2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性【課件】

第二章§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型課時(shí)精練第一部分落實(shí)主干知識(shí)1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且

，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且

，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

的正數(shù)，那么這個(gè)

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝

，則T＝2a(a>0).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(

)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(

)(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).(

)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(

)√×××2.(2023·濟(jì)南統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－6x，則f(－1)等于A.－7B.－5C.5D.7因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝5.√√3.(2023·鹽城檢測(cè))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(2024.5)等于由f(x＋2)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其在[0，＋∞)上的圖象如圖所示.則不等式xf(x)>0的解集為_(kāi)_____________.(－2,0)∪(0,2)根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得f(x)的圖象如圖所示.xf(x)>0即圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同號(hào)，且均不為0.結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).返回第二部分探究核心題型例1

(1)(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是A.f(x)＝tanx

B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝

D.f(x)＝ln|1＋x|√題型一函數(shù)奇偶性的判斷√對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝tan(－x)＝－tanx＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝

＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(2)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則函數(shù)f(x)為_(kāi)____函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)奇由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0.令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，故f(－x)＝－f(x).故f(x)為奇函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.跟蹤訓(xùn)練1

(2024·哈爾濱模擬)下列函數(shù)中不具有奇偶性的是A.f(x)＝x＋sinx√A項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)為奇函數(shù)；B項(xiàng)，令

≥0，解得x≤－1或x>1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪(1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f(x)為非奇非偶函數(shù)；D項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝f(x)知，f(x)為偶函數(shù).命題點(diǎn)1利用奇偶性求值(解析式)例2

(1)(2023·黔東南統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，則f(－m)等于A.4B.6C.－4D.－6題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用√由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)g(x)＝f(x)－5＝2x－2－x，則g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)，即g(x)是奇函數(shù)，故g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－5＋f(－m)－5＝0，即f(m)＋f(－m)＝10，因?yàn)閒(m)＝4，所以f(－m)＝6.(2)(2023·呂梁統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝e－x＋2x－1，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝____________.－ex＋2x＋1因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝－ex＋2x＋1.命題點(diǎn)2利用奇偶性解不等式例3

(2023·深圳模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)滿足f(1)＝0，且對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則不等式xf(x)<0的解集為A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－2，－1)D.(－2，－1)∪(0,1)√由題意知，對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，因?yàn)閒(1)＝0，則有f(－1)＝0，由xf(x)<0可得，當(dāng)x>0時(shí)，不等式可化為f(x)<0＝f(1)，解得x>1；當(dāng)x<0時(shí)，不等式可化為f(x)>0＝f(－1)，解得x<－1.綜上，原不等式的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞).微拓展抽象函數(shù)抽象函數(shù)主要研究賦值求值、證明函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，一般通過(guò)代入特殊值求值、通過(guò)f(x1)－f(x2)的變換判定單調(diào)性、出現(xiàn)f(x)及f(－x)判定抽象函數(shù)的奇偶性、換x為x＋T確定周期性.(1)判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法①若給出的是“和型”抽象函數(shù)f(x＋y)＝…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；微拓展②若給出的是“積型”抽象函數(shù)f(xy)＝…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為f(x2)－(2)常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型①正比例函數(shù)f(x)＝kx(k≠0)，對(duì)應(yīng)f(x±y)＝f(x)±f(y)；③指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，對(duì)應(yīng)f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝微拓展④對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，對(duì)應(yīng)f(xy)＝f(x)＋f(y)或

＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；⑤正弦函數(shù)f(x)＝sinx，對(duì)應(yīng)f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，來(lái)源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；微拓展典例

(1)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，且滿足f(2)＝1，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)為奇函數(shù)B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－5，＋∞)D.f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023√√對(duì)于A，令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正確；對(duì)于C，設(shè)x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因?yàn)閤1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－7，＋∞)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2024)＋f(2024)＝f(－2023)＋f(2023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝0，故D錯(cuò)誤.(2)已知函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)?m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)；②

＝－1.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)f(x)＝________________________________.log2x(答案不唯一，符合條件即可)因?yàn)閷?duì)?m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)，所以f(x)在(0，＋∞)上可能為對(duì)數(shù)函數(shù)，故f(x)＝logax(a>0，且a≠1)滿足條件①，故符合上述條件的函數(shù)可以為f(x)＝log2x.(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋x＋m，則f(－1)等于A.eB.－eC.e＋1

D.－e－1√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.(2)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x，x∈(－2,2)，則不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集為_(kāi)_______.依題意，f(x)是定義在(－2,2)上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，∴f(2x－1)＋f(x)>0，可化為f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，√方法一因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，此時(shí)f(x)為偶函數(shù)，符合題意.故a＝0.所以g(x)為奇函數(shù).則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.例4

(1)(2024·安康統(tǒng)考)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(2＋x)＝f(－x)，題型三函數(shù)的周期性√因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期為2，(2)(2023·瀘州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是A.2024B.2023C.1D.0√因?yàn)閒(x)的周期為3，f(－1)＝1，則f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，則f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)為偶函數(shù)，故f(1)＝f(－1)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝675×0＝0.(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練3

(多選)(2023·深圳模擬)已知非常數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，則A.f(2)＝0B.f(x＋4)為偶函數(shù)C.f(x)為周期函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－4,0)對(duì)稱√√√因?yàn)閒(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期是4，故C正確；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正確；又f(x)的一個(gè)周期為4，且為奇函數(shù)，所以f(x＋4)為奇函數(shù)，故B不正確；因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，所以f(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(－4,0)對(duì)稱，故D正確.返回課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·寧波統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，則f(2024)等于A.－1B.0C.1D.2√12345678910111213141234567891011121314因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f(2024)＝f(0)＝0.12345678910111213142.(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)＝

是偶函數(shù)，則a等于A.－2B.－1C.1D.2√又因?yàn)閤≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.3.(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是A.f(－1)<f(0)<f(－6.5)B.f(－6.5)<f(0)<f(－1)C.f(－1)<f(－6.5)<f(0)D.f(0)<f(－6.5)<f(－1)√12345678910111213141234567891011121314∵f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為2，∵偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1).4.(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√

為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1.12345678910111213145.(2023·紹興統(tǒng)考)若f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝2x，則f(0)＋g(1)等于1234567891011121314√1234567891011121314f(x)＋g(x)＝2x，

①則f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，

②12345678910111213146.(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝2－|x|＋

，則使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是√12345678910111213141234567891011121314所以f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)閒(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展開(kāi)可得3m2－2m－1>0，二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·松原模擬)下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是A.f(x)＝x－sinxB.f(x)＝x2cosxC.f(x)＝x＋x3D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)1234567891011121314√√1234567891011121314對(duì)于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然y＝x與y＝x3在R上既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增，故C正確；1234567891011121314對(duì)于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，所以

f(x)為(－2,2)上的奇函數(shù)，8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，則函數(shù)f(x)滿足A.f(0)＝0B.y＝f(x)為奇函數(shù)C.f(x)在R上單調(diào)遞增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集為{x|－2<x<1}√1234567891011121314√√1234567891011121314由題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，對(duì)于A，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正確；對(duì)于B，令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)為奇函數(shù)，故B正確；1234567891011121314對(duì)于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，因?yàn)閤1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以x－1<1－x2，解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集為{x|－2<x<1}，故D正確.三、填空題9.(2024·太原模擬)寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù)____________________________.1234567891011121314不唯一)1234567891011121314由最小正周期為3的偶函數(shù)，可考慮三角函數(shù)中的余弦型函數(shù)f(x)＝Acosωx＋b(A≠0)，滿足f(－x)＝Acosωx＋b＝f(x)，即是偶函數(shù).10.(2023·全國(guó)甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋

為偶函數(shù)，則a＝____.＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函數(shù)為偶函數(shù)，∴a－2＝0，解得a＝2.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a＝2時(shí)滿足題意.21234567891011121314四、解答題11.已知函數(shù)f(x)＝

是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；1234567891011121314設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1234567891011121314要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].123456789101112131412.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，