2025高考數(shù)學一輪復習§2.8對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【課件】

第二章§2.8對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.理解對數(shù)的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點.3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).課標要求內容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作

，其中

叫做對數(shù)的底數(shù)，

叫做真數(shù).以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作

.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作

.x＝logaNaNlgNlnN2.對數(shù)的性質與運算性質(1)對數(shù)的性質：loga1＝

，logaa＝

，

＝

(a>0，且a≠1，N>0).(2)對數(shù)的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝

；②

＝

；③logaMn＝

(n∈R).(3)對數(shù)換底公式：logab＝

(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).01NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質

a>10<a<1圖象

定義域__________值域____(0，＋∞)R

a>10<a<1性質過定點

，即x＝1時，y＝0當x>1時，

；當0<x<1時，_____當x>1時，

；當0<x<1時，_____

函數(shù)

函數(shù)(1,0)y>0y<0y<0y>0增減4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)

(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線

對稱.y＝logaxy＝x1.logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，

＝

logab(a>0，且a≠1，b>0).2.如圖，給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象.則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.(

)(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對數(shù)函數(shù).(

)(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù).(

)(4)函數(shù)y＝log2x與y＝

的圖象關于x軸對稱.(

)√×××2.(2023·雅安模擬)已知xlog32＝1，則4x等于√xlog32＝1，所以3.函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的圖象大致為√f(x)＝loga|x|＋1的定義域為{x|x≠0}，因為f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝logax＋1(a>1)單調遞增.結合選項可知選A.返回對于函數(shù)y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，則y＝4，所以函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過定點(2,4)，即點P的坐標是(2,4).4.已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過定點P，則點P的坐標是______.(2,4)第二部分探究核心題型例1

(1)(2024·洛陽模擬)已知3a＝5b＝m，且

＝1，則實數(shù)m的值為______.題型一對數(shù)式的運算45由3a＝5b＝m，可知m>0，顯然m≠1.所以m＝45.＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.2解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.跟蹤訓練1

(1)若a>0，

＝

，則

等于A.2B.3C.4D.5√所以(2)計算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____.2原式＝2lg5＋lg2(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋(lg2)2＝1＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.例2

(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用√由函數(shù)圖象可知，f(x)為增函數(shù)，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1<logab<0，綜上，0<a－1<b<1.(2)已知函數(shù)f(x)＝

若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是A.[10,12] B.(10,12]C.(10,12) D.[10,12)√不妨設a<b<c，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|，即－lga＝lgb，∴l(xiāng)gab＝0，則ab＝1，∴abc＝c，又10<c<12，∴abc的取值范圍是(10,12).對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解.跟蹤訓練2

(1)(2024·烏魯木齊檢測)我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質，也常用函數(shù)解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

(a>0且a≠1)在同一坐標系中的大致圖象是√對于A，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a>1，則0<<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，故A錯誤；對于B，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得0<a<1，則

>1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，故B錯誤；對于C，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a>1，則0<<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，故C正確；對于D，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a>1，則0<<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，故D錯誤.(2)(2023·濮陽模擬)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為√由函數(shù)y＝ax的圖象可得a>1.當a>1時，y＝logax經過定點(1,0)，為增函數(shù).因為y＝logax與y＝loga(－x)的圖象關于y軸對稱，所以y＝loga(－x)經過定點(－1,0)，為減函數(shù).而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的圖象向右平移一個單位長度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的圖象經過定點(0,0),為減函數(shù).結合選項可知選D.題型三對數(shù)函數(shù)的性質及應用例3已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，則a，b，c的大小關系為A.a>b>c

B.b>c>aC.b>a>c

D.c>a>b√命題點1比較對數(shù)式的大小∵a＝log20.3<log21＝0，b＝ln3>lne＝1，0＝log31<log32<log33＝1，即0<c<1，∴b>c>a.命題點2解對數(shù)方程、不等式√例5

(2023·鄭州模擬)設函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)命題點3對數(shù)函數(shù)的性質及應用√由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)為定義域上的奇函數(shù)，故排除A，C；f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域和復合函數(shù)的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成.跟蹤訓練3

(1)(2023·宜賓模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是A.[2，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1] D.(－∞，0]√由題意得，x2－2x>0?x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，而函數(shù)y＝x2－2x的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝x2－2x在(－∞，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調性“同增異減”的原則，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)，又因為函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上單調遞增，所以a∈[2，＋∞).√可知0<a<1.返回課時精練一、單項選擇題1234567891011121314√12345678910111213142.若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過點(1,3)，則f(log28)等于A.－1B.1C.2D.3√依題意，函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，即函數(shù)y＝ax的圖象過點(1,3)，則a＝3，所以f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1.12345678910111213143.若

，則x1與x2的關系正確的是A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1C.1<x1<x2

D.1<x2<x1√1234567891011121314因為所以log0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81，又因為y＝log0.8x在(0，＋∞)上單調遞減，所以1<x1<x2.4.已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b為常數(shù))的圖象如圖，則下列結論正確的是A.a>0，b<－1 B.a>0，－1<b<0C.0<a<1，b<－1 D.0<a<1，－1<b<0√1234567891011121314因為函數(shù)f(x)＝loga(x－b)為減函數(shù)，所以0<a<1，又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸，所以令x－b＝1，則x＝1＋b>0，即b>－1，又因為函數(shù)圖象與y軸有交點，所以b<0，所以－1<b<0.12345678910111213145.(2024·通化模擬)設a＝log0.14，b＝log504，則A.2ab<2(a＋b)<ab

B.2ab<a＋b<4abC.ab<a＋b<2ab

D.2ab<a＋b<ab1234567891011121314√1234567891011121314因為a＝log0.14，b＝log504，所以a<0，b>0，所以ab<0，所以2ab<a＋b<ab.√12345678910111213146.(2023·銀川模擬)當0<x<時，

<logax(a>0，且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是1234567891011121314二、多項選擇題7.(2023·西寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)，則下列說法正確的是A.f(x)的定義域為(－2,4)B.f(x)在區(qū)間(－2,1)上單調遞增C.f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞減D.f(x)的圖象關于直線x＝1對稱1234567891011121314√√√所以f(x)的定義域為(－2,4)，故A正確；函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln[(x＋2)(4－x)]＝ln(－x2＋2x＋8)(－2<x<4)，令t＝－x2＋2x＋8，則函數(shù)t＝－x2＋2x＋8在(－2,1)上單調遞增，在(1,4)上單調遞減，又y＝lnt是增函數(shù)，所以f(x)在(－2,1)上單調遞增，在(1,4)上單調遞減，故B正確，C錯誤；1234567891011121314又t＝－x2＋2x＋8的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故D正確.12345678910111213148.(2023·濟寧模擬)若10a＝2,10b＝5，則下列結論中正確的是A.a＋b＝1 B.5a<2bC.5a<2b

D.2a＋2b>21234567891011121314√√1234567891011121314由題意可得a＝lg2，b＝lg5，所以a＋b＝lg2＋lg5＝lg10＝1，故A正確；5a＝5lg2＝lg25＝lg32,2b＝2lg5＝lg52＝lg25，所以5a>2b，故B不正確；因為5a·2a＝10a＝2,2b·2a＝2a＋b＝2，所以5a·2a＝2b·2a，所以5a＝2b，故C不正確；三、填空題1234567891011121314原式＝2lg5＋2lg2－3log23×log32＋3＝2(lg5＋lg2)－3＋3＝2.210.設函數(shù)f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，

≤x≤4，則f(x)的最大值為_____.12f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，∴當t＝2時，g(t)取得最大值12，即f(x)的最大值為12.1234567891011121314四、解答題11.(2024·武威模擬)已知函數(shù)f(x)＝

的圖象關于原點對稱，其中a為常數(shù).(1)求a的值；12345678910111213141234567891011121314因為f(x)＝

的圖象關于原點對稱，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域也關于原點對稱，即(1－ax)(x－1)>0，要使定義域關于原點對稱，顯然a≠0，令(1－ax)(x－1)＝0，1234567891011121314由定義域關于原點對稱可知x1＋x2＝0，所以a＝－1，經檢驗，a＝－1成立.(2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＋

<m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.12345678910111213141234567891011121314由題可知f(x)＋因為x∈(1，＋∞)，所以又因為f(x)＋

<m恒成立，所以m≥－1，即實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞).123456789101112131412.(2023·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函數(shù).(1)求k的值；∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx對任意x∈R恒成立，∴k＝－1.1234567891011121314(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1).1234567891011121314由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9