2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之平面向量及其應(yīng)用

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之平面向量及其應(yīng)用一．選擇題（共10小題）1．已知向量a→=(2，1)，A．(45，25) B．（4，1） C．（2，2．若向量a→=(-1，5)，A．-16 B．16 C．-13．已知a→=(-1，1)，A．（﹣1，1） B．(-2，2) C．（1，﹣14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=2π3，sinB=53A．1534 B．152 C．1535．若a→=(2，0)，|b→|=1A．π6 B．π3 C．π2 6．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若2acosB＝c，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．如圖，D是△ABC邊AC的中點，E在BD上，且DE→A．AE→=23ABC．AE→=568．平面向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→A．1512a→ B．14a→ C9．已知平面向量a→=（2λ2+1，λ），b→=（μ，1），其中λ＞0，若a→A．[22，+∞) B．[2，+∞） C．[2，+∞) 10．已知向量a→，b→，c→滿足|a→|＝1，|b→|=3，a→?b→=-A．27 B．7 C．2 D．二．填空題（共5小題）11．在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=3π4，b＝6，a2+c2＝22ac，則△ABC的面積為12．已知單位正方形ABCD，點E是BC邊上一點，若BE＝2CE，則AE→?CE→13．對集合A＝{﹣1，2，x，y}，其中x＞0，y＞0，定義向量集合Ω＝{a→|a→=（m，n），m，n∈A}，若對任意a1→∈Ω，存在a2→∈Ω，使得a2→⊥a14．在△ABC中，若BC＝2，tanA=-43，cosB=415．已知大屏幕下端B離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位觀眾眼睛離地面1.5米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）米．三．解答題（共5小題）16．在△ABC中，設(shè)角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，已知3c（1）求角B的大??；（2）當(dāng)a=22，b=23時，求邊長c和△17．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB﹣bcosC＝ccosB，點D在線段BC上．（1）若∠ADC=3（2）若BD＝2DC，△ACD的面積為423，求18．已知，m→=(3sinωx，cosωx)，n→=(（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=3，f（B）＝0，求△19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，27bcosAsinB+acos2B﹣a＝0．（1）求tanA的值；（2）若a=2，點M是AB的中點，且CM＝1，求△ABC20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求A；（2）若△ABC的面積為3，BC邊上的高為1，求△ABC的周長．

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之平面向量及其應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知向量a→=(2，1)，A．(45，25) B．（4，1） C．（2，【考點】平面向量的投影向量．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的概念將坐標(biāo)代入計算公式b→【解答】解：因為a→所以向量b→在向量a→上的投影向量為：故選：A．【點評】本題考查投影向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．2．若向量a→=(-1，5)，A．-16 B．16 C．-1【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量的相等與共線．【專題】方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式求解．【解答】解：由題意，﹣（x+1）＝5x，解得x=-故選：A．【點評】本題考查平面向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．已知a→=(-1，1)，A．（﹣1，1） B．(-2，2) C．（1，﹣1【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的投影向量；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)a→與b→夾角為θ∈[0，π]，由已知得出cos【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)a→與b→夾角，則θ∈[0，π由a→=(-1，則|a→-所以b→在a→上的投影向量為故選：C．【點評】本題考查投影向量的計算，涉及向量的坐標(biāo)計算，屬于基礎(chǔ)題．4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=2π3，sinB=53A．1534 B．152 C．153【考點】正弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】結(jié)合正弦定理，求出b，再結(jié)合正弦的兩角和公式，求出sinC，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【解答】解：A=2π3，sinB=則a=bsinAA=2π則sinA=32，cosA=12，A+B+C＝π，則sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=3故△ABC的面積為12故選：A．【點評】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．若a→=(2，0)，|b→|=1A．π6 B．π3 C．π2 【考點】數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角．【專題】對應(yīng)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求a→與a【解答】解：因為a→=(2，0)，所以|a→|＝2，(a→-b→)2=a→2-2a→?b→所以a→?（a→-b→）=a→2設(shè)a→與a→-b→的夾角為θ因為θ∈[0，π]，所以θ=π6，即a→與a故選：A．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若2acosB＝c，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【考點】正弦定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【答案】A【分析】由題中條件并利用正弦定理可得2sinAcosB＝sinC，轉(zhuǎn)化為sin（A﹣B）＝0；再根據(jù)A﹣B的范圍，可得A＝B，從而得出選項．【解答】解：∵c＝2acosB，由正弦定理可得sinC＝2sinAcosB，∴sin（A+B）＝2sinAcosB，可得sin（A﹣B）＝0．又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0．故△ABC的形狀是等腰三角形，故選：A．【點評】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，已知三角函數(shù)值求角的大小，得到sin（A﹣B）＝0，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．如圖，D是△ABC邊AC的中點，E在BD上，且DE→A．AE→=23ABC．AE→=56【考點】平面向量的基本定理．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】利用平面向量加減法則，即可得到答案．【解答】解：因為D是△ABC邊AC的中點，E在BD上，且DE→則有BE→所以AE→故選：A．【點評】本題考查向量的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．平面向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→A．1512a→ B．14a→ C【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的投影向量．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計算公式求出a→?b【解答】解：根據(jù)題意，|a→|=2，|即（a→+b→）2=a→2+b→2+2a→?b→則b→在a→方向上的投影向量為故選：C．【點評】本題考查投影向量的計算，注意投影向量的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．9．已知平面向量a→=（2λ2+1，λ），b→=（μ，1），其中λ＞0，若a→A．[22，+∞) B．[2，+∞） C．[2，+∞) 【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量的相等與共線．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運算列式可得λμ＝2λ2+1，把μ用含有λ的代數(shù)式表示，再由基本不等式求最值即可．【解答】解：∵a→=（2λ2+1，λ），b→=（μ，1），其中若a→∥b→，則λμ＝2λ2又λ＞0，∴μ=當(dāng)且僅當(dāng)2λ=1λ，即故選：A．【點評】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運算，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題．10．已知向量a→，b→，c→滿足|a→|＝1，|b→|=3，a→?b→=-A．27 B．7 C．2 D．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】設(shè)出向量，畫出圖形，求出∠AOB，判斷OC的最大值的情況，利用解三角形轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：設(shè)OA→=a→，OB→=b由題意cos＜a∴＜a→，b→＞=所以O(shè)ABC四點共圓，要使|c→|則OC必須過圓心，此時在三角形OAB中，AB2＝OA2+OB2﹣2OAOBcos∠AOB＝1+3﹣23cos150°=AB=7由正弦定理可得OC＝2R=AB故選：A．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角形的解法，考查四點共圓等知識，是中檔題．二．填空題（共5小題）11．在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=3π4，b＝6，a2+c2＝22ac，則△ABC的面積為【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】3．【分析】由余弦定理可求得ac，再由三角形的面積公式計算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，即36=a所以ac=6所以S=1故答案為：3．【點評】本題考查利用余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于基礎(chǔ)題．12．已知單位正方形ABCD，點E是BC邊上一點，若BE＝2CE，則AE→?CE→【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】-2【分析】由平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解．【解答】解：已知單位正方形ABCD，點E是BC邊上一點，又BE＝2CE，則AE=(AB=(AB=-=-故答案為：-2【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．13．對集合A＝{﹣1，2，x，y}，其中x＞0，y＞0，定義向量集合Ω＝{a→|a→=（m，n），m，n∈A}，若對任意a1→∈Ω，存在a2→∈Ω，使得a2→⊥a1→，則【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；集合；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】5或1+2【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積運算以及集合的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：取a1→=(2，2)，a2→所以a+t＝0；所以s和t是一正一負，不妨令s＜t，則a＝﹣1，t＝1，所以t＝1∈A，所以A＝{﹣1，2，1，m}，（m＞0），取a1由a1→?a2→=0，可知a當(dāng)a2→=(-1，b)時，由（m，2）?（﹣1，b）＝0又b∈{﹣1，2，1，m}，所以b＝1或2，從而m＝2或4，若m＝2，此時集合A不滿足集合中元素的互異性，所以m＝4，當(dāng)a2→=(b，-1)時，由（m，2）?（b，﹣1此時，b＝1，m＝2，（不滿足題意，舍去），或m＝1，b＝2（不滿足題意，舍去），或b＝m=2，綜上所述，x+y＝4+1＝5或x+y＝1+故答案為：5或1+2【點評】本題考查的知識點：集合的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)運算，向量的數(shù)量積運算，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．14．在△ABC中，若BC＝2，tanA=-43，cosB=4【考點】利用正弦定理解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】3【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，sinB的值，進而利用正弦定理即可求解b的值．【解答】解：△ABC中，若BC＝2，tanA=-可得sinA=由正弦定理得：BCsinA=AC所以AC=sinBsinA×2=故答案為：32【點評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15．已知大屏幕下端B離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位觀眾眼睛離地面1.5米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）10米．【考點】解三角形．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】10．【分析】設(shè)CD＝t，用t表示出tan∠BCD與tan∠ACD，根據(jù)兩角和差正切公式與基本不等式，確定出當(dāng)t=10時，tan∠【解答】解：作出示意圖形，如圖所示，根據(jù)題意得AB＝3，BD＝3.5﹣1.5＝2，設(shè)CD＝t，則tan∠BCD=所以tan∠因為t+10t≥210所以tan∠因為∠ACB所以當(dāng)CD=10時，可以∠故答案為：10．【點評】本題主要考查了兩角差的正切公式、利用基本不等式求最值、解三角形及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．在△ABC中，設(shè)角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，已知3c（1）求角B的大??；（2）當(dāng)a=22，b=23時，求邊長c和△【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）B=（2）c=6+【分析】（1）借助正弦定理將邊化為角，結(jié)合C＝π﹣（A+B）及兩角和的正弦公式計算化簡即可得；（2）根據(jù)正弦定理即可計算出A，結(jié)合B可求出C，用正弦定理即可得到c，再使用面積公式即可得到面積．【解答】解：（1）由正弦定理得3sinC由于C＝π﹣（A+B），則3sin展開得3sinAcosB化簡得3cosB則tanB=3，所以（2）由正弦定理，得23sinπ因為a＜b，所以A是銳角，即A=因為A+C=由正弦定理，得c=所以S=26【點評】本題考查由正弦定理、和角公式及三角形面積公式解三角形，屬中檔題．17．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB﹣bcosC＝ccosB，點D在線段BC上．（1）若∠ADC=3（2）若BD＝2DC，△ACD的面積為423，求【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）AD=83；（2【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得cosB，sinB的值，再在△ABD中，由正弦定理可得答案；（2）先求出BC的長，由余弦定理可得AC，再由正弦定理可得答案．【解答】解：（1）因為3acosB﹣bcosC＝ccosB，則由正弦定理可得，3sinAcosB﹣sinBcosC＝sinCcosB，即3sinAcosB＝sin（B+C）＝sinA，又sinA≠0，則cosB=所以sinB=又∠ADC=3在△ABD中，由正弦定理可得，ADsinB=AB所以AD=（2）設(shè)CD＝t，則BD＝2t，又△ACD的面積為423，則所以12×2×3t×223=42，解得t＝由余弦定理可得，AC=在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，又BD＝4，AB＝2，則在△ACD中，由正弦定理可得，CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，又又sin∠ADB＝sin∠ADC，則sin∠【點評】本題考查正余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．已知，m→=(3sinωx，cosωx)，n→=(（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=3，f（B）＝0，求△【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）[（2）(3【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，結(jié)合降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由f（B）＝0，得B=π3，由正弦定理和面積公式得S△ABC=3【解答】解：（1）已知m→=(3sinωx，則f(由f（x）的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2有T=得ω＝1，所以f(令-π解得-π所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-（2）已知f(由B∈得B=由正弦定理asinA得a＝2sinA，c＝2sinC，則S=3又△ABC是銳角三角形，則0＜即A∈(π則sin(2所以S△即△ABC面積的取值范圍是(3【點評】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及降冪公式和輔助角公式，重點考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及正弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，27bcosAsinB+acos2B﹣a＝0．（1）求tanA的值；（2）若a=2，點M是AB的中點，且CM＝1，求△ABC【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）7；（2）74【分析】（1）由正弦定理和三角恒等變換知識化簡即可；（2）在△ABC和△ACM中，由余弦定理計算可得c=2b【解答】解：（1）因為27bcosAsinB+acos2B﹣a＝0，所以由正弦定理可得：27cosAsin2化簡可得：27因為sinB不可能為0，所以tanA=（2）在△ABC中，由余弦定理得：cosA=在△ACM中，由余弦定理得：cosA=兩式聯(lián)立可得：b2+c由tanA=7可得，所以由cosA=b2+c2-所以S=【點評】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求A；（2）若△ABC的面積為3，BC邊上的高為1，求△ABC的周長．【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理進行化簡可求cosA，進而可求A；（2）結(jié)合三角形面積公式可求出a及bc，然后結(jié)合余弦定理即可求解b+c，進而可求三角形周長．【解答】解：（1）因為（2b﹣c）cosA＝acosC，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，因為在△ABC中，sinB≠0，所以cosA=又因為0＜A＜π，所以A=（2）因為△ABC的面積為3，BC邊上的高為1，所以12bcsinA=即12bc×32由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即12＝b2+c2﹣bc，化簡得（b+c）2＝3bc+12，所以（b+c）2＝24，即b+所以△ABC的周長為a+【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識點的認識】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=22．平面向量的相等與共線【知識點的認識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時候會與向量的坐標(biāo)運算等其它知識結(jié)合考察．3．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量a→，b→如果以O(shè)為起點，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→?b→=|a→||b→|cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為注意：①a→?b→②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一個數(shù)量|b→|cos（3）坐標(biāo)計算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：a→與b→的數(shù)量積a→?b→等于a→的長度|a→|與b4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=a即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．5．平面向量的投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)a→，b→是兩個非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．6．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．7．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識點的認識】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則b→∥a→（a→≠0→）?x18．?dāng)?shù)量積表示兩個平面向量的夾角【知識點的認識】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量a→與b→不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的兩個向量的夾角為60解：zz=3+i3∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的兩個向量的夾角為故答案為：60°．點評：這是個向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個?？键c，出題方式一般喜歡與其他的考點結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認真掌握．9．?dāng)?shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【知識點的認識】向量是有方向的，那么在一個空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1【解題方法點撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對于C：∵(-35，45)?（4，3對于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點評：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關(guān)系并靈活運用．10．正弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．11．利用正弦定理解三角形利用正弦定理解三角形12．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥