中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題15 線段、角、相交線與平行線（解析版）

專題15線段、角、相交線與平行線中考命題解讀中考命題解讀本節(jié)知識大部分內(nèi)容在學(xué)業(yè)水平測試要求中要求學(xué)生達(dá)到理解程度，其中平行線的性質(zhì)及判定要求達(dá)到掌握程度，要求會用角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)求角度多以填空題的考察形式出現(xiàn)?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.了解直線、射線、線段的概念,理解兩點(diǎn)之間的距離；2.理解角的概念及表示,能正確地進(jìn)行角的度量與換算;能估計(jì)、比較角的大小,能正確地計(jì)算角度的和與差.3.理解角的平分線及其性質(zhì)以及補(bǔ)角、余角、對頂角的概念,4.理解掌握并能熟練運(yùn)用補(bǔ)角、余角、對頂角的性質(zhì).5.理解垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離,理解垂線的性質(zhì)和垂線段的性質(zhì),6.理解線段的垂直平分線及其性質(zhì).能用三角尺或量角器畫出直線的垂線、線段的垂直平分線、角的平分線.7.理解掌握平行線的概念,兩直線平行的性質(zhì)和判定,并能用平行線的性質(zhì)和判定證明或解決有關(guān)問題.能用三角尺和直尺過直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線.8.了解兩條平行線之間的距離的概念,能正確地度量兩條平行線間的距離.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：直線、射線與線段的概念注意：直線是可以向兩邊無限延伸的，射線受端點(diǎn)的限制，只能向一邊無限延伸；線段不能延伸，所以直線與射線不可測量長度，只有線段可以測量。考點(diǎn)2：基本事實(shí)1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡稱兩點(diǎn)間線段最短考點(diǎn)3：基本概念1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長度叫做兩點(diǎn)間的距離。2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn)考點(diǎn)4：雙中點(diǎn)模型：C為AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，則考點(diǎn)5：角及其平分線1.度量角的大?。嚎捎谩岸取弊鳛槎攘繂挝?。把一個(gè)圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。2，余角：若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余，若∠1與∠2互余，則∠1+∠2=90°.3.補(bǔ)角：若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互補(bǔ)，若∠1與∠2互補(bǔ)，則∠1+∠2=180°.性質(zhì)：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的補(bǔ)角相等．4.角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠3、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。∴PD=PE。5.角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。考點(diǎn)6：相交線1.對頂角：如圖1所示，∠1與∠3、∠2與∠4都是對頂角。2.鄰補(bǔ)角：如圖2所示，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角，由平角定義可知∠1＋∠2＝180°。圖1圖23.三線八角兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。4．垂線的性質(zhì)（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．5.垂直平分線的性質(zhì)（1）定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.（2）逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.考點(diǎn)7：平行線1.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。2.平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實(shí)際上是指它們所在的直線平行。3.平行線的判定：（1）同位角相等，兩直線平行。（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。4.平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理?？键c(diǎn)8：命題內(nèi)容定義能判斷一件事情的語句，叫做命題。組成命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出來的事項(xiàng)表達(dá)形式通常可以寫成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。分類題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題題設(shè)成立，結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題。母題精講母題精講【典例1】（義烏市）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．垂線段最短 D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【解答】解：經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，此操作的依據(jù)是兩點(diǎn)確定一條直線．故選：A．【典例2】（2021?興安盟）74°19′30″＝°．【答案】74.325【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案為：74.325．【典例3】（2022?宿遷）如圖，AB∥ED，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．100° D．110°【答案】D【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故選：D．【典例4】（2022?益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．【答案】90【解答】解：如圖：由題意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案為：90．【典例5】（2022?資陽）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置．若∠1＝40°，則∠2度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解答】解：如圖，根據(jù)題意可知∠A為直角，直尺的兩條邊平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故選：B．【典例6】（2022?丹東）如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥l2，垂足為C，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)是（）A．32° B．38° C．48° D．52°【答案】B【解答】解：∵直線l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故選：B．【典例7】（2022?湖北）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線交CD于點(diǎn)G．若∠EFG＝52°，則∠EGF＝（）A．128° B．64° C．52° D．26°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠FEB＝180°﹣∠EFG＝128°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝64°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝64°．故答案選：B．【典例8】（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC．真題精選真題精選命題1命題1角的有關(guān)概念及性質(zhì)1．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角為：90°﹣40°＝50°，故選：A．2．（2021?青島）如圖，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，則AD為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵BD是∠ABC平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2，∵AC＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，故選：B．3．（2021?桂林）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．90° C．110° D．130°【答案】C【解答】解：∵直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1＝110°，∴∠2＝∠1＝110°．故選：C．4．（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對頂角 C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【答案】D【解答】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：D．5．（2022?宜昌）如圖，C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西35°方向，則∠ACB的大小是．【答案】85°【解答】解：過點(diǎn)C作CF∥AD，如圖，∵AD∥BE，∴AD∥CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，由C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西35°方向，得∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．∴∠ACB＝50°+35°＝85°，故答案為：85°．命題2命題2平行線性質(zhì)求角度及平行線的判定6．（2022?六盤水）如圖，a∥b，∠1＝43°，則∠2的度數(shù)是（）A．137° B．53° C．47° D．43°【答案】D【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故選：D．7．（2022?西藏）如圖，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，則∠3的度數(shù)為（）A．46° B．90° C．96° D．134°【答案】C【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故選：C．8．（2022?柳州）如圖，直線a，b被直線c所截，若a∥b，∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故選：C 9．（2021?黔西南州）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】C【解答】解：如圖：∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2＝105°，故選：C．10．（2021?蘭州）將一副三角板如圖擺放，則∥，理由是．【答案】BC；ED；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【解答】解：根據(jù)題意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ACB＝∠DEF，∴BC∥ED．故答案為：BC；ED；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．11．（2018?重慶）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度數(shù)．【解答】解：∵直線AB∥CD，∴∠1＝∠3∵∠1＝54°，∴∠3＝54°∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠3＝108°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，∴∠2＝∠BDC