【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修二課時(shí)作業(yè)-1.7.2柱、錐、臺(tái)的體積

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十三)柱、錐、臺(tái)的體積一、選擇題(每小題3分，共18分)1.(2022·濟(jì)源高一檢測(cè))已知高為3的直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐B′-ABC的體積為()A.14 B.C.36 D.【解析】選D.由題意知S△ABC=34×12=3所以VB′-ABC=13S△ABC×3=32.(2022·駐馬店高一檢測(cè))已知圓柱的側(cè)面開放圖是矩形，其面積為S，圓柱的底面周長(zhǎng)為C，則圓柱的體積是()A.C24πS B.4πSC2 【解析】選D.由圓柱的底面周長(zhǎng)為C，可得底面圓的半徑為R=C2π，又由圓柱的側(cè)面積為S可得圓柱的高為h=SC，所以圓柱的體積V=π×C2π2×3.(2022·宿州高一檢測(cè))將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為()A.a36 B.a312 C.312a3【解析】選D.設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，沿AC折起后依題意得，當(dāng)BD=a時(shí)，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱錐D-ABC的高為DE=22a，所以三棱錐D-ABC的體積V=13·12a2·22a=【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)常因弄不清折疊前后線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系的變化而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】如圖，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，沿圖中虛線將邊長(zhǎng)為2的正方形折起來(lái)，圍成一個(gè)三棱錐，求此三棱錐的體積.【解析】折疊起來(lái)后，B，D，C三點(diǎn)重合為S點(diǎn)，則圍成的三棱錐為S-AEF，這時(shí)SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA=2，SE=SF=1，所以此三棱錐的體積V=13·12·1·1·2=4.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1=14A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為A.83 B.C.4 D.16【解析】選B.由題意可得PB1=14A1B1=1，且PB1⊥平面BCC1B1，由棱錐的體積公式VP-BCC1B1=13×5.(2022·安徽高考)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A.21+3 B.18+3C.21 D.18【解題指南】將三視圖還原為原幾何體，原幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)全等小正三棱錐所得的組合體.【解析】選A.由三視圖可知原幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24，兩個(gè)全等的三棱錐是以正方體的相對(duì)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，側(cè)面是三個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，這6個(gè)等腰直角三角形面積的和為3，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，這2個(gè)正三角形面積的和為3，故所求幾何體的表面積為24-3+3=21+3.6.(2022·佛山高一檢測(cè))圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為π，4π，側(cè)面積是6π，這個(gè)圓臺(tái)的體積是()A.23π3 B.23π C.7【解題指南】設(shè)出上下底面半徑及母線長(zhǎng)，可構(gòu)造它們的方程組，進(jìn)而求出，代入體積公式解決.【解析】選D.設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑為r′，r，母線長(zhǎng)為l，則QUOTEπr'2=π,πr2=4π,π(r'+r)·l=6π,所以QUOTEr圓臺(tái)的高h(yuǎn)=QUOTEl2-(r-r')2=3，所以V圓臺(tái)=13(π+π·4π+4π)·3=二、填空題(每小題4分，共12分)7.(2021·遼寧高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________.【解析】由三視圖可以得到原幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長(zhǎng)方體，所以該幾何體的體積為V=4π×4-16=16π-16.答案：16π-168.(2022·天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為____________m3.【解析】所給幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成，V=13×2×π×22+π×12×4=20π3答案：209.已知圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，側(cè)面積為15πcm2，則此圓錐的體積為________cm3.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則有πrl=15π知r=3，所以h=52V=13Sh=13πr2h=13×π×32×答案：12π三、解答題(每小題10分，共20分)10.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB.(1)求證：CE⊥平面PAD.(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】(1)由于PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，所以PA⊥CE.由于AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE=CD·cos45°=1，CE=CD·sin45°=1.又由于AB=CE=1，AB∥CE，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形.所以S四邊形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD=AB·AE+12CE·=1×2+12×1×1=5又PA⊥平面ABCD，PA=1，所以V四棱錐P-ABCD=13S四邊形ABCD·=13×52×1=11.(2022·濱州高一檢測(cè))一幾何體按比例繪制的三視圖，如圖所示(單位：m)：(1)試畫出它的直觀圖.(2)求它的表面積和體積.【解析】(1)直觀圖如圖所示：(2)由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)角，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的34，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，則AA所以AA1=BE=1m.在Rt△BEB1中，BE=1m，EB1=1m，所以BB1=2m.所以該幾何體的表面積S=S正方形AA1D1D+2=1+2×12×(1+2)×1+1×2+1+1×=7+2(m2).該幾何體的體積V=34×1×2×1=32(m【一題多解】幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱，其表面積求法同方法一，V=12×(1+2)×1×=32(m3所以幾何體的表面積為(7+2)m2，體積為32m3【拓展延長(zhǎng)】求體積時(shí)應(yīng)留意的兩點(diǎn)(1)求一些不規(guī)章幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.(2)與三視圖有關(guān)的體積問題留意幾何體還原的精確性及數(shù)據(jù)的精確性.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2022·蚌埠高一檢測(cè))如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是33，則圖中主視圖所標(biāo)a=()A.1 B.32 C.3 D.2【解析】選C.由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)平臥的三棱柱，結(jié)合圖中的尺寸可得V=12×2×a×3=33，解得a=32.(2022·亳州高一檢測(cè))如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.92 B.5 C.6 【解析】選D.連接EB，EC，AC.四棱錐E-ABCD的體積VE-ABCD=13×32×由于AB=2EF，EF∥AB，所以S△EAB=2S△BEF.所以VF-BEC=VC-EFB=12VC-ABE=12VE-ABC=所以VABCDEF=VE-ABCD+VF-BEC=6+32=153.(2022·佛山高一檢測(cè))圓錐的過(guò)高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A.1∶1 B.1∶6 C.1∶7 D.1∶【解析】選C.如圖，設(shè)圓錐底面半徑OB=R，高PO=h，O′為PO中點(diǎn)，所以PO′=h2由于O'AOB=PO'PO=12所以V圓錐PO′=13π·R22·h2=1V圓臺(tái)O′O=π3·R22+R2+R所以V圓錐PO'V4.棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A.13a3 B.14a3 C.16a3 【解析】選C.八面體可以看成兩個(gè)正四棱錐拼接而成，其中正四棱錐的棱長(zhǎng)為22a，高為1則V=2·13·22a2·12二、填空題(每小題5分，共10分)5.(2022·遼寧高考改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________.【解題指南】結(jié)合三視圖的特點(diǎn)，該幾何體是由一個(gè)正方體在相對(duì)的兩個(gè)角上各割去四分之一個(gè)圓柱后剩下的部分.【解析】截得該幾何體的原正方體的體積為2×2×2=8；截去的圓柱(部分)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，截去的兩部分體積為14(π×12×2)×2=π；故該幾何體的體積為8-π答案：8-π6.如圖①所示，一個(gè)正三棱柱形容器，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒使一個(gè)側(cè)面成為底面，這時(shí)水面恰為中截面，如圖②，則未放倒前的水面高度為________.【解題指南】容器放倒前后水的體積不變，即圖①三棱柱的體積與圖②中的直四棱柱的體積相等.【解析】設(shè)圖①中水面的高度為h，水的體積為V，則V=Sh=34S·2a，所以h=34S·2a答案：32【變式訓(xùn)練】如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8cm.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，【解析】設(shè)原三棱柱ABC-A1B1C1的底面積為Scm2，高為hcm.由于DE∥AB，所以△EDC∽△且S△EDCS△ABC=CEAC2=14，所以當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，無(wú)水的空間即CDE-C1D1E1為一小三棱柱.此時(shí)水的體積為V水=Sh-14S·h=34Sh(cm當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水占有的空間為一個(gè)三棱柱，設(shè)該三棱柱的高為h′cm，則34Sh=Sh′所以h′=34h=34×8=6(cm)，則液面高三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2022·宿州高一檢測(cè))如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的左右兩部分，求V1【解題指南】V1對(duì)應(yīng)的幾何體AEF-A1B1C1是一個(gè)棱臺(tái)，一個(gè)底面的面積與棱柱的底面積相等，另一個(gè)底面的面積等于棱柱底面積的14；V2對(duì)應(yīng)的是一個(gè)不規(guī)章幾何體，明顯V2無(wú)法直接表示，可以考慮間接的方法，用三棱柱的體積減去V【解析】設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V=V1+V2=Sh.由于E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以S△AEF=14V1=13hS+1V2=Sh-V1=512Sh，故V1∶V2=7∶【變式訓(xùn)練】如圖是一個(gè)正方體，H，G，F(xiàn)分別是棱AB，AD，AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿△GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，求鋸掉的部分的體積與原正方體體積的比.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是Rt△AGF，而∠FAG為90°，G，F(xiàn)分別為AD，AA1的中點(diǎn)，所以AF=AG=12所以△AGF的面積為12×12a×12a=1又AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以AH=12所以鋸掉的部分的體積為13×12a×18a2=1所以鋸掉的部分的體積與原正方體體積的比為148a3÷a3=1【拓展延長(zhǎng)】等積法等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特殊是求三角形的高和三棱錐的高.這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值.8.(2022·咸陽(yáng)高一檢測(cè))底面半徑為1，高