【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版-選修1-1)課時(shí)作業(yè)第二章-2.3.2

2.3.2拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.了解拋物線的幾何圖形，知道拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用拋物線方程爭(zhēng)辯拋物線的幾何性質(zhì)的方法.2.了解拋物線的簡(jiǎn)潔應(yīng)用．1．拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)(1)范圍：拋物線上的點(diǎn)(x，y)的橫坐標(biāo)x的取值范圍是__________，拋物線在y軸的______側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也________，拋物線向右上方和右下方無(wú)限延長(zhǎng)．(2)對(duì)稱性：拋物線關(guān)于________對(duì)稱，拋物線的對(duì)稱軸叫做________________．(3)頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的________．拋物線的頂點(diǎn)為____________．(4)離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的__________，用e表示，其值為______．(5)拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為______，這就是p的幾何意義，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(p,2)，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為______．2．直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)打算于關(guān)于x的方程____________________的解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有______個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線有______個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線________公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸______________，此時(shí)直線與拋物線有______個(gè)公共點(diǎn)．3．拋物線的焦點(diǎn)弦設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)，AB為過(guò)焦點(diǎn)的一條弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，則有以下結(jié)論．(1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(2)|AB|＝2(x0＋eq\f(p,2))(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋p.(4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.一、選擇題1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線過(guò)點(diǎn)(－2,3)，它的方程是()A．x2＝－eq\f(9,2)y或y2＝eq\f(4,3)xB．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,2)xD．x2＝eq\f(4,3)y2．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是()A．成等差數(shù)列B．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列3．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.eq\f(\r(17),2)B．3C.eq\r(5)D.eq\f(9,2)4．設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x5．設(shè)直線l1：y＝2x，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，拋物線C：y2＝4x，已知l1、l2與C共有三個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線l2的條數(shù)為()A．1B．2C．36．過(guò)拋物線y2＝ax(a>0)的焦點(diǎn)F作始終線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于()A．2aB．eq\f(1,2a)C．4aD．eq\f(4,a)題號(hào)123456答案二、填空題7．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為________．8．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則△ABF的面積等于________．9．過(guò)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸的左側(cè))，則eq\f(|AF|,|FB|)＝________.三、解答題10．設(shè)拋物線y＝mx2(m≠0)的準(zhǔn)線與直線y＝1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．過(guò)點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直線方程．力氣提升12．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，假如直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|等于()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．1613．已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．(1)若|AF|＝4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求線段AB的長(zhǎng)的最小值．1．拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．2．直線與拋物線的位置關(guān)系，可利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立而成的方程組的解來(lái)判定；“中點(diǎn)弦”問(wèn)題也可使用“點(diǎn)差法”．2．3.2拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)答案學(xué)問(wèn)梳理1．(1)x≥0右增大(2)x軸拋物線的軸(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(4)離心率1(5)peq\f(p,2)2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0兩一沒(méi)有平行或重合一作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[由題意知所求拋物線開口向上或開口向左，利用待定系數(shù)法可求得方程．]2．A[設(shè)三點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，yeq\o\al(2,3)＝2px3，由于2yeq\o\al(2,2)＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,3)，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－eq\f(p,2)＋|P3F|－eq\f(p,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|P2F|－\f(p,2)))，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P23．A[如圖所示，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－eq\f(1,2)的距離d等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|.因此點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離之和，其最小值為點(diǎn)M(0,2)到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離，則距離之和的最小值為eq\r(4＋\f(1,4))＝eq\f(\r(17),2).]4．B[y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，令x＝0得y＝－eq\f(a,2).∴eq\f(1,2)×eq\f(|a|,4)×eq\f(|a|,2)＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]5．C[∵點(diǎn)P(2,1)在拋物線內(nèi)部，且直線l1與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴過(guò)點(diǎn)P的直線l2在過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B或與x軸平行時(shí)符合題意．∴滿足條件的直線l2共有3條．]6．D[可接受特殊值法，設(shè)PQ過(guò)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))且垂直于x軸，則|PF|＝p＝xP＋eq\f(a,4)＝eq\f(a,4)＋eq\f(a,4)＝eq\f(a,2)，|QF|＝q＝eq\f(a,2)，∴eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝eq\f(2,a)＋eq\f(2,a)＝eq\f(4,a).]7．y2＝4x解析設(shè)拋物線方程為y2＝ax.將y＝x代入y2＝ax，得x＝0或x＝a，∴eq\f(a,2)＝2.∴a＝4.∴拋物線方程為y2＝4x.8．2解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2.∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝1.∴直線AB的方程為y－2＝x－2，即y＝x.將其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝4eq\r(2).又F(1,0)到y(tǒng)＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×4eq\r(2)＝2.9.eq\f(1,3)解析拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，則直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝\f(\r(3),3)x＋\f(p,2)，))消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，解得y1＝eq\f(p,6)，y2＝eq\f(3p,2).由題意可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，可知eq\f(|AF|,|FB|)＝eq\f(y1＋\f(p,2),y2＋\f(p,2))＝eq\f(\f(p,6)＋\f(p,2),\f(3p,2)＋\f(p,2))＝eq\f(1,3).10．解由y＝mx2(m≠0)可化為x2＝eq\f(1,m)y，其準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4m).由題意知－eq\f(1,4m)＝－2或－eq\f(1,4m)＝4，解得m＝eq\f(1,8)或m＝－eq\f(1,16).則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y或x2＝－16y.11．解方法一設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝8x1，①yeq\o\al(2,2)＝8x2，②∵Q(4,1)是AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④將③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，∴k＝4.∴所求弦AB所在的直線方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.方法二設(shè)弦AB所在直線方程為y＝k(x－4)＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得y1＋y2＝eq\f(8,k)，又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB所在的直線方程為4x－y－15＝0.12.B[如圖所示，直線AF的方程為y＝－eq\r(3)(x－2)，與準(zhǔn)線方程x＝－2聯(lián)立得A(－2，4eq\r(3))．設(shè)P(x0,4eq\r(3))，代入拋物線y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8，選B.]13．解由y2＝4x，得p＝2，其準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點(diǎn)F(1,0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．分別過(guò)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A′、B′.(1)由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，從而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直