2025高考數(shù)學一輪復習§2.5函數(shù)性質(zhì)的綜合應用【課件】

第二章§2.5函數(shù)性質(zhì)的綜合應用函數(shù)性質(zhì)的綜合應用是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)特點，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進行考查.重點解讀例1

(2024·德宏質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若?x∈(－∞，0]，且x1≠x2，

>0，則不等式a2f(a2)－(a－1)f(a－1)>0的解集為√題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性因為f(x)為奇函數(shù)，所以xf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，由題意可知xf(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，則xf(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，設g(x)＝xf(x)，a2f(a2)－(a－1)f(a－1)>0?a2f(a2)>(a－1)f(a－1)?

g(a2)>g(a－1)，(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組).(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進而利用其單調(diào)性比較大小.跟蹤訓練1

(2023·邯鄲模擬)已知y＝f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x∈[0，＋∞)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則

≥0的解集為___________________.(－∞，－3]∪(0,1]由題意知函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，由f(2)＝0得f(－2)＝0，作出f(x)的輔助圖并向左平移一個單位長度，如圖所示，例2

(2023·襄陽模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)單調(diào)遞增，則題型二函數(shù)的奇偶性與周期性√∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f(－7)＝f(1)，又當x∈[0,1]時，f(x)單調(diào)遞增，周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.跟蹤訓練2

(2023·石家莊模擬)奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(2023)＋f(2024)的值為A.2B.1C.－1

D.－2√∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，令t＝x＋1，則－x＋1＝2－t，即f(t)＝f(2－t)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(t)＝－f(－t)，∴f(2－t)＝－f(－t)，令m＝－t，得f(2＋m)＝－f(m)，∴f(4＋m)＝－f(2＋m)＝f(m)，∴f(4＋x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(1)＝2，f(0)＝0，則f(2023)＋f(2024)＝f(506×4－1)＋f(506×4)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2.例3

(2023·長沙模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則下列函數(shù)的圖象一定關(guān)于點(－1,0)成中心對稱的是A.y＝(x－1)f(x－1)B.y＝(x＋1)f(x＋1)C.y＝xf(x)＋1D.y＝xf(x)－1題型三函數(shù)的奇偶性與對稱性√構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，該函數(shù)的定義域為R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)圖象的對稱中心為坐標原點.對于A選項，函數(shù)y＝(x－1)f(x－1)的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝(x－1)f(x－1)圖象的對稱中心為(1,0)；對于B選項，函數(shù)y＝(x＋1)f(x＋1)的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向左平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝(x＋1)f(x＋1)圖象的對稱中心為(－1,0)；對于C選項，函數(shù)y＝xf(x)＋1的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向上平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝xf(x)＋1圖象的對稱中心為(0,1)；對于D選項，函數(shù)y＝xf(x)－1的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向下平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝xf(x)－1圖象的對稱中心為(0，－1).由函數(shù)的奇偶性與對稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡求值、比較大小等.跟蹤訓練3

若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，在區(qū)間(0,1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則下列說法正確的是A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2軸對稱C.在區(qū)間(2,3)上，f(x)單調(diào)遞減√f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)中心對稱，∵f(2－x)＝f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱，故A，B錯誤；根據(jù)題意可得，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，∵f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱，關(guān)于點(2,0)中心對稱，則f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減，故C正確；又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，則f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期為4，例4

(多選)(2024·昆明模擬)已知定義域為R的非常數(shù)函數(shù)f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，且圖象關(guān)于點(2,0)對稱，則下列說法正確的是A.f(0)＝f(2) B.f(x)的周期T＝2C.f(x)為奇函數(shù)

D.f(x)為偶函數(shù)題型四函數(shù)的周期性與對稱性√√由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝1，所以f(0)＝f(2);由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)，又圖象關(guān)于點(2,0)對稱，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的一個周期為4；又f(4＋x)＝－f(－x)且T＝4，所以f(x)＝f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(x)為奇函數(shù).函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.跟蹤訓練4

(多選)(2023·鹽城模擬)已知非常數(shù)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，下列說法正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱B.g(2023)＝0C.g(x)的最小正周期為4D.對任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)√√√因為f(x)為R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x)關(guān)于(0,0)中心對稱，且直線x＝1為對稱軸，所以直線x＝－1也是對稱軸，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，所以f(x)＝f(2－x)，A，D正確；由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是一個周期為4的周期函數(shù)，則g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B正確；但不能說明g(x)的最小正周期為4，C錯誤.返回課時精練一、單項選擇題1.已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)＋f(x＋2)＝0，當0≤x≤1時，f(x)＝1－x2，則f(2023.5)等于A.－0.75 B.－0.25C.0.25 D.0.75√1234567891012345678910由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，則f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一個周期，故f(2023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75.123456789102.定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)A.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減B.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞增C.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減D.在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞增√12345678910∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∵f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，∴f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，又∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是周期為2的函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2，－1]上也單調(diào)遞增.3.(2023·廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，則A.f(－5.3)<f(5.5)<f(2)B.f(－5.3)<f(2)<f(5.5)C.f(2)<f(－5.3)<f(5.5)D.f(5.5)<f(2)<f(－5.3)√1234567891012345678910根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，則有f(2－x)＝－f(－x)，變形可得f(x＋2)＝－f(x)，則有f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，易得f(x)的對稱軸為直線x＝1，因為f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，f(5.5)＝f(1.5)，12345678910f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)，因為1<1.5<2<2.7<3，所以f(1.5)>f(2)>f(2.7)，即f(－5.3)<f(2)<f(5.5).√123456789104.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且滿足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且當x∈(2,4)時，f(x)＝

，若

＝f(－1)，則m等于因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，因為f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)，故函數(shù)f(x)的周期為4，則f(2025)＝f(1)，而f(－1)＝－f(1)，而f(1)＝－f(3)＝123456789105.已知函數(shù)f(x)＝2x＋2－x，則下列函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是12345678910√12345678910因為函數(shù)f(x)＝2x＋2－x的定義域為R，且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，故函數(shù)f(x)＝2x＋2－x為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)f(x－1)的圖象為函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，故函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，6.已知偶函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(－1，－3)，且當0≤a<b時，不等式

<0恒成立，則使得f(x－1)＋3<0成立的x的取值范圍為A.(－∞，0)∪(2，＋∞)B.(－∞，0)C.(2，＋∞)D.(0,2)√1234567891012345678910由題意可知，f(x)為偶函數(shù)，且經(jīng)過點(－1，－3)，所以點(1，－3)也在函數(shù)f(x)的圖象上，即f(1)＝－3，因為0≤a<b，所以b－a>0，12345678910所以f(b)－f(a)<0，即f(b)<f(a)，所以函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，因為f(x－1)＋3<0，所以f(x－1)<－3，即f(x－1)<f(1)，因為f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以|x－1|>1，解得x>2或x<0.所以使得f(x－1)＋3<0成立的x的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞).二、多項選擇題7.(2024·蘭州模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞增，則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱B.f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增C.f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減D.f(2)＝f(0)12345678910√√根據(jù)題意，若f(x＋1)＝－f(x)，則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則有f(2)＝f(0)，故D正確；若f(x＋2)＝f(x)，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則有f(x＋2)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故A正確；因為f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，故B錯誤；又f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，故C錯誤.123456789108.(2023·邯鄲模擬)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)－f(－x)＝0，且滿足f(x＋1)為奇函數(shù)，當x∈[0,1)時，f(x)＝

，下列結(jié)論正確的是A.f(1)＝0B.f(x)的周期為2C.f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱√12345678910√√因為f(x＋1)為奇函數(shù)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，所以f(1)＝0，A正確；所以f(0)＝－cos0＝－1，因為f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)，所以2不是f(x)的周期，故