CF．（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形．（2）當(dāng)BE＝4，CD=38AB時，求⊙11．（2019?寧波）如圖1，⊙O經(jīng)過等邊△ABC的頂點(diǎn)A，C（圓心O在△ABC內(nèi)），分別與AB，CB的延長線交于點(diǎn)D，E，連接DE，BF⊥EC交AE于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝BE．（2）當(dāng)AF：EF＝3：2，AC＝6時，求AE的長．（3）設(shè)AFEF=x，tan∠DAE＝①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②如圖2，連接OF，OB，若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值．12．（2019?衢州）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若DE=3，∠C＝30°，求AD13．（2018?寧波）如圖1，直線l：y=?34x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是線段OA上一動點(diǎn)（0＜AC＜165）．以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作⊙A交x軸于另一點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，連接OE并延長交⊙（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式和tan∠BAO的值；（2）如圖2，連接CE，當(dāng)CE＝EF時，①求證：△OCE∽△OEA；②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動時，求OE?EF的最大值．14．（2018?臺州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在弦AB上（E不與A重合），且四邊形BDCE為菱形．（1）求證：AC＝CE；（2）求證