《子群的陪集》課件

子群的陪集子群和陪集的定義子群一個(gè)群G的子集H，如果H滿足群的定義，則稱H為G的子群。子群是群G的一部分，它本身也是一個(gè)群。陪集設(shè)H是群G的子群，a是G中的任意元素，則集合aH={ah|h∈H}稱為H關(guān)于a的左陪集，集合Ha={ha|h∈H}稱為H關(guān)于a的右陪集。子群與陪集的關(guān)系子群的陪集每個(gè)陪集都包含子群中所有的元素，以及子群之外的某些元素。陪集的劃分一個(gè)群可以被其某個(gè)子群的陪集所劃分，每個(gè)元素都屬于且僅屬于一個(gè)陪集。陪集的等價(jià)性兩個(gè)陪集要么完全相同，要么沒(méi)有共同元素。陪集的性質(zhì)1不相交不同陪集之間沒(méi)有公共元素。2覆蓋所有陪集的并集等于整個(gè)群。3等勢(shì)每個(gè)陪集的元素個(gè)數(shù)都等于子群的元素個(gè)數(shù)。陪集的運(yùn)算1加法運(yùn)算兩個(gè)陪集的加法運(yùn)算定義為：2乘法運(yùn)算兩個(gè)陪集的乘法運(yùn)算定義為：3逆運(yùn)算陪集的逆運(yùn)算定義為：陪集的運(yùn)算在群論中具有重要的作用，可以用來(lái)研究群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。陪集的階1階定義陪集的階定義為陪集中元素的個(gè)數(shù)。2與子群陪集的階等于子群的階。3重要結(jié)論陪集的階與子群的階相等，說(shuō)明陪集中的元素個(gè)數(shù)與子群中的元素個(gè)數(shù)相同。陪集代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)加法陪集的加法滿足結(jié)合律和交換律.乘法陪集的乘法滿足結(jié)合律和分配律.單位元陪集的單位元是包含單位元的陪集.逆元陪集的逆元是包含逆元的陪集.左陪集和右陪集左陪集設(shè)G是一個(gè)群，H是G的子群，a∈G，則集合aH={ah|h∈H}稱為a關(guān)于H的左陪集。右陪集設(shè)G是一個(gè)群，H是G的子群，a∈G，則集合Ha={ha|h∈H}稱為a關(guān)于H的右陪集。左陪集和右陪集的關(guān)系1等價(jià)關(guān)系對(duì)于一個(gè)子群H，在G中定義兩個(gè)元素等價(jià)的條件是它們屬于同一個(gè)陪集。2劃分所有的陪集構(gòu)成了G的一個(gè)劃分，也就是說(shuō)G中的所有元素恰好屬于一個(gè)陪集。3性質(zhì)左陪集和右陪集可能不相同，但它們的基數(shù)相同，即它們包含相同的元素個(gè)數(shù)。導(dǎo)出子群定義群G中元素a的所有冪構(gòu)成G的子群，記作?a?，稱為由元素a生成的子群，也稱為a的導(dǎo)出子群。性質(zhì)導(dǎo)出子群是G的子群，且是包含a的最小子群。a是?a?的生成元。例子在整數(shù)加法群(Z,+)中，由元素3生成的子群?3?={...,-6,-3,0,3,6,...}。導(dǎo)出子群的性質(zhì)1包含性導(dǎo)出子群包含原子群。2封閉性導(dǎo)出子群在群運(yùn)算下封閉。3單位元導(dǎo)出子群包含原群的單位元。4逆元導(dǎo)出子群中每個(gè)元素的逆元也在導(dǎo)出子群中。導(dǎo)出子群的冪指數(shù)定義一個(gè)群的導(dǎo)出子群的冪指數(shù)是其所有元素的階的最小公倍數(shù)性質(zhì)如果一個(gè)群的導(dǎo)出子群的冪指數(shù)為n，則該群的每個(gè)元素的n次冪都是單位元正規(guī)子群定義設(shè)G是一個(gè)群，H是G的一個(gè)子群，如果對(duì)G中的任意元素g，都有g(shù)H=Hg，則稱H是G的一個(gè)正規(guī)子群，記作H?G。性質(zhì)正規(guī)子群是群論中非常重要的概念，它滿足一些重要的性質(zhì)，例如：正規(guī)子群的陪集構(gòu)成一個(gè)商群。正規(guī)子群與陪集1正規(guī)子群的定義對(duì)于群$G$的一個(gè)子群$N$，如果$N$的所有左陪集都等于它所有的右陪集，即對(duì)于所有$g\inG$，都有$gN=Ng$，那么$N$被稱為$G$的正規(guī)子群。2正規(guī)子群的性質(zhì)正規(guī)子群在群論中扮演著重要的角色，它具有許多獨(dú)特的性質(zhì)，例如：正規(guī)子群的陪集構(gòu)成一個(gè)新的群，稱為商群。3正規(guī)子群與陪集的關(guān)系正規(guī)子群的陪集具有特殊的性質(zhì)，例如：正規(guī)子群的陪集構(gòu)成一個(gè)新的群，稱為商群。這在群論中具有重要的意義，它為研究群的結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)新的視角。同態(tài)和同構(gòu)同態(tài)同態(tài)是指兩個(gè)群之間的映射，它保持群運(yùn)算。這種映射保留了群結(jié)構(gòu)，允許我們比較不同群之間的關(guān)系。同構(gòu)同構(gòu)是同態(tài)的一種特殊形式，它是一個(gè)雙射且保持群運(yùn)算的映射。兩個(gè)同構(gòu)的群在結(jié)構(gòu)上是相同的，盡管它們可能包含不同的元素。同態(tài)和同構(gòu)的性質(zhì)同態(tài)同態(tài)是保持群運(yùn)算結(jié)構(gòu)的一種映射。同構(gòu)同構(gòu)是一種雙射同態(tài)，它完全保持了群的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。同態(tài)定理同態(tài)定理指出，任何同態(tài)的商群與它的像群同構(gòu)。同構(gòu)定理同構(gòu)定理指出，任何群都可以表示成一個(gè)簡(jiǎn)單群的直積。拉格朗日定理循環(huán)群對(duì)稱群矩陣群拉格朗日定理指出，有限群的每個(gè)子群的階都是該群的階的因子。阿貝爾群所有元素的運(yùn)算都滿足交換律。在群論中，阿貝爾群也稱為交換群。例如，整數(shù)集在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群。阿貝爾群的子群和陪集1交換律滿足交換律的群2子群滿足群運(yùn)算的子集3陪集子群的平移集合循環(huán)群1定義循環(huán)群是滿足所有元素都可以由一個(gè)元素的冪次生成的群，例如：整數(shù)集在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群，因?yàn)樗姓麛?shù)都可以由1的冪次表示。2性質(zhì)循環(huán)群具有許多獨(dú)特的性質(zhì)，例如，所有循環(huán)群都是阿貝爾群，并且可以分解為一些有限循環(huán)群或無(wú)限循環(huán)群。3應(yīng)用循環(huán)群在密碼學(xué)、編碼理論和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。循環(huán)群的子群和陪集子群循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。我們可以通過(guò)循環(huán)群的生成元來(lái)確定其子群陪集循環(huán)群的陪集可以通過(guò)子群的生成元來(lái)計(jì)算。陪集的個(gè)數(shù)等于循環(huán)群的階除以子群的階群直積定義群直積是由多個(gè)群通過(guò)某種運(yùn)算結(jié)合在一起形成的新群。例子兩個(gè)群G和H的直積記為G×H，元素為(g,h)，其中g(shù)∈G，h∈H。群直積的子群和陪集1定義群直積是指將多個(gè)群組合成一個(gè)新的群，新群的元素是由各群的元素組成的有序元組。2子群群直積的子群是由各群的子群組成的元組，每個(gè)元組的元素都屬于相應(yīng)群的子群。3陪集群直積的陪集是由一個(gè)子群和一個(gè)元素組成的，每個(gè)元素都屬于相應(yīng)群的元素。群的同態(tài)和同構(gòu)同態(tài)是兩個(gè)群之間的映射，它保持了群運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。同構(gòu)是兩個(gè)群之間的同態(tài)，它是雙射且保持了群運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。群同態(tài)基本定理核群同態(tài)的核是一個(gè)正規(guī)子群，它包含了所有映射到單位元的元素。商群商群是由一個(gè)群的正規(guī)子群的陪集所組成的群?；径ɡ砣魏稳和瑧B(tài)都可以分解成一個(gè)到核的商群的同態(tài)，然后是到像群的同態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)同構(gòu)定理同態(tài)群之間的映射，保持群運(yùn)算.同構(gòu)同態(tài)且雙射的映射.標(biāo)準(zhǔn)同構(gòu)定理任何群同態(tài)的商群同構(gòu)于其像群.解群定義解群指的是一個(gè)群，其元素可以通過(guò)有限次的操作分解成一系列子群的元素，且每個(gè)子群都滿足可解條件。特點(diǎn)解群具備獨(dú)特的性質(zhì)，如每個(gè)元素都可通過(guò)有限次操作分解成一系列子群元素，且每個(gè)子群都滿足可解條件。解群的性質(zhì)可解群是指存在一個(gè)從自身到單位群的正規(guī)子群列,其商群都是循環(huán)群。遞降中心列解群的中心列由一系列正規(guī)子群構(gòu)成，每個(gè)子群都是前一個(gè)子群的中心化子群。證明解群的性質(zhì)可以通過(guò)歸納法和中心化子群的概念來(lái)證明。群的基本結(jié)構(gòu)定理有限交換群任何有限交換群都