2025高考數學一輪復習§2.4函數的對稱性【課件】

第二章§2.4函數的對稱性1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題.課標要求內容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.奇函數、偶函數的對稱性(1)奇函數關于

對稱，偶函數關于

對稱.(2)若f(x＋a)是偶函數，則函數f(x)圖象的對稱軸為

；若f(x＋a)是奇函數，則函數f(x)圖象的對稱中心為

.2.若函數y＝f(x)滿足f(a－x)＝f(a＋x)，則函數的圖象關于直線x＝a對稱；若函數y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數的圖象關于點

對稱.原點y軸x＝a(a，0)(a，0)3.兩個函數圖象的對稱(1)函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于

對稱；(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于

對稱；(3)函數y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于

對稱.y軸x軸原點1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數y＝f(x)是奇函數，則函數y＝f(x－1)的圖象關于點(1,0)對稱.(

)(2)若函數y＝f(x＋1)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(

)(3)函數y＝5x與y＝5－x的圖象關于x軸對稱.(

)(4)若函數f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱.(

)√√√×2.函數f(x)＝

的圖象的對稱中心為A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)√3.已知定義在R上的函數f(x)在(－∞，2)上單調遞增，且f(x＋2)＝f(2－x)對任意x∈R恒成立，則A.f(－1)<f(3) B.f(0)>f(3)C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3)√因為f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上單調遞增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).4.(2023·南昌檢測)已知函數y＝f(x)的圖象經過點P(1，－2)，則函數y＝－f(－x)的圖象必過點________.(－1,2)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱，y＝f(x)的圖象經過點P(1，－2)，則函數y＝－f(－x)的圖象必過點(－1,2).返回第二部分探究核心題型例1

(1)(2024·株洲模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且函數f(x＋1)為偶函數，當－1≤x≤0時，f(x)＝x3，則

等于√題型一軸對稱問題由函數f(x＋1)為偶函數，可得函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(2＋x)＝f(－x)，因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，可得函數f(x)的周期為4，(2)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x＋2)為偶函數，f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，則不等式f(－x2)>f(－1)的解集為________.(－1,1)∵f(x＋2)是偶函數，∴f(x＋2)的圖象關于直線x＝0對稱，∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，又f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，∴f(x)在(－∞，2]上單調遞增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集為(－1,1).函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱.跟蹤訓練1

(1)(2023·郴州檢測)已知函數f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關系是A.f(－1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1)D.f(－1)<f(2)<f(1)√因為f(x＋1)是偶函數，所以其對稱軸為直線x＝0，所以f(x)的對稱軸為直線x＝1，又二次函數f(x)＝－x2＋bx＋c的開口向下，根據自變量與對稱軸的距離可得f(－1)<f(2)<f(1).(2)(2023·承德統(tǒng)考)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，則x1＋x2＋x3＋x4等于A.－4B.0C.4D.8√由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，y＝|x－2|的圖象關于直線x＝2對稱，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8.例2

(1)(多選)下列說法中，正確的是A.函數f(x)＝

的圖象關于點(－2,2)中心對稱B.函數f(x)滿足f(2x－1)為奇函數，則函數f(x)關于點(－1,0)中心對稱C.若函數y＝f(x)過定點(0,1)，則函數y＝f(x－1)＋1過定點(1,2)D.函數y＝

的圖象關于點(3，c)中心對稱，則b＋c＝2題型二中心對稱問題√√√對于B，因為f(2x－1)為奇函數，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函數f(x)關于點(－1,0)中心對稱，B正確；對于C，函數y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數y＝f(x－1)＋1的圖象，由于y＝f(x)過定點(0,1)，故函數y＝f(x－1)＋1過定點(1,2)，C正確；所以b＋c＝4，D不正確.(2)(2024·南京模擬)已知函數y＝f(x)滿足f(－x)＝f(2＋x)，其圖象關于點(2,0)對稱，f(2)＝0，則f(18)＝_____.0因為函數y＝f(x)的圖象關于點(2,0)對稱，所以f(－x)＝－f(4＋x)，又f(－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函數f(x)的一個周期為4，所以f(18)＝f(2)＝0.函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點

成中心對稱.跟蹤訓練2

(1)(2023·揚州模擬)已知定義域為R的函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞減，且f(x＋1)為奇函數，則使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的實數x的取值范圍是A.(－1,2)B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)√因為f(x＋1)為奇函數，所以f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，因為f(x)在[1，＋∞)上單調遞減，所以f(x)在R上單調遞減，所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范圍為(－∞，－2)∪(1，＋∞).(2)已知定義域為R的函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，且當x≥1時，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，則3m＋n等于A.7

B.2C.－2D.－√因為定義域為R的函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，且當x≥1時，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，則f(3)＝－f(－1)＝7.故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.例3

已知函數y＝f(x)是定義域為R的函數，則函數y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象A.關于直線x＝1對稱B.關于直線x＝3對稱C.關于直線y＝3對稱D.關于點(3,0)對稱題型三兩個函數圖象的對稱√設P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點Q(2－x0，y0)在函數y＝f(4－x)的圖象上，而點P(x0，y0)與點Q(2－x0，y0)關于直線x＝1對稱，所以函數y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象關于直線x＝1對稱.函數y＝f(a＋x)的圖象與函數y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝

對稱.跟蹤訓練3

下列函數與y＝ex的圖象關于直線x＝1對稱的是A.y＝ex－1

B.y＝e1－xC.y＝e2－x

D.y＝lnx√與f(x)＝ex的圖象關于直線x＝1對稱的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.返回課時精練一、單項選擇題1.下列函數的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A.y＝

B.y＝lg|x|C.y＝tanx

D.y＝x3√12345678910111213141234567891011121314y＝

的圖象關于y＝x、坐標原點(0,0)分別成軸對稱和中心對稱，故A正確；y＝lg|x|為偶函數，其圖象關于y軸對稱，但無對稱中心，故B錯誤；y＝tanx關于點

(k∈Z)成中心對稱，但無對稱軸，故C錯誤；y＝x3為奇函數，其圖象關于坐標原點(0,0)成中心對稱，但無對稱軸，故D錯誤.12345678910111213142.(2024·聊城檢測)函數y＝2－x與y＝－2x的圖象A.關于x軸對稱

B.關于y軸對稱C.關于原點對稱

D.關于直線y＝x軸對稱√令f(x)＝2x，則－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱，∴y＝2－x與y＝－2x的圖象關于原點對稱.3.(2023·襄陽模擬)已知函數f(x)＝2x＋

(x∈R)，則f(x)的圖象A.關于直線x＝1對稱B.關于點(1,0)對稱C.關于直線x＝0對稱D.關于原點對稱√12345678910111213141234567891011121314√123456789101112131412345678910111213145.已知函數f(1－x)的圖象與函數f(2＋x)的圖象關于直線x＝m對稱，則m等于1234567891011121314√1234567891011121314設點P(x，y)在函數y＝f(1－x)的圖象上，點P關于直線x＝m的對稱點Q(x′，y′)，則y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)與y＝f(1－x)關于直線x＝m對稱，6.(2023·重慶模擬)已知函數y＝f(x)的定義域為R，且函數y＝f(x＋1)為偶函數，函數y＝f(x＋2)－1為奇函數，則√12345678910111213141234567891011121314因為函數y＝f(x＋1)為偶函數，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，因為函數y＝f(x)的定義域為R，函數y＝f(x＋2)－1為奇函數，所以函數y＝f(x)的圖象關于點(2,1)對稱，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.二、多項選擇題7.設函數f(x)＝2x－1＋21－x，則下列說法錯誤的是A.f(x)在(0，＋∞)上單調遞增B.f(x)為奇函數C.f(x)的圖象關于直線x＝1對稱D.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱1234567891011121314√√√1234567891011121314∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故C正確，A，D錯誤；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函數，故B錯誤.8.已知函數y＝f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，且f(1－x)＝f(1＋x)，則A.f(0)＝f(2) B.f(－1)<f(4)C.f(2x＋1)<f(1) D.f(x＋1)為偶函數√1234567891011121314√√1234567891011121314由f(1－x)＝f(1＋x)知，函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(0)＝f(2)，故A正確；又f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在(－∞，1]上單調遞減，因為f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(－1)＝f(3)<f(4)，故B正確；因為1<2x＋1，f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以f(1)<f(2x＋1)，故C錯誤；1234567891011121314因為函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以函數f(x＋1)的圖象關于直線x＝0對稱，即函數f(x＋1)的圖象關于y軸對稱，所以f(x＋1)為偶函數，故D正確.三、填空題9.(2023·蘇州模擬)寫出一個同時滿足條件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常數函數.則f(x)＝___________________________________________________________________.1234567891011121314因為f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函數的周期T＝2，函數的對稱軸為直線x＝1，故可取函數f(x)＝cosπx.10.(2023·荊州統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(2－x)＝f(－x)，設函數f(x)與函數y＝

的圖象交于點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則

的值為_____.1234567891011121314n∵函數f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，則f(2－x)＋f(x)＝0，∴函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，1234567891011121314四、解答題11.(2024·邢臺檢測)已知函數f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.(1)判斷并證明函數f(x)的對稱性；f(x)的圖象關于直線x＝2對稱.證明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞).因為f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝2對稱.1234567891011121314(2)求f(x)的單調區(qū)間.設y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，當x>2時，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)單調遞增，y2＝x2－4x也單調遞增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上單調遞增.又f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，故f(x)的單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－∞，2).1234567891011121314123456789101112131412.函數y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數.(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函數圖象的對稱中心；1234567891011121314設函數f(x)＝x3－3x2的圖象的對稱中心為點P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，則g(x)為奇函數，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，所以函數f(x)＝x3－3x2的圖象的對稱中心為(1，－2).1234567891011121314(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y＝f(x)的圖象關于y軸成軸對稱的充要條件是函數y＝f(x)為偶函數”的一個推廣結論.推論：函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱的充要條件是函數y＝f(x＋a)為偶函數.13.設函數f(x)定義域為R，若f(x＋2)，f(x－2)都為奇函數，則下面結論成立的是A.f(x)為奇函數

B.f(x)為偶函數C.f(x)＝f(x＋4) D.f(x＋6)為奇函數123456789101112131