【名師一號】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2：第一章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-單元同步測試

第一章測試(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，則f(x)在(a，b)上為增函數(shù)是f′(x)>0的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析y＝f(x)在(a，b)上f′(x)>0?y＝f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，反之，y＝f(x)在(a，b)上是增函數(shù)?f′(x)≥0?f′(x)>0.答案A2．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程是2x＋y－1＝0，則()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率為f′(x0)＝－2<0.答案B3．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點(－1，－eq\f(5,3))處切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．150°解析∵y′＝x2，k＝tanα＝y(tǒng)′|x＝－1＝(－1)2＝1，∴α＝45°.答案B4．曲線f(x)＝x3＋x－2的一條切線平行于直線y＝4x－1，則切點P0的坐標(biāo)為()A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)解析設(shè)P0(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴xeq\o\al(2,0)＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.∴P0的坐標(biāo)為(1,0)或(－1，－4)．答案B5．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝sin2x B．y＝x3－xC．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x)解析對于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.答案C6．下列積分值為2的是()A.eq\i\in(0,5,)(2x－4)dx B.eq\i\in(0,π,)cosxdxC.eq\i\in(1,3,)eq\f(1,x)dx D.eq\i\in(0,π,)sinxdx解析eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(π,0)＝－cosπ＋cos0＝2.答案D7．函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象為()解析由y＝f(x)的圖象知，有兩個極值點，則y＝f′(x)的圖象與x軸應(yīng)有兩個交點，又由增減性知，應(yīng)選D項．答案D8．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，則f(x)有()A．極大值5，微小值為－27B．極大值5，微小值為－11C．極大值5，無微小值D．微小值－27，無極大值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．當(dāng)x<－1時，f′(x)>0，當(dāng)－1<x<3時，f′(x)<0.∴x＝－1是f(x)的極大值點．且極大值為f(－1)＝5，在(－2,2)內(nèi)無微小值．答案C9．已知f(x)為三次函數(shù)，當(dāng)x＝1時f(x)有極大值4，當(dāng)x＝3時f(x)有微小值0，且函數(shù)f(x)過原點，則此函數(shù)是()A．f(x)＝x3－2x2＋3x B．f(x)＝x3－6x2＋xC．f(x)＝x3＋6x2＋9x D．f(x)＝x3－6x2＋9x解析設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)＝3ax2－12ax＋9a.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b＋c＝4，,f3＝27a＋9b＋3c＝0，,c＝9a.))解得a＝1，b＝－6，c＝9.所以f(x)＝x3－6x2＋9x.答案D10．由拋物線y＝x2－x，直線x＝－1及x軸圍成的圖形的面積為()A.eq\f(2,3) B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析如圖所示，陰影部分的面積為S1＝eq\i\in(,0,)－1(x2－x)dx＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(0,－1)＝eq\f(5,6).S2＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\i\in(0,1,)(x2－x)dxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))＝－(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,6)，故所求的面積為S＝S1＋S2＝1.答案B11．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝eq\f(1,a)處有極值，則ac＋2b的值為()A．－3 B．0C．1 D．3解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，依題意知，3a×(eq\f(1,a))2＋2b×eq\f(1,a)＋c＝0，即eq\f(3,a)＋eq\f(2b,a)＋c＝0，∴2b＋ac＝－3.答案A12．設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，f(2)＝eq\f(e2,8)，則x>0時，f(x)()A．有極大值，無微小值B．有微小值，無極大值C．既有極大值又有微小值D．既無極大值也無微小值解析由題意知，f′(x)＝eq\f(ex,x3)－eq\f(2fx,x)＝eq\f(ex－2x2fx,x3).令g(x)＝ex－2x2f(x)，則g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2[x2f′(x)＋2xf(x)]＝ex－eq\f(2ex,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x))).由g′(x)＝0，得x＝2.當(dāng)x＝2時，g(x)有微小值g(2)＝e2－2×22f(2)＝e2－8·eq\f(e2,8)＝0.∴g(x)≥0.當(dāng)x>0時，f′(x)＝eq\f(gx,x3)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)既無極大值也無微小值．答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f′(0)＝2.?x，y∈R，若函數(shù)f(x＋y)＝f(x)f(y)成立，則f(0)＝________.解析令y＝0，則有f(x)＝f(x)f(0)．∵f′(0)＝2，∴f(x)不恒為0，∴f(0)＝1.答案114．解析答案eq\f(π,2)－115．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(1)·x2＋2x＋5，則f′(2)＝________.解析∵f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2.∴f′(1)＝1.∴f′(x)＝x2－2x＋2.∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2.答案216．一物體以初速度v＝9.8t＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后其次個4s內(nèi)經(jīng)過的路程是________．解析eq\i\in(4,8,)(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(8,4)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.答案261.2米三、解答題(本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在區(qū)間(－∞，＋∞)上有極大值eq\f(28,3).(1)求實數(shù)m的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)的微小值．解f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.故f(x)的增區(qū)間(－∞，－2)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(－2,2)．(1)當(dāng)x＝－2，f(x)取得極大值，故f(－2)＝－eq\f(8,3)＋8＋m＝eq\f(28,3)，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，又當(dāng)x＝2時，f(x)有微小值f(2)＝－eq\f(4,3).18．(12分)用總長為14.8米的鋼條制成一個長方體容器的框架，假如所制的容器的底面的長比寬多0.5米，那么高為多少時容器的容器最大？并求出它的最大容積．解設(shè)容器底面寬為xm，則長為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3.2－2x>0，,x>0，))解得0<x<1.6，設(shè)容器的容積為ym3，則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1，或x＝－eq\f(4,15)(舍去)．∵在定義域(0,1.6)內(nèi)只有一個點x＝1使y′＝0，且x＝1是極大值點，∴當(dāng)x＝1時，y取得最大值為1.8.此時容器的高為3.2－2＝1.2m因此，容器高為1.2m時容器的容積最大，最大容積為1.819．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時，求證：f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[1,3]時，若f(x)的最小值為4，求實數(shù)a的值．解(1)證明：當(dāng)a＝1時，f(x)＝2x3－6x2＋6x，則f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，∴f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)．(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a①當(dāng)a≤1時，f(x)在區(qū)間[1,3]上是單調(diào)增函數(shù)，此時在[1,3]上的最小值為f(1)＝3a∴3a－1＝4，∴a＝eq\f(5,3)>1(舍去)；②當(dāng)1<a<3時，f(x)在(1，a)上是減函數(shù)，在區(qū)間(a,3)上是增函數(shù)，故在[1,3]上的最小值為f(a)＝2a3－3(a＋1)a2＋6a2＝4.化簡得(a＋1)(a－2)2＝0，∴a＝－1<1(舍去)，或③當(dāng)a≥3時，f(x)在區(qū)間(1，a)上是減函數(shù)，故f(3)為最小值，∴54－27(a＋1)＋18a解得a＝eq\f(22,9)<3(舍去)．綜上可知，a＝2.20．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩根分別為1,4.(1)當(dāng)a＝3，且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍．解由f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根分別為1,4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋c－9＝0，,16a＋8b＋c－36＝0，))(*)(1)當(dāng)a＝3時，由(*)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c－6＝0，,8b＋c＋12＝0，))解得b＝－3，c＝12.又∵曲線y＝f(x)過原點，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點”，等價于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝9a－1a－9≤0，))得a∈[1,9]，即a的取值范圍是[1,9]．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2的圖象經(jīng)過點M(1,4)，曲線在點M處的切線恰好與直線x＋9y＝0垂直．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．解(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的圖象經(jīng)過點M(1,4)，∴a＋b＝4.①又f′(x)＝3ax2＋2bx，則f′(1)＝3a＋2b，由條件f′(1)(－eq\f(1,9))＝－1，得3a＋2b＝9.由①，②解得a＝1，b＝3.(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞增，則[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3，∴m的取值范圍是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范圍；(2)證明：(x－1)f(x)≥0.解(1)f′(x)＝eq\f(x＋1,x)＋lnx－1＝lnx＋eq\f(1,x)，xf′(x)＝xlnx＋1，題設(shè)xf′(x)≤x2＋ax＋1等價于lnx－x≤a.令