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第十二章第三節(jié)一、選擇題1.下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是()A.三角形 B.梯形C.平行四邊形 D.矩形[答案]C[解析]由于平行六面體相對(duì)的兩個(gè)面相互平行,類比平面圖形,則相對(duì)的兩條邊相互平行,故選C.2.由eq\f(7,10)>eq\f(5,8),eq\f(9,11)>eq\f(8,10),eq\f(13,25)>eq\f(9,21),…若a>b>0且m>0,則eq\f(b+m,a+m)與eq\f(b,a)之間大小關(guān)系為()A.相等 B.前者大C.后者大 D.不確定[答案]B[解析]觀看題設(shè)規(guī)律,由歸納推理易得eq\f(b+m,a+m)>eq\f(b,a).3.觀看(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=()A.f(x) B.-f(x)C.g(x) D.-g(x)[答案]D[解析]本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容,由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù),∴g(-x)=-g(x),選D,體現(xiàn)了對(duì)同學(xué)觀看力氣,概括歸納推理的力氣的考查.4.如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形,照此規(guī)律閃爍,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()[答案]A[解析]該五角星對(duì)角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針?lè)较蛄烈槐K,故下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A.5.給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+beq\r(2)=c+deq\r(2)?a=c,b=d”;③“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”.類比推出:若a,b∈C,則a-b>0?a>B.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3[答案]C[解析]①②正確,③錯(cuò)誤.由于兩個(gè)復(fù)數(shù)假如不全是實(shí)數(shù),不能比較大?。蔬xC.6.(文)觀看下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,…,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為()A.76 B.80C.86 D.92[答案]B[解析]本題考查了不完全歸納.由已知條件知|x|+|y|=n的不同整數(shù)解(x,y)個(gè)數(shù)為4n,所以|x|+|y|=20不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4×20=80.歸納體現(xiàn)了由特殊到一般的思維過(guò)程.(理)觀看下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=()A.28 B.76C.123 D.199[答案]C[解析]本題考查了歸納推理力氣,∵1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,…,47+76=123,故選C,解答本題時(shí)由于分析不出右邊數(shù)字與前兩式的數(shù)字關(guān)系,從而無(wú)從下手,導(dǎo)致無(wú)法解題或錯(cuò)選.二、填空題7.在平面內(nèi)有n(n∈N+,n≥3)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一點(diǎn),若這n條直線把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域,則f(5)的值是________,f(n)的表達(dá)式是________.[答案]16f(n)=eq\f(n2+n+2,2)[解析]由題意,n條直線將平面分成eq\f(nn+1,2)+1個(gè)平面區(qū)域,故f(5)=16,f(n)=eq\f(n2+n+2,2).8.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC外接圓半徑r=eq\f(\r(a2+b2),2).運(yùn)用類比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=________.[答案]eq\f(\r(a2+b2+c2),2)[解析]通過(guò)類比可得R=eq\f(\r(a2+b2+c2),2).證明:作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a,b,c的長(zhǎng)方體,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度是eq\r(a2+b2+c2),故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是eq\f(\r(a2+b2+c2),2),這也是所求的三棱錐的外接球的半徑.9.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,n),計(jì)算得f(2)=eq\f(3,2),f(4)>2,f(8)>eq\f(5,2),f(16)>3,觀看上述結(jié)論,可推想一般的結(jié)論為_(kāi)_______.[答案]f(2n)≥eq\f(n+2,2)[解析]由前四個(gè)式子可得,第n個(gè)不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為f(2n),右邊應(yīng)當(dāng)為eq\f(n+2,2),即可得一般的結(jié)論為f(2n)≥eq\f(n+2,2).三、解答題10.某同學(xué)在一次爭(zhēng)辯性學(xué)習(xí)中發(fā)覺(jué),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);(2)依據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)覺(jué)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.[解析]解法1:(1)選擇②式,計(jì)算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-eq\f(1,2)sin30°=1-eq\f(1,4)=eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=eq\f(3,4).證明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+eq\f(3,4)cos2α+eq\f(\r(3),2)sinαcosα+eq\f(1,4)sin2α-eq\f(\r(3),2)sinαcosα-eq\f(1,2)sin2α=eq\f(3,4)sin2α+eq\f(3,4)cos2α=eq\f(3,4).解法2:(1)同解法1.(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=eq\f(3,4).證明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=eq\f(1-cos2α,2)+eq\f(1+cos60°-2α,2)-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=eq\f(1,2)-eq\f(1,2)cos2α+eq\f(1,2)+eq\f(1,2)(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-eq\f(\r(3),2)sinαcosα-eq\f(1,2)sin2α=eq\f(1,2)-eq\f(1,2)cos2α+eq\f(1,2)+eq\f(1,4)cos2α+eq\f(\r(3),4)sin2α-eq\f(\r(3),4)sin2α-eq\f(1,4)(1-cos2α)=1-eq\f(1,4)cos2α-eq\f(1,4)+eq\f(1,4)cos2α=eq\f(3,4).一、選擇題1.已知x>0,由不等式x+eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))=2,x+eq\f(4,x2)=eq\f(x,2)+eq\f(x,2)+eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))=3,…,我們可以得出推廣結(jié)論:x+eq\f(a,xn)≥n+1(n∈N+),則a=()A.2n B.n2C.3n D.nn[答案]D[解析]再續(xù)寫(xiě)一個(gè)不等式:x+eq\f(33,x3)=eq\f(x,3)+eq\f(x,3)+eq\f(x,3)+eq\f(33,x3)≥4eq\r(4,\f(x,3)·\f(x,3)·\f(x,3)·\f(33,x3))=4,由此可得a=nn.2.如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為左焦點(diǎn),當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí),其離心率為eq\f(\r(5)-1,2),此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e=()A.eq\f(\r(5)+1,2) B.eq\f(\r(5)-1,2)C.eq\r(5)-1 D.eq\r(5)+1[答案]A[解析]在“黃金雙曲線”中,B(0,b),F(xiàn)(-c,0),A(a,0).∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=0.∴b2=aC.而b2=c2-a2,∴c2-a2=aC.在等號(hào)兩邊同除以a2得e2-e-1=0,又e>1,∴解得e=eq\f(\r(5)+1,2).二、填空題3.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖甲、乙、丙、丁為她們刺繡最簡(jiǎn)潔的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越秀麗;現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形,則f(6)=________.[答案]61[解析]依據(jù)所給圖形的規(guī)律,f(1)=1,f(n+1)-f(n)=4n,n∈N+,由累加法可得f(n)=2n2-2n+1,所以f(6)=61.4.(2022·萊蕪一模)凸函數(shù)的性質(zhì)定理:假如函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,有eq\f(fx1+fx2+…+fxn,n)≤f(eq\f(x1+x2+…+xn,n)),已知函數(shù)y=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),則在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值為_(kāi)_______.[答案]eq\f(3\r(3),2)[解析]∵f(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A,B,C∈(0,π),∴eq\f(fA+fB+fC,3)≤f(eq\f(A+B+C,3))=f(eq\f(π,3)).即sinA+sinB+sinC≤3sineq\f(π,3)=eq\f(3\r(3),2),∴sinA+sinB+sinC的最大值為eq\f(3\r(3),2).三、解答題5.已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),寫(xiě)出具有類似的性質(zhì),并加以證明.[解析]類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.證明:設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m,n)、(x,y),則N(-m,-n).由于點(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上,所以n2=eq\f(b2,a2)m2-b2.同理y2=eq\f(b2,a2)x2-b2.則kPM·kPN=eq\f(y-n,x-m)·eq\f(y+n,x+m)=eq\f(y2-n2,x2-m2)=eq\f(b2,a2)·eq\f(x2-m2,x2-m2)=eq\f(b2,a2)(定值).6.定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,假如每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{a
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