【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(北師大版)基礎鞏固：第12章-第3節(jié)-歸納與類比

第十二章第三節(jié)一、選擇題1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]由于平行六面體相對的兩個面相互平行，類比平面圖形，則相對的兩條邊相互平行，故選C．2．由eq\f(7,10)>eq\f(5,8)，eq\f(9,11)>eq\f(8,10)，eq\f(13,25)>eq\f(9,21)，…若a>b>0且m>0，則eq\f(b＋m,a＋m)與eq\f(b,a)之間大小關系為()A．相等 B．前者大C．后者大 D．不確定[答案]B[解析]觀看題設規(guī)律，由歸納推理易得eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a).3．觀看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案]D[解析]本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內容，由例子可看出偶函數(shù)求導后都變成了奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對同學觀看力氣，概括歸納推理的力氣的考查．4．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()[答案]A[解析]該五角星對角上的兩盞花燈依次按逆時針方向亮一盞，故下一個呈現(xiàn)出來的圖形是A．5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，則復數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”．類比推出：若a，b∈C，則a－b>0?a>B．其中類比結論正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①②正確，③錯誤．由于兩個復數(shù)假如不全是實數(shù)，不能比較大?。蔬xC．6．(文)觀看下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4,|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8,|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92[答案]B[解析]本題考查了不完全歸納．由已知條件知|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解(x，y)個數(shù)為4n，所以|x|＋|y|＝20不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4×20＝80.歸納體現(xiàn)了由特殊到一般的思維過程．(理)觀看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199[答案]C[解析]本題考查了歸納推理力氣，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故選C，解答本題時由于分析不出右邊數(shù)字與前兩式的數(shù)字關系，從而無從下手，導致無法解題或錯選．二、填空題7．在平面內有n(n∈N＋，n≥3)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若這n條直線把平面分成f(n)個平面區(qū)域，則f(5)的值是________，f(n)的表達式是________．[答案]16f(n)＝eq\f(n2＋n＋2,2)[解析]由題意，n條直線將平面分成eq\f(nn＋1,2)＋1個平面區(qū)域，故f(5)＝16，f(n)＝eq\f(n2＋n＋2,2).8．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2).運用類比方法，若三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直且長度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝________.[答案]eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)[解析]通過類比可得R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).證明：作一個在同一個頂點處棱長分別為a，b，c的長方體，則這個長方體的體對角線的長度是eq\r(a2＋b2＋c2)，故這個長方體的外接球的半徑是eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑．9．設n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，觀看上述結論，可推想一般的結論為________．[答案]f(2n)≥eq\f(n＋2,2)[解析]由前四個式子可得，第n個不等式的左邊應當為f(2n)，右邊應當為eq\f(n＋2,2)，即可得一般的結論為f(2n)≥eq\f(n＋2,2).三、解答題10．某同學在一次爭辯性學習中發(fā)覺，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結論．[解析]解法1：(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).解法2：(1)同解法1.(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°－2α,2)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1,4)(1－cos2α)＝1－eq\f(1,4)cos2α－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)cos2α＝eq\f(3,4).一、選擇題1．已知x>0，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，…，我們可以得出推廣結論：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，則a＝()A．2n B．n2C．3n D．nn[答案]D[解析]再續(xù)寫一個不等式：x＋eq\f(33,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(33,x3)≥4eq\r(4,\f(x,3)·\f(x,3)·\f(x,3)·\f(33,x3))＝4，由此可得a＝nn.2．如圖，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝()A．eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\r(5)－1 D．eq\r(5)＋1[答案]A[解析]在“黃金雙曲線”中，B(0，b)，F(xiàn)(－c,0)，A(a,0)．∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.∴b2＝aC．而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝aC．在等號兩邊同除以a2得e2－e－1＝0，又e>1，∴解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2).二、填空題3．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖甲、乙、丙、丁為她們刺繡最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數(shù)越多刺繡越秀麗；現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)＝________.[答案]61[解析]依據(jù)所給圖形的規(guī)律，f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，n∈N＋，由累加法可得f(n)＝2n2－2n＋1，所以f(6)＝61.4．(2022·萊蕪一模)凸函數(shù)的性質定理：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內的任意x1，x2，…，xn，有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤f(eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n))，已知函數(shù)y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為________．[答案]eq\f(3\r(3),2)[解析]∵f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π)，∴eq\f(fA＋fB＋fC,3)≤f(eq\f(A＋B＋C,3))＝f(eq\f(π,3))．即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值為eq\f(3\r(3),2).三、解答題5．已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．試對雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，寫出具有類似的性質，并加以證明．[解析]類似的性質為：若M、N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．證明：設點M、P的坐標分別為(m，n)、(x，y)，則N(－m，－n)．由于點M(m，n)在已知雙曲線上，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.則kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．6．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，假如每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等和數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{a