人教版數(shù)學八年級上冊期末試卷及參考答案

第1頁（共20頁）人教版數(shù)學八年級上冊期末試卷1一、選擇題：（每小題3分，共30分）1．（3分）在以下永潔環(huán)保、綠色食品、節(jié)能、綠色環(huán)保四個標志中，是軸對稱圖形是（）A． B． C． D．2．（3分）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖．要使這個木架不變形，他至少還要再釘上幾根木條？（）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根3．（3分）如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE4．（3分）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（）A．180° B．220° C．240° D．300°5．（3分）下列計算正確的是（）A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=16．（3分）如圖，給出了正方形ABCD的面積的四個表達式，其中錯誤的是（）A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a） D．（x+a）a+（x+a）x7．（3分）下列式子變形是因式分解的是（）A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）8．（3分）若分式有意義，則a的取值范圍是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠09．（3分）化簡的結果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x10．（3分）下列各式：①a0=1；②a2?a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正確的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤11．（3分）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，還需從下列條件中補選一個，則錯誤的選法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C二、填空題：（每空3分，共18分）13．（3分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x=．14．（3分）若分式方程：有增根，則k=．15．（3分）如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是．（只需填一個即可）16．（3分）如圖，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，則∠A=度．17．（3分）如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為．18．（3分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b為正整數(shù)），則a+b=．三.解答下列各題：（本題共7題，共66分）19．（9分）先化簡，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣．20．（9分）給出三個多項式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加法運算，并把結果因式分解．21．（9分）解方程：=．22．（9分）已知：如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形．（1）求證：AD=CE；（2）求證：AD和CE垂直．23．（9分）如圖，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求證：DE=AB．24．（9分）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天．（1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？25．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點D，CE為△ACD的角平分線，EF⊥BC于點F，EF交CD于點G．求證：BE=CG．

參考答案與試題解析一、選擇題：（每小題3分，共30分）1．（3分）在以下永潔環(huán)保、綠色食品、節(jié)能、綠色環(huán)保四個標志中，是軸對稱圖形是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意．故選B．【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖．要使這個木架不變形，他至少還要再釘上幾根木條？（）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根【考點】三角形的穩(wěn)定性．【專題】存在型．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行解答即可．【解答】解：加上AC后，原不穩(wěn)定的四邊形ABCD中具有了穩(wěn)定的△ACD及△ABC，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故選：B．【點評】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用，比較簡單．3．（3分）如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE【考點】全等三角形的性質．【分析】根據(jù)全等三角形的性質，全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等，即可進行判斷．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正確；AD的對應邊是AE而非DE，所以D錯誤．故選D．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質，根據(jù)已知的對應角正確確定對應邊是解題的關鍵．4．（3分）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是（）A．180° B．220° C．240° D．300°【考點】等邊三角形的性質；多邊形內角與外角．【專題】探究型．【分析】本題可先根據(jù)等邊三角形頂角的度數(shù)求出兩底角的度數(shù)和，然后在四邊形中根據(jù)四邊形的內角和為360°，求出∠α+∠β的度數(shù)．【解答】解：∵等邊三角形的頂角為60°，∴兩底角和=180°﹣60°=120°；∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；故選C．【點評】本題綜合考查等邊三角形的性質及三角形內角和為180°，四邊形的內角和是360°等知識，難度不大，屬于基礎題5．（3分）下列計算正確的是（）A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；零指數(shù)冪．【分析】A、不是同類項，不能合并；B、按完全平方公式展開錯誤，掉了兩數(shù)積的兩倍；C、按積的乘方運算展開錯誤；D、任何不為0的數(shù)的0次冪都等于1．【解答】解：A、不是同類項，不能合并．故錯誤；B、（x+2）2=x2+4x+4．故錯誤；C、（ab3）2=a2b6．故錯誤；D、（﹣1）0=1．故正確．故選D．【點評】此題考查了整式的有關運算公式和性質，屬基礎題．6．（3分）如圖，給出了正方形ABCD的面積的四個表達式，其中錯誤的是（）A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a） D．（x+a）a+（x+a）x【考點】整式的混合運算．【專題】計算題．【分析】根據(jù)正方形的面積公式，以及分割法，可求正方形的面積，進而可排除錯誤的表達式．【解答】解：根據(jù)圖可知，S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2=（x+a）a+（x+a）x故選C．【點評】本題考查了整式的混合運算、正方形面積，解題的關鍵是注意完全平方公式的掌握．7．（3分）下列式子變形是因式分解的是（）A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）【考點】因式分解的意義．【專題】因式分解．【分析】根據(jù)因式分解的定義：就是把整式變形成整式的積的形式，即可作出判斷．【解答】解：A、x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6右邊不是整式積的形式，故不是分解因式，故本選項錯誤；B、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）是整式積的形式，故是分解因式，故本選項正確；C、（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本選項錯誤；D、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故本選項錯誤．故選B．【點評】本題考查的是因式分解的意義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．8．（3分）若分式有意義，則a的取值范圍是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0【考點】分式有意義的條件．【專題】計算題．【分析】根據(jù)分式有意義的條件進行解答．【解答】解：∵分式有意義，∴a+1≠0，∴a≠﹣1．故選C．【點評】本題考查了分式有意義的條件，要從以下兩個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；9．（3分）化簡的結果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x【考點】分式的加減法．【專題】計算題．【分析】將分母化為同分母，通分，再將分子因式分解，約分．【解答】解：=﹣===x，故選：D．【點評】本題考查了分式的加減運算．分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．10．（3分）下列各式：①a0=1；②a2?a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正確的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤【考點】負整數(shù)指數(shù)冪；有理數(shù)的混合運算；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；零指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】分別根據(jù)0指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、負整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)混合運算的法則及合并同類項的法則對各小題進行逐一計算即可．【解答】解：①當a=0時不成立，故本小題錯誤；②符合同底數(shù)冪的乘法法則，故本小題正確；③2﹣2=，根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義a﹣p=（a≠0，p為正整數(shù)），故本小題錯誤；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0符合有理數(shù)混合運算的法則，故本小題正確；⑤x2+x2=2x2，符合合并同類項的法則，本小題正確．故選D．【點評】本題考查的是零指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、負整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)混合運算的法則及合并同類項的法則，熟知以上知識是解答此題的關鍵．11．（3分）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．【考點】由實際問題抽象出分式方程．【分析】根據(jù)乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，利用時間得出等式方程即可．【解答】解：設乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為：=+，故選：D．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，解題關鍵是正確找出題目中的相等關系，用代數(shù)式表示出相等關系中的各個部分，把列方程的問題轉化為列代數(shù)式的問題．12．（3分）如圖，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，還需從下列條件中補選一個，則錯誤的選法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C【考點】全等三角形的判定．【分析】先要確定現(xiàn)有已知在圖形上的位置，結合全等三角形的判定方法對選項逐一驗證，排除錯誤的選項．本題中C、AB=AC與∠1=∠2、AD=AD組成了SSA是不能由此判定三角形全等的．【解答】解：A、∵AB=AC，∴，∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此選項正確；B、當DB=DC時，AD=AD，∠1=∠2，此時兩邊對應相等，但不是夾角對應相等，故此選項錯誤；C、∵∠ADB=∠ADC，∴，∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此選項正確；D、∵∠B=∠C，∴，∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此選項正確．故選：B．【點評】本題考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA無法證明三角形全等．二、填空題：（每空3分，共18分）13．（3分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x=x（x+2）（x﹣6）．【考點】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要徹底．【解答】解：x3﹣4x2﹣12x=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6）．故答案為：x（x+2）（x﹣6）．【點評】此題考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知識．此題比較簡單，注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要徹底．14．（3分）若分式方程：有增根，則k=1．【考點】分式方程的增根．【專題】計算題．【分析】把k當作已知數(shù)求出x=，根據(jù)分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可．【解答】解：∵，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，整理得：（2﹣k）x=2，∵分式方程有增根，∴x﹣2=0，解得：x=2，把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1．故答案為：1．【點評】本題考查了對分式方程的增根的理解和運用，把分式方程變成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，則此數(shù)是分式方程的增根，即不是分式方程的根，題目比較典型，是一道比較好的題目．15．（3分）如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．（只需填一個即可）【考點】全等三角形的判定．【專題】開放型．【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，則AB=CF，具備了兩組邊對應相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可證全等．（也可添加其它條件）．【解答】解：增加一個條件：∠A=∠F，顯然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可證三角形全等（答案不唯一）．故答案為：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．【點評】本題考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在選擇時要結合其它已知在圖形上的位置進行選取．16．（3分）如圖，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，則∠A=50度．【考點】三角形的外角性質；等腰三角形的性質．【分析】根據(jù)等角對等邊的性質可得∠A=∠B，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠B=∠ACE，∴∠A=∠ACE=×100°=50°．故答案為：50．【點評】本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，等邊對等角的性質，是基礎題，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．17．（3分）如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為2m+4．【考點】平方差公式的幾何背景．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即可得解．【解答】解：設拼成的矩形的另一邊長為x，則4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），解得x=2m+4．故答案為：2m+4．【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關鍵．18．（3分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b為正整數(shù)），則a+b=109．【考點】分式的定義．【專題】規(guī)律型．【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律解答．【解答】解：由已知得a=10，b=a2﹣1=102﹣1=99，∴a+b=10+99=109．【點評】本題屬于找規(guī)律題目，關鍵是找出分母的規(guī)律，b=a2﹣1．根據(jù)題意解出未知數(shù)，代入所求代數(shù)式即可．三.解答下列各題：（本題共7題，共66分）19．（9分）先化簡，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a=，b=﹣．【考點】整式的加減—化簡求值．【分析】首先根據(jù)整式的加減運算法則將原式化簡，然后把給定的值代入求值．注意去括號時，如果括號前是負號，那么括號中的每一項都要變號；合并同類項時，只把系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)不變．【解答】解：原式=15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b=﹣8ab2，當a=，b=﹣時，原式=﹣8××=﹣．【點評】熟練地進行整式的加減運算，并能運用加減運算進行整式的化簡求值．20．（9分）給出三個多項式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加法運算，并把結果因式分解．【考點】因式分解的應用；整式的加減．【專題】開放型．【分析】本題考查整式的加法運算，找出同類項，然后只要合并同類項就可以了．【解答】解：情況一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．情況二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．情況三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的?？键c．熟記公式結構是分解因式的關鍵．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．21．（9分）解方程：=．【考點】解分式方程．【專題】計算題．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，移項合并得：2x=4，解得：x=2，經檢驗x=2是增根，分式方程無解．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．22．（9分）已知：如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形．（1）求證：AD=CE；（2）求證：AD和CE垂直．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【專題】證明題．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，證出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE；（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，證出結論．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD=CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD=CE；（2）延長AD分別交BC和CE于G和F，如圖所示：∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD=∠BCE，∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，又∵∠BGA=∠CGF，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，∴∠AFC=∠ABC=90°，∴AD⊥CE．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．23．（9分）如圖，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求證：DE=AB．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】求出∠DCE=∠ACB，根據(jù)SAS證△DCE≌△ACB，根據(jù)全等三角形的性質即可推出答案．【解答】證明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB，∵在△DCE和△ACB中，∴△DCE≌△ACB，∴DE=AB．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生能否運用全等三角形的性質和判定進行推理，題目比較典型，難度適中．24．（9分）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天．（1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？【考點】分式方程的應用．【專題】應用題．【分析】（1）設這項工程的規(guī)定時間是x天，根據(jù)甲、乙隊先合做15天，余下的工程由甲隊單獨需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先計算甲、乙合作需要的時間，然后計算費用即可．【解答】解：（1）設這項工程的規(guī)定時間是x天，根據(jù)題意得：（+）×15+=1．解得：x=30．經檢驗x=30是原分式方程的解．答：這項工程的規(guī)定時間是30天．（2）該工程由甲、乙隊合做完成，所需時間為：1÷（+）=18（天），則該工程施工費用是：18×（6500+3500）=180000（元）．答：該工程的費用為180000元．【點評】本題考查了分式方程的應用，解答此類工程問題，經常設工作量為“單位1”，注意仔細審題，運用方程思想解答．25．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點D，CE為△ACD的角平分線，EF⊥BC于點F，EF交CD于點G．求證：BE=CG．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．【專題】證明題．【分析】過點A作AP⊥BC于點P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根據(jù)ASA證出△BFE≌△GFC即可．【解答】證明：過點A作AP⊥BC于點P，∠APB=90°，∵AB=AC，∴∠BAP=∠PAC，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=180°﹣∠CDB=90°，∵∠B+∠BAP=180°﹣∠APB=90°，∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠ECD，∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90°∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，∴∠BCE=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°∴∠FEC=180°﹣∠EFC﹣∠ECF=45°，∴∠FEC=∠ECF，∴EF=FC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=∠APC=90°，∴EF∥AP，∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，∵EF⊥BC，∴∠BFE=∠EFC=90°，∵在△BFE和△GFC中，，∴△BFE≌△GFC（ASA），∴BE=CG．【點評】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用，題目的難度中等．人教版數(shù)學八年級上冊期末試卷2一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分，請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1．（4分）將下列四種長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（）A．2，5，8 B．3，4，5 C．2，2，4 D．1，2，32．（4分）下列圖形是對圓的面積進行四等分的幾種作圖，則它們是軸對稱圖形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（4分）下列運算中，正確的是（）A．（a2）3=a5 B．a2?a4=a6 C．3a2÷2a=a D．（2a）2=2a24．（4分）若分式的值是零，則x的值是（）A．x=﹣2 B．x=±3 C．2 D．x=35．（4分）長方形的面積為x2﹣2xy+x，其中一邊長是x，則另一邊長是（）A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+16．（4分）如圖，E，B，F(xiàn)，C四點在一條直線上，EB=CF，∠A=∠D，再添一個條件仍不能證明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE7．（4分）如圖所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，則PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．18．（4分）如圖（1），是一個長為2a寬為2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對角軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新的正方形，則中間空白部分的面積是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b29．（4分）“五水共治”工程中，要挖掘一段a千米的排污管溝，如果由10個工人挖掘，要用m天完成；如果由一臺挖掘機工作，要比10個工人挖掘提前3天完成，一臺挖掘機的工作效率是一個工人工作效率的（）A． B． C． D．10．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P1（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點，已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，若點A1的坐標為（3，1），則點A2015的坐標為（）A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分11．（5分）點A（﹣3，2）關于x軸的對稱點A′的坐標為．12．（5分）因式分解：x2﹣4y2=．13．（5分）等腰三角形一邊等于4，另一邊等于2，則周長是．14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，則a2+b2=．15．（5分）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個直角三角形為“特征三角形”，那么它的“特征角”等于度．16．（5分）如圖，把面積為1的等邊△ABC的三邊分別向外延長m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面積是（用含m的式子表示）三、解答題（本題有8小題，第17-20題每題8分，第21題10分，第22、23題每題12分，第24題14分，共80分17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3．18．（4分）解方程：．19．（8分）先化簡再求值：（﹣）÷，其中x=3．20．（8分）在△ABC中，D是BC邊上的中點，F(xiàn)、E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE．求證：CF=BE．21．（8分）一個等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點D，C，E在同一直線上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm．求稍矮的柜高BE．22．（10分）某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數(shù)與900元購進的足球個數(shù)相等．（1）籃球和足球的單價各是多少元？（2）該校打算用800元購買籃球和足球，恰好用完800元，問有哪幾種購買方案？23．（12分）探究題：（1）都相等，都相等的多邊形叫做正多邊形；（2）如圖，格點長方形MNPQ的各點分布在邊長均為1的等邊三角形組成的網格上，請在格點長方形MNPQ內畫出一個面積最大的格點正六邊形ABCDEF，并簡要說明它是正六邊形的理由；（3）正六邊形有條對角線，它的外角和為度．24．（12分）閱讀理解：（請仔細閱讀，認真思考，靈活應用）【例】已知實數(shù)x滿足x+=4，求分式的值．解：觀察所求式子的特征，因為x≠0，我們可以先求出的倒數(shù)的值，因為=x+3+=x++3=4+3=7所以=【活學活用】（1）已知實數(shù)a滿足a+=﹣5，求分式的值；（2）已知實數(shù)x滿足x+=9，求分式的值．25．（14分）有公共頂點A的△ABD，△ACE都是的等邊三角形．（1）如圖1，將△ACE繞頂點A旋轉，當E，C，B共線時，求∠BCD的度數(shù)；（2）如圖2，將△ACE繞頂點A旋轉，當∠ACD=90°時，延長EC角BD于F，①求證：∠DCF=∠BEF；②寫出線段BF與DF的數(shù)量關系，并說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分，請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1．（4分）將下列四種長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（）A．2，5，8 B．3，4，5 C．2，2，4 D．1，2，3【考點】三角形三邊關系．【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進行分析即可．【解答】解：A、2+5＜8，不能組成三角形，故此選項錯誤；B、3+4＞5，能組成三角形，故此選項正確；C、2+2=4，不能組成三角形，故此選項錯誤；D、1+2=3，不能組成三角形，故此選項錯誤；故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系定理，在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．2．（4分）下列圖形是對圓的面積進行四等分的幾種作圖，則它們是軸對稱圖形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形；第二個圖形是軸對稱圖形；第三個圖形不是軸對稱圖形；第四個圖形是軸對稱圖形；所以一共有三個軸對稱圖形．故選C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（4分）下列運算中，正確的是（）A．（a2）3=a5 B．a2?a4=a6 C．3a2÷2a=a D．（2a）2=2a2【考點】整式的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】計算題；整式．【分析】A、原式利用冪的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷；B、原式利用同底數(shù)冪的乘法法則計算得到結果，即可作出判斷；C、原式利用單項式除以單項式法則計算得到結果，即可作出判斷；D、原式利用積的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式=a6，錯誤；B、原式=a6，正確；C、原式=a，錯誤；D、原式=4a2，錯誤，故選B【點評】此題考查了整式的除法，同底數(shù)冪的乘法，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（4分）若分式的值是零，則x的值是（）A．x=﹣2 B．x=±3 C．2 D．x=3【考點】分式的值為零的條件．【分析】直接利用分式的值為0，則分子為0，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值是零，∴x+2=0，解得：x=﹣2．故選：A．【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關鍵．5．（4分）長方形的面積為x2﹣2xy+x，其中一邊長是x，則另一邊長是（）A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1【考點】整式的除法．【專題】計算題；整式．【分析】根據(jù)面積除以一邊長得到另一邊長即可．【解答】解：根據(jù)題意得：（x2﹣2xy+x）÷x=x﹣2y+1，故選D【點評】此題考查了整式的除法，熟練掌握除法法則是解本題的關鍵．6．（4分）如圖，E，B，F(xiàn)，C四點在一條直線上，EB=CF，∠A=∠D，再添一個條件仍不能證明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE【考點】全等三角形的判定．【分析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本題具備了一組邊、一組角對應相等，為了再添一個條件仍不能證明△ABC≌△DEF，那么添加的條件與原來的條件可形成SSA，就不能證明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A、添加DE=AB與原條件滿足SSA，不能證明△ABC≌△DEF，故A選項正確．B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根據(jù)AAS能證明△ABC≌△DEF，故B選項錯誤．C、添加∠E=∠ABC，根據(jù)AAS能證明△ABC≌△DEF，故C選項錯誤．D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根據(jù)AAS能證明△ABC≌△DEF，故D選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．7．（4分）如圖所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，則PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點】菱形的判定與性質；含30度角的直角三角形．【專題】幾何圖形問題．【分析】過點P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再結合題目推出四邊形COMP為菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性質即可得PD．【解答】解：如圖：過點P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA∴四邊形COMP為菱形，PM=4PM∥CO?∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，又∵PD⊥OA∴PD=PC=2．令解：作CN⊥OA．∴CN=OC=2，又∵∠CNO=∠PDO，∴CN∥PD，∵PC∥OD，∴四邊形CNDP是長方形，∴PD=CN=2故選：C．【點評】本題運用了平行線和直角三角形的性質，并且需通過輔助線求解，難度中等偏上．8．（4分）如圖（1），是一個長為2a寬為2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對角軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新的正方形，則中間空白部分的面積是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2【考點】完全平方公式的幾何背景．【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據(jù)空白部分的面積=正方形的面積﹣矩形的面積即可得出答案．【解答】解：由題意可得，正方形的邊長為（a+b），故正方形的面積為（a+b）2，又∵原矩形的面積為4ab，∴中間空的部分的面積=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2．故選C．【點評】此題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長是解答本題的關鍵，難度一般．9．（4分）“五水共治”工程中，要挖掘一段a千米的排污管溝，如果由10個工人挖掘，要用m天完成；如果由一臺挖掘機工作，要比10個工人挖掘提前3天完成，一臺挖掘機的工作效率是一個工人工作效率的（）A． B． C． D．【考點】列代數(shù)式（分式）．【分析】此題可利用工作總量作為相等關系，借助方程解題．【解答】解：設一臺插秧機的工作效率為x，一個人工作效率為y．則10my=（m﹣3）x．所以=，故選：D．【點評】本題主要考查了列代數(shù)式的知識，列代數(shù)式的關鍵是正確理解文字語言中的關鍵詞，找到其中的數(shù)量關系，工程問題要有“工作效率”，“工作時間”，“工作總量”三個要素，數(shù)量關系為：工作效率×工作時間=工作總量．10．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P1（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點，已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，若點A1的坐標為（3，1），則點A2015的坐標為（）A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）【考點】規(guī)律型：點的坐標．【分析】根據(jù)伴隨點的定義，羅列出部分點A的坐標，根據(jù)點A的變化找出規(guī)律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n為自然數(shù)）”，根據(jù)此規(guī)律即可解決問題．【解答】解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A1（3，1），A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，∴A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n為自然數(shù)）．∵2015=4×503+3，∴點A2015的坐標為（﹣3，1）．故選B．【點評】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n為自然數(shù)）”．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，羅列出部分點的坐標，根據(jù)點的坐標的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關鍵．二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分11．（5分）點A（﹣3，2）關于x軸的對稱點A′的坐標為（﹣3，﹣2）．【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標．【分析】根據(jù)“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點A（﹣3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（﹣3，﹣2）．故答案為：（﹣3，﹣2）．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．12．（5分）因式分解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．【考點】因式分解-運用公式法．【分析】直接運用平方差公式進行因式分解．【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．【點評】本題考查了平方差公式分解因式，熟記公式結構是解題的關鍵．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．13．（5分）等腰三角形一邊等于4，另一邊等于2，則周長是10．【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系．【分析】因為等腰三角形的兩邊分別為4和2，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：當4為底時，其它兩邊都為2，2、2、4不可以構成三角形；當4為腰時，其它兩邊為4和2，4、4、2可以構成三角形，周長為10，故答案為：10．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形三邊關系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，則a2+b2=31．【考點】完全平方公式．【專題】計算題；整式．【分析】把a﹣b=5兩邊平方，利用完全平方公式化簡，將ab=3代入即可求出所求式子的值．【解答】解：把a﹣b=5兩邊平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=25，將ab=3代入得：a2+b2=31，故答案為：31【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．15．（5分）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個直角三角形為“特征三角形”，那么它的“特征角”等于90或60度．【考點】三角形內角和定理．【分析】根據(jù)“特征角”的定義，結合直角三角形的性質即可得出結論．【解答】解：①“特征角”α為90°；②“特征角”與“另一個內角”都不是直角時，設“特征角是2x”，由題意得，x+2x=90°，解得：x=30°，所以，“特征角”是60°，綜上所述，這個“特征角”的度數(shù)為90°或60°．故答案為：90或60．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．16．（5分）如圖，把面積為1的等邊△ABC的三邊分別向外延長m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面積是3m2+3m+1（用含m的式子表示）【考點】等邊三角形的性質．【分析】連接AB1，BC1，CA1，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABB1，△A1AB1的面積，從而求出△A1BB1的面積，同理可求△B1CC1的面積，△A1AC1的面積，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，連接AA1，B1C2，BC1，如圖所示：∵把面積為1的等邊△ABC的三邊分別向外延長m倍，∴△A1AB的面積=△BC2C1的面積=△AB1C2的面積=m×1=m，同理：△A1B1A的面積=△B1C1C2的面積=△A1BC1的面積=m×m=m2，∴△A1B1C1的面積=3m2+3m+1；故答案為：3m2+3m+1．【點評】本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進行分割是解題的關鍵．三、解答題（本題有8小題，第17-20題每題8分，第21題10分，第22、23題每題12分，第24題14分，共80分17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】首先提取公因式y(tǒng)，進而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：4xy2+4x2y+y3=y（4xy+4x2+y2）=y（y+2x）2．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．18．（4分）解方程：．【考點】解分式方程．【專題】計算題．【分析】觀察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可確定方程最簡公分母為：（x﹣2），然后去分母將分式方程化成整式方程求解．注意檢驗．【解答】解：方程兩邊同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，檢驗：x=1時，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗根．（3）去分母時有常數(shù)項的不要漏乘常數(shù)項．19．（8分）先化簡再求值：（﹣）÷，其中x=3．【考點】分式的化簡求值．【分析】先約分化簡，再計算括號，最后代入化簡即可．【解答】解：原式=[﹣}×=（）×=×=﹣，當x=3時，原式=﹣1【點評】本題考查分式的混合運算、乘法公式等知識，解題的關鍵是靈活掌握分式的混合運算法則，注意簡便運算，屬于中考常考題型．20．（8分）在△ABC中，D是BC邊上的中點，F(xiàn)、E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE．求證：CF=BE．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】利用CF∥BE和D是BC邊的中點可以得到全等條件證明△BDE≌△CDF，從而得出結論．【解答】證明：∵D是BC邊上的中點，∴BD=CD，又∵CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD∴△BDE≌△CFD，∴CF=BE．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，難度適中．21．（8分）一個等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點D，C，E在同一直線上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm．求稍矮的柜高BE．【考點】全等三角形的應用．【分析】首先證明△ADC≌△CEB，根據(jù)全等三角形的性質可得AD=CE，DC=BE，進而可得CE的長，然后可得DC的長度，從而求出BE長．【解答】解：由題意得：∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，AC=BC，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∵AD=80cm，∴CE=80cm，∵DE=140cm，∴DC=60cm，∴BE=60cm．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．（10分）某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數(shù)與900元購進的足球個數(shù)相等．（1）籃球和足球的單價各是多少元？（2）該校打算用800元購買籃球和足球，恰好用完800元，問有哪幾種購買方案？【考點】分式方程的應用；二元一次方程的應用．【分析】（1）設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，根據(jù)題意可得等量關系：1500元購進的籃球個數(shù)=900元購進的足球個數(shù)，由等量關系可得方程，再求解即可；（2）設恰好用完800元，可購買籃球m個和購買足球n個，根據(jù)題意可得籃球的單價×籃球的個數(shù)m+足球的單價×足球的個數(shù)n=800，再求出整數(shù)解即可得出答案．【解答】解：設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，由題意