2025高考數(shù)學一輪復習§2.11 函數(shù)的零點與方程的解【課件】

第二章§2.11函數(shù)的零點與方程的解1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解.課標要求內(nèi)容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.函數(shù)的零點與方程的解(1)函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使

的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關系方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有

?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有公共點.f(x)＝0零點x軸(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有__________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得

，這個c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間

，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近

，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0f(a)f(b)<0一分為二零點若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.(

)(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，則f(a)f(b)<0.(

)(3)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a)f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)上沒有零點.(

)(4)求函數(shù)零點的近似值都可以用二分法.(

)××××對于B，y＝(x－2)2有唯一零點x＝2，但函數(shù)值在零點兩側(cè)同號，則不可用二分法求零點.2.下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是A.y＝2x

B.y＝(x－2)2C.y＝x＋

－3 D.y＝lnx√3.(2023·太原模擬)函數(shù)f(x)＝

－log2x的零點所在的區(qū)間是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)√所以f(2)f(3)<0，則f(x)有唯一零點，且在區(qū)間(2,3)內(nèi).返回1，－2解得x＝1或x＝－2，即函數(shù)的零點為1，－2.第二部分探究核心題型例1

(1)(2023·忻州模擬)函數(shù)f(x)＝log3(2x＋4)－

的零點所在的區(qū)間是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定√由題可知f(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝log32－1<log33－1＝0，所以f(－1)f(0)<0，則由函數(shù)零點存在定理得，f(x)的零點所在的區(qū)間是(－1,0).(2)用二分法求函數(shù)f(x)＝log3(2x＋4)－

在區(qū)間(－1,0)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過________次二分后精確度達到0.1A.2B.3C.4D.5√∵開區(qū)間(－1,0)的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，∴至少?jīng)過4次二分后精確度達到0.1.確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.跟蹤訓練1

(1)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)√函數(shù)y＝f(x)是圖象開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個零點.(2)函數(shù)f(x)＝log2x＋2x－6，函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(n，n＋1)且n∈N，則n＝______.2函數(shù)f(x)＝log2x＋2x－6的定義域為(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(2)＝log22＋22－6＝－1<0，f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函數(shù)f(x)的唯一零點在(2,3)內(nèi)，所以n＝2.題型二函數(shù)零點個數(shù)的判定例2

(1)(2023·咸陽模擬)函數(shù)f(x)＝

的零點個數(shù)為A.5B.4C.3D.2√當x≤0時，x2－1＝0，解得x＝－1；當x>0時，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一個零點，綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.(2)若函數(shù)y＝f(x)，x∈R滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈(－1,1]時，f(x)＝|x|，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log4|x|的圖象的交點的個數(shù)為A.3B.4C.6D.8√由題意得f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，作出y＝f(x)與y＝log4|x|的函數(shù)圖象，如圖所示.由圖象可知，兩函數(shù)圖象共有6個交點.求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個不同的實數(shù)根，則f(x)有多少個零點.(2)定理法：利用函數(shù)零點存在定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).跟蹤訓練2

(1)(2024·渭南模擬)函數(shù)f(x)＝3x|log2x|－1的零點個數(shù)為A.0B.1C.2D.3√函數(shù)f(x)＝3x|log2x|－1的零點，即函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.6令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定義域為[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，故f(x)共有6個零點.題型三函數(shù)零點的應用例3

(2023·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝

的圖象與直線y＝k－x有3個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是√命題點1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)如圖所示，作出函數(shù)f(x)的大致圖象(實線)，平移直線y＝k－x，由k－x＝x2＋2x＋2可得，x2＋3x＋2－k＝0，當k＝0時，直線y＝－x經(jīng)過點(0,0)，且與曲線y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2個不同的交點；當k＝2時，直線y＝2－x經(jīng)過點(0,2)，且與f(x)的圖象有3個不同的交點.由圖分析可知，當k∈(0,2]時，f(x)的圖象與直線y＝k－x有3個不同的交點.例4函數(shù)f(x)＝2x－

－a的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是A.0<a<3 B.1<a<3C.1<a<2 D.a≥2命題點2根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)√因為函數(shù)y＝2x，y＝－

在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－

－a在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)f(x)＝2x－

－a的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，得f(1)f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝a(a－3)<0，解得0<a<3.根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(shù)(范圍).(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.跟蹤訓練3

(1)(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若g(x)＝f(x)－a有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為A.(0,4) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)√作出y＝f(x)的圖象(實線)，如圖所示，g(x)＝f(x)－a有4個零點，即y＝f(x)與y＝a的圖象有4個交點，所以實數(shù)a的取值范圍為(0,4).(2)(2023·天津模擬)函數(shù)f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在區(qū)間

上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是√當a＝0時，f(x)＝3，不符合題意；返回課時精練一、單項選擇題1.下列函數(shù)的圖象均與x軸有交點，其中不宜用二分法求函數(shù)零點的是√1234567891011121314由題意知，利用二分法求函數(shù)的零點時，該函數(shù)的零點必須是變號零點，所以根據(jù)這個條件可知，不宜用二分法求函數(shù)零點的是選項C.2.(2023·臨沂模擬)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－5的零點所在的區(qū)間是A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)1234567891011121314√由于y＝lnx，y＝2x－5在(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，故函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－5在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋1>0，即f(2)f(3)<0，故f(x)＝lnx＋2x－5在(2,3)內(nèi)有唯一零點.3.(2023·重慶檢測)已知函數(shù)f(x)＝x－e－x的部分函數(shù)值如表所示，那么函數(shù)f(x)的零點的一個近似值(精確度為0.1)為1234567891011121314x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7√1234567891011121314易知f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，由表格得f(0.5625)f(0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函數(shù)零點在(0.5625,0.625)內(nèi)，∴根據(jù)選項可知，函數(shù)f(x)的零點的一個近似值為0.57.x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.0074.若函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－a在區(qū)間(1，e)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為A.(1，e2) B.(1,2)√1234567891011121314∵f(x)＝lnx＋x2－a，∴f(x)在(1，e)上單調(diào)遞增.又函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－a在區(qū)間(1，e)上存在零點，故f(1)<0，f(e)>0，1234567891011121314故實數(shù)a的取值范圍為(1，e2＋1).5.函數(shù)f(x)＝

的零點之和為A.－1B.1C.－2

D.21234567891011121314√1234567891011121314當x>0時，f(x)＝6x－2，設其零點為x1，則滿足

－2＝0，解得x1＝log62；當x≤0時，f(x)＝x＋log612，設其零點為x2，則滿足x2＋log612＝0，解得x2＝－log612，所以f(x)的零點之和為x1＋x2＝log62－log612＝－1.√12345678910111213141234567891011121314即用“調(diào)日法”得到

的近似分數(shù)與實際值誤差小于0.01的次數(shù)為五.二、多項選擇題7.(2023·安康模擬)下列函數(shù)在區(qū)間(－1,3)內(nèi)存在唯一零點的是A.f(x)＝x2－2x－8 B.f(x)＝C.f(x)＝2x－1－1 D.f(x)＝1－ln(x＋2)1234567891011121314√√√對于A，∵x2－2x－8＝0的解為x＝－2，x＝4，∴f(x)在區(qū)間(－1,3)內(nèi)沒有零點，故A錯誤；對于B，∵f(x)＝

在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在區(qū)間(－1,3)內(nèi)存在唯一零點，故B正確；對于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上為增函數(shù)，且f(－1)＝－

<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在區(qū)間(－1,3)內(nèi)存在唯一零點，故C正確；1234567891011121314∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上為減函數(shù)，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在區(qū)間(－1,3)內(nèi)存在唯一零點，故D正確.12345678910111213148.(2024·黃岡模擬)函數(shù)f(x)＝

g(x)＝kx－3k，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，則實數(shù)k的取值可以是A.－2B.－

C.－1D.11234567891011121314√√1234567891011121314設與y＝4－x2(x≤2)相切的直線為l，且切點為P(x0,4－

)，x0≤2，因為y＝4－x2(x≤2)的導函數(shù)y′＝－2x，所以切線l的斜率k′＝－2x0，則切線方程為y－4＋

＝－2x0(x－x0)，因為g(x)＝kx－3k過定點(3,0)，且在切線l上，1234567891011121314因為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，三、填空題9.(2024·贛州模擬)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解時，已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_______.1234567891011121314(1,2)令f(x)＝x3＋x－5，則f(2)＝8＋2－5＝5>0，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0，由f(1)f(2)<0知根所在區(qū)間為(1,2).10.(2023·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋x3，g(x)＝x＋3x，h(x)＝x＋log3x的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小順序為__________.1234567891011121314x3>x1>x2依題意令f(x)＝x＋x3＝0，得x3＝－x，同理可得3x＝－x，log3x＝－x，則函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為y＝x3，y＝3x，y＝log3x與y＝－x的圖象交點的橫坐標，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，如圖所示.由圖可得x1＝0，x2<0，x3>0，即x3>x1>x2.四、解答題12345678910111213141234567891011121314∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.若a＝0，則0＞－b,0＞b，不成立；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點.1234567891011121314Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0.當c＞0時，f(0)＞0，f(1)＜0，∴f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點；當c＝0時，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，∴f(x)在(0,2)內(nèi)有一個零點；當c＜0時，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－

a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0,2)內(nèi)有一個零點.綜上，f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點.1234567891011121314123456789101112131412.(2023·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋aln(1－x)(a∈R)的圖象關于原點對稱.(1)求a的值；1234567891011121314解得－1<x<1，故函數(shù)的定義域為(－1,1).由