《高考導航》2022屆新課標數(shù)學(理)一輪復習講義-專題講座五-實際應用性問題

專題講座五實際應用性問題數(shù)學應用題是指利用數(shù)學學問解決其他領域中的問題，高考命題堅持“貼近課本、貼近生活、貼近實際”的原則，要求考生一方面要牢固把握基礎學問、基本技能和基本方法；另一方面要擅長把文字語言轉(zhuǎn)譯成數(shù)學語言，實現(xiàn)由實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化．函數(shù)、不等式應用題函數(shù)應用題經(jīng)常涉及路程、物價、產(chǎn)量等實際問題，也可涉及長度、角度、面積、體積等幾何量，解答這類問題一般要列出有關解析式，然后用函數(shù)、方程、不等式等學問解決．(2021·深圳模擬)某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出；當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．(1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？(2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？[解](1)租金增加了600元，所以未租出的車有12輛，一共租出了88輛．(2)設每輛車的月租金為x元(x≥3000)，租賃公司的月收益為y元，則y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))－eq\f(x－3000,50)×50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))×150＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050，所以當x＝4050時，ymax＝307050.即每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大為307050元．[規(guī)律方法]在解決此類問題時需留意：一要過“閱讀”關，讀懂題目，能夠概括出問題所涉及的內(nèi)容；二要過“理解關”，精確?????理解和把握這些變量之間的關系；三要過“建模關”，在前兩步的基礎上，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型；四要過“解題關”，通過解決數(shù)學問題得出實際問題的結論．數(shù)列應用題數(shù)列應用題，經(jīng)常涉及到與增長率有關的實際問題以及已知前幾個量的歸納推理問題，需要運用等差、等比數(shù)列學問解決．(2021·廣東廣州模擬)流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染?。呈薪衲?月份曾發(fā)生流感．據(jù)資料統(tǒng)計，4月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于該市醫(yī)療部門實行措施，使該種病毒的傳播得到把握．從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者削減30人，到4月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共有8670人．問4月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．[解]設從4月1日起第n(n∈N*，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人數(shù)最多，則從4月1日到第n日止，每日新患者人數(shù)依次構成一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列的首項為20，公差為50，前n日的患者總人數(shù)即該數(shù)列前n項之和Sn＝20n＋eq\f(n（n－1）,2)·50＝25n2－5n.從第n＋1日開頭，至4月30日止，每日的新患者人數(shù)依次構成另一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列的首項為[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60，公差為－30，項數(shù)為(30－n)，(30－n)日的患者總人數(shù)為T30－n＝(30－n)(50n－60)＋eq\f(（30－n）（29－n）,2)(－30)＝(30－n)(65n－495)＝－65n2＋2445n－14850.依題意，Sn＋T30－n＝8670，即(25n2－5n)＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670.化簡得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49.∵1≤n≤30，∴n＝12.第12日的新患者人數(shù)為20＋(12－1)×50＝570.∴4月12日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，且這一天的新患者為570人．[規(guī)律方法]本題主要考查了等差數(shù)列的概念和公式，考查了閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學模型的力氣以及應用所學學問分析和解決實際問題的力氣．概率應用題概率應用題主要考查古典概型、幾何概型、互斥大事的概率．在考查概率時，還與二項分布及離散型隨機變量的期望與方差結合．(2021·北京豐臺模擬)年齡在60歲(含60歲)以上的人稱為老齡人，某地區(qū)老齡人共有35萬，隨機調(diào)查了該地區(qū)700名老齡人的健康狀況，結果如下表：健康指數(shù)210－160歲至79歲的人數(shù)250260652580歲及以上的人數(shù)20452015其中健康指數(shù)的含義是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能夠自理”，－1表示“生活不能自理”．(1)估量該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率；(2)若一個地區(qū)老齡人健康指數(shù)的平均值不小于1.2，則該地區(qū)可被評為“老齡健康地區(qū)”．請寫出該地區(qū)老齡人健康指數(shù)X的分布列，并推斷該地區(qū)能否被評為“老齡健康地區(qū)”．[解](1)該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為eq\f(250＋260＋65,250＋260＋65＋25)＝eq\f(23,24)，所以該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為eq\f(23,24).(2)該地區(qū)老齡人健康指數(shù)X的可能取值為2，1，0，－1，其分布列為(用頻率估量概率)：X210－1Peq\f(270,700)eq\f(305,700)eq\f(85,700)eq\f(40,700)E(X)＝2×eq\f(270,700)＋1×eq\f(305,700)＋0×eq\f(85,700)＋(－1)×eq\f(40,700)＝1.15，由于E(X)＜1.2，所以該地區(qū)不能被評為“老齡健康地區(qū)”．[規(guī)律方法]解決此類問題，首先應認真地分析題意，當概率分布不是一些熟知的類型時，應全面地剖析各個隨機變量所包含的各種大事，并精確?????推斷各大事的相互關系，從而求出各隨機變量相應的概率，再利用隨機變量均值公式求出均值．1．(2021·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接2021年3月29日在鄭州進行的“中國鄭開國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動．抽獎盒中裝有六個大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“秀麗綠城行”兩種標志．搖勻后，參與者每次從盒中同時抽取兩個小球(取出后不再放回)，若抽到的兩個球都印有“鄭開馬拉松”標志即可獲獎，并停止取球；否則連續(xù)抽?。谝淮稳∏蚓统橹蝎@一等獎，其次次取球抽中獲二等獎，第三次取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎．活動開頭后，一位參與者問：“盒中有幾個印有‘鄭開馬拉松’的小球？”主持人說：“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是‘秀麗綠城行’標志的概率是eq\f(4,5).”(1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù)；(2)若用η表示這位參與者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．解：(1)設印有“秀麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“秀麗綠城行”標志為大事A，則同時抽取兩球都是“秀麗綠城行”標志的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,6))，由對立大事的概率：P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(4,5)，即P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，解得n＝3.故盒中印有“鄭開馬拉松”的小球有3個．(2)由已知，兩種球各三個，故η的可能取值分別為1，2，3，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))·eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＋eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,6))·eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,5)，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝eq\f(3,5).則η的分布列為：η123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,5)所以E(η)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).2．(2021·東北四市聯(lián)考)在海島A上有一座海拔1km的山峰，山頂設有一個觀看站P.有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午11∶00時，測得此船在島北偏東15°、俯角為30°的B處，到11∶10時，又測得該船在島北偏西45°，俯角為60°的C處．(1)求船的航行速度；(2)求船從B到C的行駛過程中與觀看站P的最短距離．解：(1)設船速為xkm/h，則BC＝eq\f(x,6)km.在Rt△PAB中，∠PBA與俯角相等為30°，∴AB＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3).同理，在Rt△PCA中，AC＝eq\f(1,tan60°)＝eq\f(\r(3),3).在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC＝eq\r(（\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)－2×\r(3)×\f(\r(3),3)cos60°)＝eq\f(\r(21),3)，∴x＝6×eq\f(\r(21),3)＝2eq\r(21)(km/h)，∴船的航行速度為2eq\r(21)km/h.(2)法一：作AD⊥BC于點D(圖略)，∴當船行駛到點D時，AD最小，從而PD最?。藭r，AD＝eq\f(AB·AC·sin60°,BC)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),3))＝eq\f(3,14)eq\r(7).∴PD＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,14)\r(7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(259),14).∴船在行駛過程中與觀看站P的最短距離為eq\f(\r(259),14)km.法二：由(1)知在△ACB中，由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin60°)，∴sinB＝eq\f(\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),3))＝eq\f(\r(21),14).作AD⊥BC于點D(圖略)，∴當船行駛到點D時，AD最小，從而PD最?。藭r，AD＝ABsinB＝eq\r(3)×eq\f(\r(21),14)＝eq\f(3,14)eq\r(7).∴PD＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,14)\r(7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(259),14).∴船在行駛過程中與觀看站P的最短距離為eq\f(\r(259),14)km.3．(2021·福建福州模擬)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應削減2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司打算明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣揚費用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動宣揚費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．解：(1)設每件定價為t元，依題意，有(8－eq\f(t－25,1)×0.2)t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．(2)依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等價于x＞25時，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解，∵eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x≥2eq\r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(當且僅當x＝30時，等號成立)，∴a≥10.2.∴當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．4．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年投入各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設f(n)表示前n年的純收入(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)．(1)從第幾年開頭獵取純利潤？(2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．問哪種方案較合算？解：由題意知，每年投入的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列．則f(n)＝50n－[12n＋eq\f(n（n