【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-1教案：第3章-拓展資料：導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用

拓展資料：導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用一、預(yù)備學(xué)問定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且x∈I，有f′(x)＝0，則x∈I，有f(x)＝c(常數(shù))．證明在區(qū)間I上取定一點(diǎn)x0及x∈I．明顯，函數(shù)f(x)在[x0，x]或[x，x0]上滿足拉格朗日定理，有f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x與x0之間．已知f′(ξ)＝0，從f(x)－f(x0)＝0或f(x)＝f(x0)設(shè)f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．定理2若x∈I(區(qū)間)，有f′(x)＝g′(x)，則x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常數(shù)．二、應(yīng)用例題證法f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函數(shù)．證明設(shè)f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常數(shù)．證明設(shè)f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常數(shù)．例3證明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．證明設(shè)f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，于是f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常數(shù)．令x＝1，則c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，于是arccos(－x)＋arccosx＝π．x∈(1，＋∞)有例5證明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]證明設(shè)f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，則x∈[－1，1]，有f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常數(shù)．令x＝－1，則c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0于是，x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．于是，x∈[0，1]，有證明x∈R，有即x∈R，有與g′(x)＝0．從而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c與g′(x)＝－1．從而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．從而，c＝0．于是，解設(shè)F(x)＝f1(x)－f2(x)由定理1知，x∈R(x≠±1)，有(2)x∈(－1，1)，令x＝0，則于是，例11求證：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．證明將a，y看作固定常數(shù)，x看作變量，設(shè)f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．則x∈(0，＋∞)，有由定理1知，(x)＝c或logaxy－logax－logay＝c．令x＝1，則c＝logay－logay＝0，從而logaxy－logax－logay＝0，即logaxy＝logax＋logay．例12求x∈R，滿足等式acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的全部實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)全體，解設(shè)f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常數(shù))，則依據(jù)定理1，x∈R，應(yīng)有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)(1)a＝0，由題設(shè)等式知，－cosb2＝－1－b2或cosb2＝1＋b2．解得b＝0，所以求得符合要求的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)為(0，0)．(a－1)x＋b2＝2kπ或(a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z解得a＝1，b2＝2kπ，并代入題設(shè)等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，并且僅當(dāng)k＝0，上式才成立，從而b＝0，所以求得符合要求的實(shí)數(shù)對(duì)為(1，0)，(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入題設(shè)等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即2＋b2＝0，明顯，這樣的b不存在．綜上所述，所求實(shí)數(shù)對(duì)的集合為{(0，0)，(1，0)}．例14證明：x，y∈Rsin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny證明設(shè)f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．只須證明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．用反證法．假設(shè)f(x，y)≠0，由于f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，則df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)，(3)同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)．(4)由(3)與(4)，得或－g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，從而f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．由假設(shè)f(x，y)≠0，則c為不等零的常數(shù)．令x＝y(tǒng)＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，這與c≠0沖突．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．例15已知x≠2kπ，k∈Z．求證：證明已知對(duì)上式兩端同時(shí)求導(dǎo)，有類似可證：已知x≠2kπ，k∈Z，求證：例16證明：2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝證明已知對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx注欲證等式的左端2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx恰為sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的導(dǎo)函數(shù)，所以證明開頭應(yīng)用了公式例17已知證明對(duì)已知等式取自然對(duì)數(shù)，有對(duì)上式兩端求導(dǎo)，有對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得令x＝1，則