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第二章§2.5函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容,經(jīng)常以客觀題出現(xiàn),通過分析函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn),結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì),往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.重點(diǎn)解讀例1
(2024·德宏質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若?x∈(-∞,0],且x1≠x2,
>0,則不等式a2f(a2)-(a-1)f(a-1)>0的解集為√題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以xf(x)是定義在R上的偶函數(shù),由題意可知xf(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,則xf(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,設(shè)g(x)=xf(x),a2f(a2)-(a-1)f(a-1)>0?a2f(a2)>(a-1)f(a-1)?
g(a2)>g(a-1),(1)解抽象函數(shù)不等式,先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x)),利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉,得到具體的不等式(組).(2)比較大小,利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.跟蹤訓(xùn)練1
(2023·邯鄲模擬)已知y=f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則
≥0的解集為___________________.(-∞,-3]∪(0,1]由題意知函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增且為偶函數(shù),由f(2)=0得f(-2)=0,作出f(x)的輔助圖并向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,如圖所示,例2
(2023·襄陽模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則題型二函數(shù)的奇偶性與周期性√∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),∴f(6)=f(2)=-f(0)=f(0),f(-7)=f(1),又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等,常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.跟蹤訓(xùn)練2
(2023·石家莊模擬)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)為偶函數(shù),且f(1)=2,則f(2023)+f(2024)的值為A.2B.1C.-1
D.-2√∵f(x+1)為偶函數(shù),∴f(x+1)=f(-x+1),令t=x+1,則-x+1=2-t,即f(t)=f(2-t),∵f(x)為奇函數(shù),∴f(t)=-f(-t),∴f(2-t)=-f(-t),令m=-t,得f(2+m)=-f(m),∴f(4+m)=-f(2+m)=f(m),∴f(4+x)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),又f(1)=2,f(0)=0,則f(2023)+f(2024)=f(506×4-1)+f(506×4)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0)=-2.例3
(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),則下列函數(shù)的圖象一定關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱的是A.y=(x-1)f(x-1)B.y=(x+1)f(x+1)C.y=xf(x)+1D.y=xf(x)-1題型三函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性√構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),該函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),函數(shù)g(x)為奇函數(shù),故函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)y=(x-1)f(x-1)的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故函數(shù)y=(x-1)f(x-1)圖象的對(duì)稱中心為(1,0);對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)y=(x+1)f(x+1)的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故函數(shù)y=(x+1)f(x+1)圖象的對(duì)稱中心為(-1,0);對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)y=xf(x)+1的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故函數(shù)y=xf(x)+1圖象的對(duì)稱中心為(0,1);對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)y=xf(x)-1的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故函數(shù)y=xf(x)-1圖象的對(duì)稱中心為(0,-1).由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可求函數(shù)的周期,常用于化簡(jiǎn)求值、比較大小等.跟蹤訓(xùn)練3
若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x),在區(qū)間(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則下列說法正確的是A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱C.在區(qū)間(2,3)上,f(x)單調(diào)遞減√f(4-x)=f(2-(x-2))=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱,∵f(2-x)=f(x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=1軸對(duì)稱,故A,B錯(cuò)誤;根據(jù)題意可得,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,∵f(x)的圖象關(guān)于直線x=1軸對(duì)稱,關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱,則f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減,故C正確;又∵f(x)=f(2-x)=-f(x-2),則f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期為4,例4
(多選)(2024·昆明模擬)已知定義域?yàn)镽的非常數(shù)函數(shù)f(x),f(1+x)=f(1-x),且圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,則下列說法正確的是A.f(0)=f(2) B.f(x)的周期T=2C.f(x)為奇函數(shù)
D.f(x)為偶函數(shù)題型四函數(shù)的周期性與對(duì)稱性√√由f(1+x)=f(1-x)知,f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,所以f(0)=f(2);由f(1+x)=f(1-x)知,f(2+x)=f(-x),又圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),f(x)的一個(gè)周期為4;又f(4+x)=-f(-x)且T=4,所以f(x)=f(4+x)=-f(-x),所以f(x)為奇函數(shù).函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì),在高考中常常將它們綜合在一起命題,解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.跟蹤訓(xùn)練4
(多選)(2023·鹽城模擬)已知非常數(shù)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),下列說法正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱B.g(2023)=0C.g(x)的最小正周期為4D.對(duì)任意x∈R都有f(2-x)=f(x)√√√因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),所以f(x)關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱,且直線x=1為對(duì)稱軸,所以直線x=-1也是對(duì)稱軸,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,所以f(x)=f(2-x),A,D正確;由A分析知f(x)=f(2-x)=-f(-x),故f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù),則g(2023)=f(2024)=f(0)=0,B正確;但不能說明g(x)的最小正周期為4,C錯(cuò)誤.返回課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知f(x)是R上的偶函數(shù),且f(x)+f(x+2)=0,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=1-x2,則f(2023.5)等于A.-0.75 B.-0.25C.0.25 D.0.75√1234567891012345678910由f(x)+f(x+2)=0,得f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2),則f(x+4)=f(x),所以4是f(x)的一個(gè)周期,故f(2023.5)=f(3.5)=f(-0.5)=f(0.5)=1-0.52=0.75.123456789102.定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且f(x)=f(2-x),若f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)A.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞減B.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞增C.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞減D.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞增√12345678910∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,∵f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,∴f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,又∵f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),∴f(2-x)=f(-x),∴f(x)是周期為2的函數(shù),∴f(x)在區(qū)間[-2,-1]上也單調(diào)遞增.3.(2023·廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,f(2-x)=f(x),且f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,則A.f(-5.3)<f(5.5)<f(2)B.f(-5.3)<f(2)<f(5.5)C.f(2)<f(-5.3)<f(5.5)D.f(5.5)<f(2)<f(-5.3)√1234567891012345678910根據(jù)題意,函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,f(2-x)=f(x),則有f(2-x)=-f(-x),變形可得f(x+2)=-f(x),則有f(x+4)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),易得f(x)的對(duì)稱軸為直線x=1,因?yàn)閒(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減,f(5.5)=f(1.5),12345678910f(-5.3)=f(2.7-8)=f(2.7),因?yàn)?<1.5<2<2.7<3,所以f(1.5)>f(2)>f(2.7),即f(-5.3)<f(2)<f(5.5).√123456789104.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足f(x+1)+f(3-x)=0,且當(dāng)x∈(2,4)時(shí),f(x)=
,若
=f(-1),則m等于因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)為奇函數(shù),因?yàn)閒(x+1)=-f(3-x)=f(x-3),故函數(shù)f(x)的周期為4,則f(2025)=f(1),而f(-1)=-f(1),而f(1)=-f(3)=123456789105.已知函數(shù)f(x)=2x+2-x,則下列函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是12345678910√12345678910因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x+2-x的定義域?yàn)镽,且f(-x)=2-x+2x=f(x),故函數(shù)f(x)=2x+2-x為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)f(x-1)的圖象為函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,6.已知偶函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-3),且當(dāng)0≤a<b時(shí),不等式
<0恒成立,則使得f(x-1)+3<0成立的x的取值范圍為A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(0,2)√1234567891012345678910由題意可知,f(x)為偶函數(shù),且經(jīng)過點(diǎn)(-1,-3),所以點(diǎn)(1,-3)也在函數(shù)f(x)的圖象上,即f(1)=-3,因?yàn)?≤a<b,所以b-a>0,12345678910所以f(b)-f(a)<0,即f(b)<f(a),所以函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)閒(x-1)+3<0,所以f(x-1)<-3,即f(x-1)<f(1),因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)且在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以|x-1|>1,解得x>2或x<0.所以使得f(x-1)+3<0成立的x的取值范圍為(-∞,0)∪(2,+∞).二、多項(xiàng)選擇題7.(2024·蘭州模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上單調(diào)遞增,則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增C.f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減D.f(2)=f(0)12345678910√√根據(jù)題意,若f(x+1)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),f(x)是周期為2的周期函數(shù),則有f(2)=f(0),故D正確;若f(x+2)=f(x),且函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則有f(x+2)=f(-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故A正確;因?yàn)閒(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;又f(x)是周期為2的周期函數(shù),則函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤.123456789108.(2023·邯鄲模擬)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(x)-f(-x)=0,且滿足f(x+1)為奇函數(shù),當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=
,下列結(jié)論正確的是A.f(1)=0B.f(x)的周期為2C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱√12345678910√√因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù),所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(-0+1)=-f(0+1),所以f(1)=0,A正確;所以f(0)=-cos0=-1,因?yàn)閒(-x+1)=-f(x+1),所以f(2)=-f(0)=1,故f(2)≠f(0),所以2不是f(x)的周期,故
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