2023-2024學年廣東省東莞市虎門外語學校九年級（上）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年廣東省東莞市虎門外語學校九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）隨著人們健康生活理念的提高，環(huán)保意識也不斷增強，以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個標志（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．只有一個實數根3．（3分）下列說法中，正確的是（）A．“打開電視，正在播放湖北新聞節(jié)目”是必然事件 B．某種彩票中獎概率為10%是指買十張一定有一張中獎 C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨” D．“擲一次骰子，向上一面的數字是2”是隨機事件4．（3分）若△ABC∽△DEF，且對應高線比為4：9，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：815．（3分）如圖，AB、AC是⊙O的弦，D是CA延長線上的一個點，∠ADB＝27°，則∠BOC的度數為（）A．100° B．104° C．108° D．112°6．（3分）圓錐的底面直徑為80cm，母線長為90cm，則該圓錐的側面展開圖的圓心角是（）A．180° B．160° C．120° D．90°7．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣1）2﹣1可由拋物線y＝﹣2（x+2）2+3平移得到，那么平移的步驟是（）A．右移3個單位長度，再下移4個單位長度 B．右移3個單位長度，再上移4個單位長度 C．左移3個單位長度，再下移4個單位長度 D．左移3個單位長度，再上移4個單位長度8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A′B′C，連結BB′，則△A′B′C的周長為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，邊長為3的正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則⊙O的內接正三角形ACE的邊長為（）A． B． C． D．610．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸負半軸的交點坐標為（x1，0），且﹣1＜x1＜0，則下列結論中，正確的有（）①abc＞0；②b2＞4ac；③9a+3b+c＜0；④3a+c＜0；⑤若，且x1≠x2，則x1+x2＝3．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：（每小題3分，共15分）11．（3分）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次實驗發(fā)現，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右個．12．（3分）在一次商品交易會上，參加交易會的每兩家公司之間都要簽訂一份合同，會議結束后統(tǒng)計共簽訂了78份合同家公司出席了這次交易會？13．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則當y＞0時，x的取值范圍是14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉1周，則該圓錐的側面積為．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，以點C為圓心，分別交AC，BC于D，點P是⊙C上一個動點，則PA+PB的最小值為．三、解答題（一）（每小題5分，共10分）16．（5分）計算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．17．（5分）若關于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0有一個根是x＝2，求b的值及方程的另一個根．四、解答題（二）（每小題7分，共21分）18．（7分）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．（1）畫出△ABC關于原點對稱圖形△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點B經過的路徑長度（結果保留π）．19．（7分）如圖1是一臺手機支架，圖2是其側面示意圖，AB，B轉動，測量知BC＝8cm，BC轉動到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時（結果保留小數點后一位，參考數據：sin70°≈0.94，≈1.73）20．（7分）酚酞試液是化學實驗室中一種常見的酸堿指示劑，廣泛應用于酸堿滴定過程中，通常情況下，遇堿性溶液變紅色．一次化學實驗課上，老師讓學生用酚酞溶液檢測4瓶因標簽污損無法分辨的無色溶液的酸堿性（呈酸性）、硝酸鉀溶液（呈中性）、氫氧化鈉溶液（呈堿性）（呈堿性）中的一種．（1）小明將酚酞試液隨機滴人其中1瓶溶液里，結果變紅的概率是多少？（2）小明和小亮從中各選1瓶溶液滴入酚酞試液進行檢測，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求2瓶溶液中1瓶變紅、1瓶不變色的概率．五、解答題（三）（每小題8分，共24分）21．（8分）每年10月至1月是贛南臍橙上市的最好季節(jié)．已知某果園2018年的臍橙銷量為5萬千克，2020年銷量為7.2萬千克，已知每年銷量增長率相等．（1）求銷量增長率．（2）某微商從果園以90元/箱從果園進貨，再以110元/箱賣出，每周可以賣出100箱．該微商想提價銷售，每周銷量減少4箱，設每周銷售臍橙獲利W元（元）與售價x（元/箱）之間的函數關系式，這周的利潤最大．22．（8分）如圖，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處．點E到地面的高度DE＝3.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角（1）求BC的長．（2）求燈泡到地面的高度AG．23．（8分）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連接OE、DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，求AD的長；六、解答題（四）（每小題10分，共20分）24．（10分）有一張半徑為2的圓形紙片．（1）如圖（1），先將紙片沿直徑左右翻折，再上下翻折，然后平鋪展開，則∠AOB的大小是；在⊙O上任取點C（異于A，B），則∠ACB的大小是；（2）如圖（2），將紙片沿一條弦AB翻折，使其劣弧，作出直徑AC，則圖中陰影部分的面積是；（3）如圖（3），AB是⊙O的直徑，將劣弧，交AB于點D，再將劣弧，交BC于點E．若點E恰好是翻折后的劣弧的中點25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P；（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，請求出點M的坐標；若不存在

2023-2024學年廣東省東莞市虎門外語學校九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案BCDDCBADCB一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）隨著人們健康生活理念的提高，環(huán)保意識也不斷增強，以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個標志（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、C、D不能找到這樣的一個點，所以它們不是中心對稱圖形；選項B能找到這樣的一個點，使這個圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合；故選：B．2．（3分）一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．只有一個實數根【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣8×1×3＝﹣11，∴方程無實數根．故選：C．3．（3分）下列說法中，正確的是（）A．“打開電視，正在播放湖北新聞節(jié)目”是必然事件 B．某種彩票中獎概率為10%是指買十張一定有一張中獎 C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨” D．“擲一次骰子，向上一面的數字是2”是隨機事件【解答】解：A、打開電視，故A不符合題意；B、某種彩票中獎概率為10%是指買十張有可能中獎；C、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨”；D、“擲一次骰子，故D符合題意；故選：D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，且對應高線比為4：9，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且對應高線比為4：9，∴△ABC與△DEF的面積比為16：81．故選：D．5．（3分）如圖，AB、AC是⊙O的弦，D是CA延長線上的一個點，∠ADB＝27°，則∠BOC的度數為（）A．100° B．104° C．108° D．112°【解答】解：∵AD＝AB，∠ADB＝27°，∴∠ADB＝∠ABD＝27°，∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝54°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝108°．故選：C．6．（3分）圓錐的底面直徑為80cm，母線長為90cm，則該圓錐的側面展開圖的圓心角是（）A．180° B．160° C．120° D．90°【解答】解：設圓錐的側面展開圖的圓心角的度數為n，由題意得：＝80π，解得：n＝160，故選：B．7．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣1）2﹣1可由拋物線y＝﹣2（x+2）2+3平移得到，那么平移的步驟是（）A．右移3個單位長度，再下移4個單位長度 B．右移3個單位長度，再上移4個單位長度 C．左移3個單位長度，再下移4個單位長度 D．左移3個單位長度，再上移4個單位長度【解答】解：函數y＝﹣2（x﹣1）6﹣1的圖象可由函數y＝﹣2（x+6）2+3的圖象平移得到，那么平移的步驟是右移6個單位，故選：A．8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A′B′C，連結BB′，則△A′B′C的周長為（）A． B． C． D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∴AB＝2AC＝4，，∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A′B′C，∴△A′B′C≌△ABC，∴△A′B′C的周長等于△ABC的周長，即，故選：D．9．（3分）如圖，邊長為3的正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則⊙O的內接正三角形ACE的邊長為（）A． B． C． D．6【解答】解：連接OB交AC于H．在正六邊形ABCDEF中，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴，∴OB⊥AC，∴∠ABH＝∠CBH＝60°，AH＝CH，∴，∴，故選：C．10．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸負半軸的交點坐標為（x1，0），且﹣1＜x1＜0，則下列結論中，正確的有（）①abc＞0；②b2＞4ac；③9a+3b+c＜0；④3a+c＜0；⑤若，且x1≠x2，則x1+x2＝3．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①由圖可知拋物線開口向下，與y軸的交點在原點上方，c＞0，又∵對稱軸為直線x＝1，即，∴b＝﹣2a＞7，∴abc＜0，①錯誤；②由圖可知拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＝b2﹣2ac＞0，即b2＞3ac，②正確；④由圖可知當x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＝a﹣（﹣3a）+c＝3a+c＜0，④正確；③∴4a+3b+c＝9a+6（﹣2a）+c＝3a+c＜7，③正確；⑤∵，∴，∴a（x1+x2）（x4﹣x2）+b（x1﹣x5）＝0，∵x1≠x5，即x1﹣x2≠4，∴a（x1+x2）+b＝4，∴，⑤錯誤，正確的有：②③④，共3個．故選：B．二、填空題：（每小題3分，共15分）11．（3分）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次實驗發(fā)現，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右6個．【解答】解：由題意可得，20×0.3＝4（個），即袋子中紅球的個數大約有6個，故答案為：6．12．（3分）在一次商品交易會上，參加交易會的每兩家公司之間都要簽訂一份合同，會議結束后統(tǒng)計共簽訂了78份合同13家公司出席了這次交易會？【解答】解：設有x家公司出席了這次交易會，依題意，得x（x﹣5）＝78整理得：x2﹣x﹣156＝0解得：x6＝13，x2＝﹣12（舍去）答：共有13家公司參加商品交易會．故答案為：13．13．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x＝1，而拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣1，7），所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0），所以當﹣6＜x＜3時，y＞0．故答案為﹣5＜x＜3．14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉1周，則該圓錐的側面積為20π．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝＝6，∵以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉1周，∴圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為6，∴該圓錐的側面積＝×5π×4×5＝20π．故答案為：20π．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，以點C為圓心，分別交AC，BC于D，點P是⊙C上一個動點，則PA+PB的最小值為．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，連接CP，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝4，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴當B、Q、P三點共線時，，在Rt△BCQ中，BC＝4，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案為：．三、解答題（一）（每小題5分，共10分）16．（5分）計算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°＝2×﹣+×＝﹣+＝．17．（5分）若關于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0有一個根是x＝2，求b的值及方程的另一個根．【解答】解：設方程的另一個根為t，根據根與系數的關系得2+t＝﹣b，2t＝﹣6，解得t＝﹣3，b＝1，即b的值為6，方程的另一個根為﹣3．四、解答題（二）（每小題7分，共21分）18．（7分）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．（1）畫出△ABC關于原點對稱圖形△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點B經過的路徑長度（結果保留π）．【解答】解：（1）如圖所示，A1坐標為（﹣2，8），（2）如圖所示．如圖所示，A2坐標為（4，3），（3）∵，∴B經過的路徑長度：．19．（7分）如圖1是一臺手機支架，圖2是其側面示意圖，AB，B轉動，測量知BC＝8cm，BC轉動到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時（結果保留小數點后一位，參考數據：sin70°≈0.94，≈1.73）【解答】解：如圖，過點B，垂足分別為M、N，在Rt△ABM中，∠A＝60°，∴BM＝AB?sinA＝16×＝8（cm），∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°，∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，在Rt△BCD中，BC＝8cm，∴BD＝BC?sin70°≈5×0.94＝7.52（cm），CN＝DM＝BM﹣BD＝6﹣7.52≈8.3（cm），答：點C到AE的距離約為6.8cm．20．（7分）酚酞試液是化學實驗室中一種常見的酸堿指示劑，廣泛應用于酸堿滴定過程中，通常情況下，遇堿性溶液變紅色．一次化學實驗課上，老師讓學生用酚酞溶液檢測4瓶因標簽污損無法分辨的無色溶液的酸堿性（呈酸性）、硝酸鉀溶液（呈中性）、氫氧化鈉溶液（呈堿性）（呈堿性）中的一種．（1）小明將酚酞試液隨機滴人其中1瓶溶液里，結果變紅的概率是多少？（2）小明和小亮從中各選1瓶溶液滴入酚酞試液進行檢測，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求2瓶溶液中1瓶變紅、1瓶不變色的概率．【解答】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色，∴小明將酚酞試液隨機滴人其中1瓶溶液里，鹽酸（呈酸性）和 ，氫氧化鈉溶液（呈堿性）和氫氧化鈣溶液（呈堿性）變紅，∴結果變紅的概率：＝；（2）將鹽酸（呈酸性）、硝酸鉀溶液（呈中性）、氫氧化鈣溶液（呈堿性）分別記作A，B，C，DABCDA﹣（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）﹣（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）﹣（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）﹣由表知，共有12種可能出現的結果、5瓶不變色有（A，（A，（B，（B，（C，（C，（D，（D，1瓶變紅、1瓶不變色的概率為：＝．五、解答題（三）（每小題8分，共24分）21．（8分）每年10月至1月是贛南臍橙上市的最好季節(jié)．已知某果園2018年的臍橙銷量為5萬千克，2020年銷量為7.2萬千克，已知每年銷量增長率相等．（1）求銷量增長率．（2）某微商從果園以90元/箱從果園進貨，再以110元/箱賣出，每周可以賣出100箱．該微商想提價銷售，每周銷量減少4箱，設每周銷售臍橙獲利W元（元）與售價x（元/箱）之間的函數關系式，這周的利潤最大．【解答】解：（1）由題意，設銷量增長率為x，∴5（1+x）5＝7.2．∴x＝5.2或x＝﹣2.4（不合題意，舍去）．∴0.2＝20%．答：銷量增長率為20%．（2）由題意，每周銷售臍橙獲利W元，∴W＝（x﹣90）[100﹣7（x﹣110）]．∴W＝﹣4x2+900x﹣48600．∴W＝﹣7x2+900x﹣48600＝﹣4（x5﹣225x+）+2025＝﹣4（x﹣）2+2025．∴當每箱售價為112.5元時，這周利潤最大為2025元．22．（8分）如圖，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處．點E到地面的高度DE＝3.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角（1）求BC的長．（2）求燈泡到地面的高度AG．【解答】解：（1）由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽△BED，故，即，解得：BC＝8；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝4.4（m），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：燈泡到地面的高度AG為2.2m．23．（8分）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連接OE、DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，求AD的長；【解答】（1）證明：連接BD，OD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，在Rt△BDC中，點E是BC的中點，∴，又∵OB＝OD，OE＝OE，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵D在⊙O上∴DE是⊙O的切線．（2）解：由（1）中結論，得BC＝2DE＝10，在Rt△BDC中，，∴，∵∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD，又∵∠ADB＝∠BDC＝90°，∴△ADB∽△BDC，∴，∴．六、解答題（四）（每小題10分，共20分）24．（10分）有一張半徑為2的圓形紙片．（1）如圖（1），先將紙片沿直徑左右翻折，再上下翻折，然后平鋪展開，則∠AOB的大小是90°；在⊙O上任取點C（異于A，B），則∠ACB的大小是45°或135°；（2）如圖（2），將紙片沿一條弦AB翻折，使其劣弧，作出直徑AC，則圖中陰影部分的面積是；（3）如圖（3），AB是⊙O的直徑，將劣弧，交AB于點D，再將劣弧，交BC于點E．若點E恰好是翻折后的劣弧的中點【解答】解：（1）根據折疊了2次，則∠AOB＝90°，如圖（1）所示，當點C在優(yōu)弧，，當點C在上時，故答案為：90°；45°或135°．（2）解：如圖（2）所示，作OD⊥AB交AB于點E，連接BC，OB，由折疊可知，，OE⊥AB，∴，∴∠OAB＝30°，∴∠COB＝60°，∠AOD＝60°，∴∠DOB＝∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC和△BOD是等邊三角形，∴DB＝OD＝BC，∴弓形DmB的面積等于弓形BnC的面積，∴扇形DOB的面積等于扇形OBC的面積，∴陰影部分的面積即為△OBC的面積；∵OA＝2，則OE＝1，∴，∴，∴陰影部分面積＝，故答案為：；（3）解：如圖（3），連接AC，DE，∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，∴＝＝，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥A