中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題14 構(gòu)建函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題（解析版）

專題14構(gòu)建函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題中考命題解讀中考命題解讀函數(shù)應(yīng)用是中考必考內(nèi)容，?？純?nèi)容包括有：函數(shù)與方程、不等式的應(yīng)用；函數(shù)的最值的應(yīng)用；拋物線型的函數(shù)的應(yīng)用；多個(gè)函數(shù)的組合的應(yīng)用；靈活選用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型的應(yīng)用等。考標(biāo)要求考標(biāo)要求1.通過復(fù)習(xí)學(xué)生能掌握解函數(shù)應(yīng)用題來解題的一般方法和步驟；2.會(huì)綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、幾何等知識(shí)解決與函數(shù)有關(guān)的綜合題以及函數(shù)應(yīng)用問題。考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：函數(shù)常見應(yīng)用1．函數(shù)的應(yīng)用主要涉及到經(jīng)濟(jì)決策、市場經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用．2．利用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題的一般步驟(1)設(shè)定實(shí)際問題中的變量；(2)建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系，如：一次函數(shù)，二次函數(shù)或其他復(fù)合而成的函數(shù)式；(3)確定自變量的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；(4)利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；(5)寫出答案．3．利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問題．考點(diǎn)2：解題常用模型1．構(gòu)建函數(shù)模型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是研究現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)重要手段，對(duì)于函數(shù)的實(shí)際問題要認(rèn)真分析，構(gòu)建函數(shù)模型，從而解決實(shí)際問題．函數(shù)的圖象與性質(zhì)也是中考重點(diǎn)考查的一個(gè)方面．2．實(shí)際問題中函數(shù)解析式的求法設(shè)x為自變量，y為x的函數(shù)，在求解析式時(shí)，一般與列方程解應(yīng)用題一樣先列出關(guān)于x，y的二元方程，再用含x的代數(shù)式表示y.利用題中的不等關(guān)系，或結(jié)合實(shí)際求出自變量x的取值范圍．3．三種題型(1)選擇題——關(guān)鍵：讀懂函數(shù)圖象，學(xué)會(huì)聯(lián)系實(shí)際；(2)綜合題——關(guān)鍵：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想；(3)求運(yùn)動(dòng)過程中的函數(shù)解析式——關(guān)鍵：以靜制動(dòng)母題精講母題精講【典例1】（2022?淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；（2）當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【解答】解：（1）A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得，，解得，答：A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低a元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．【典例2】（2022?東營）為滿足顧客的購物需求，某水果店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售．經(jīng)了解，甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購進(jìn)甲種水果比用1200元購進(jìn)乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價(jià)分別為6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是多少？（2）若水果店購進(jìn)這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【解答】解：（1）設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)為x元，則甲種水果的進(jìn)價(jià)為（1﹣20%）x元，由題意得：，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝5是原方程的解，且符合題意，則5×（1﹣20%）＝4，答：甲種水果的進(jìn)價(jià)為4元，則乙種水果的進(jìn)價(jià)為5元；（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果（150﹣m）千克，利潤為w元，由題意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，則w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝100時(shí)，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，則150﹣m＝50，答：購進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克才能獲得最大利潤，最大利潤為350元．【典例3】（2022?鞍山）某超市購進(jìn)一批水果，成本為8元/kg，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來10天的售價(jià)m（元/kg）與時(shí)間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式m＝x+18（1≤x≤10，x為整數(shù)），又通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（kg）與時(shí)間第x天之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的三組對(duì)應(yīng)值．時(shí)間第x天…259…銷售量y/kg…333026…（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為多少元？【解答】解：（1）設(shè)每天銷售量y與時(shí)間第x天之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，根據(jù)題意，得：，解得，∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x為整數(shù)）；（2）設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，則w＝（﹣x+35）（x+18﹣8）＝﹣x2+x+350＝﹣（x﹣）2+，∵1≤x≤10，x為整數(shù)，∴當(dāng)x＝7或x＝8時(shí)，w取得最大值，最大值為378，答：在這10天中，第7天和第8天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為378元．【典例4】（2022?湘潭）為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時(shí)最大面積為多少？【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，總種植面積有最大值為m2，即BC應(yīng)設(shè)計(jì)為m總種植面積最大，此時(shí)最大面積為m2．【典例5】（2022?廣安）某企業(yè)下屬A、B兩廠向甲乙兩地運(yùn)送水泥共520噸，A廠比B廠少運(yùn)送20噸，從A廠運(yùn)往甲乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為40元/噸和35元/噸，從B廠運(yùn)往甲乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為28元/噸和25元/噸．（1）求A、B兩廠各運(yùn)送多少噸水泥；（2）現(xiàn)甲地需要水泥240噸，乙地需要水泥280噸．受條件限制，B廠運(yùn)往甲地的水泥最多150噸．設(shè)從A廠運(yùn)往甲地a噸水泥，A、B兩廠運(yùn)往甲乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為w元．求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，請(qǐng)你為該企業(yè)設(shè)計(jì)一種總運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)輸方案，并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)A廠運(yùn)送水泥x噸，則B廠運(yùn)送水泥（x+20）噸，根據(jù)題意得：x+x+20＝520，解得：x＝250，此時(shí)x+20＝270，答：A廠運(yùn)送水泥250噸，B廠運(yùn)送水泥270噸；（2）設(shè)從A廠運(yùn)往甲地水泥a噸，則A廠運(yùn)往乙地水泥（250﹣a）噸，B廠運(yùn)往甲地水泥（240﹣a）噸，B廠運(yùn)往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）噸，由題意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，∵B廠運(yùn)往甲地的水泥最多150噸，∴240﹣a≤150，解得：a≥90，∵2＞0，∴w隨a的增大而增大，∴當(dāng)a＝90時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)為：2×90+16220＝16400（元），∴最低運(yùn)送方案為A廠運(yùn)往甲地水泥90噸，運(yùn)往乙地水泥160噸：B廠運(yùn)往甲地水泥150噸，B廠運(yùn)往乙地水泥120噸，最低運(yùn)費(fèi)為16400元．【典例6】（2022?溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【解答】解：任務(wù)1：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為（0，0），且過點(diǎn)B（10，﹣5），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，把點(diǎn)B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2；任務(wù)2：∵該河段水位再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面不小于1m，燈籠長0.4m，∴當(dāng)懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m，當(dāng)y＝﹣1.8時(shí)，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：﹣6≤x≤6；任務(wù)3：方案一：如圖2（坐標(biāo)軸的橫軸），從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠，∵﹣6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m，∴若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，1.6×4＞6，若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛3盞燈籠時(shí)，1.6×3＜6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛3盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛7盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如圖3，∵若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛5盞燈籠時(shí)，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛4盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛8盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．真題精選真題精選1．（2022?遵義）遵義市開展信息技術(shù)與教學(xué)深度融合的“精準(zhǔn)化教學(xué)”，某實(shí)驗(yàn)學(xué)校計(jì)劃購買A，B兩種型號(hào)教學(xué)設(shè)備，已知A型設(shè)備價(jià)格比B型設(shè)備價(jià)格每臺(tái)高20%，用30000元購買A型設(shè)備的數(shù)量比用15000元購買B型設(shè)備的數(shù)量多4臺(tái)．（1）求A，B型設(shè)備單價(jià)分別是多少元；（2）該校計(jì)劃購買兩種設(shè)備共50臺(tái)，要求A型設(shè)備數(shù)量不少于B型設(shè)備數(shù)量的．設(shè)購買a臺(tái)A型設(shè)備，購買總費(fèi)用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少購買費(fèi)用．【解答】解：（1）設(shè)每臺(tái)B型設(shè)備的價(jià)格為x元，則每臺(tái)A型號(hào)設(shè)備的價(jià)格為1.2x元，根據(jù)題意得，＝+4，解得：x＝2500．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2500是原方程的解．∴1.2x＝3000，∴每臺(tái)B型設(shè)備的價(jià)格為2500元，則每臺(tái)A型號(hào)設(shè)備的價(jià)格為3000元．（2）設(shè)購買a臺(tái)A型設(shè)備，則購買（50﹣a）臺(tái)B型設(shè)備，∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，由實(shí)際意義可知，，∴12.5≤a≤50且a為整數(shù)，∵500＞0，∴w隨a的增大而增大，∴當(dāng)a＝13時(shí)，w的最小值為500×13+125000＝131500（元）．∴w＝500a+125000，且最少購買費(fèi)用為131500元．2．（2022?賀州）2022年在中國舉辦的冬奧會(huì)和殘奧會(huì)令世界矚目，冬奧會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價(jià)格購進(jìn)一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價(jià)是48元時(shí)，每天可售出200套；若每套售價(jià)提高2元，則每天少賣4套．（1）設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價(jià)定為x元時(shí)，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求每套售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售套件所獲利潤W最大，最大利潤是多少元？【解答】解：（1）根據(jù)題意，得y＝200﹣×4（x﹣48）＝﹣2x+296，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣2x+296；（2）根據(jù)題意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣91）2+6498，∵a＝﹣2＜0，∴拋物線開口向下，W有最大值，當(dāng)x＝91時(shí)，W最大值＝6498，答：每套售價(jià)定為：91元時(shí)，每天銷售套件所獲利潤最大，最大利潤是6498元．3．（2022?蘭州）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時(shí)起點(diǎn)處高度為m，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請(qǐng)說明理由．圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試規(guī)則與測試要求》【解答】解：（1）根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分，理由：令y＝0，則﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分．4．（2022?盤錦）某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？（3）設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝kx+b，由題圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)（25，50）和點(diǎn)（35，30）．把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝kx+b，得，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣2x+100；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是x元，由題意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是40元或20元；（3）根據(jù)題意，則w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值，最大值為800；∴當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．5．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場購進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當(dāng)購買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．（1）請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天購進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大