【全程復(fù)習(xí)方略】2022屆高考數(shù)學(xué)(文科人教A版)大一輪課時(shí)作業(yè)：8.6-雙曲線(xiàn)-

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C.2 D.【解析】選A.由于|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|≥6(c-a),故8a≥6c,即e=4.(2021·馬鞍山模擬)以雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的中心O(坐標(biāo)原點(diǎn))為圓心,焦距為直徑的圓與雙曲線(xiàn)交于M點(diǎn)(第一象限),F1A.3-1 B.3 C.3+1 D.2【解析】選C.由題意M的坐標(biāo)為c2,3c2,代入雙曲線(xiàn)方程可得c24a2-3c25.設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a,且△A.2 B.32 C.3 D.【解析】選C.不妨設(shè)P是雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn),依據(jù)定義可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且c>a,所以△PF1F2的最小內(nèi)角為∠PF1F2=30°,依據(jù)余弦定理可得cos∠PF1F2=(4a)2【方法技巧】雙曲線(xiàn)離心率的求解方法(1)直接法:利用已知條件直接求出a,c的值,再利用離心率公式直接求解.(2)利用漸近線(xiàn)方程:利用離心率與漸近線(xiàn)斜率之間的關(guān)系e=QUOTE1+ba2求解.(3)利用關(guān)于a,c的齊次式:利用已知條件,查找a與c的關(guān)系式,然后求解.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2021·成都模擬)已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B都在某雙曲線(xiàn)上,且A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線(xiàn)的焦距三等分,則此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】易知圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),(0,-3),由于圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B都在某雙曲線(xiàn)上,所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上,且a=3,又A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線(xiàn)的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.答案:=17.已知F是雙曲線(xiàn)x24-y2【解析】由于A(yíng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的兩支之間,且雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為F′(4,0),于是由雙曲線(xiàn)的定義得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F′三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),等號(hào)成立.答案:9【方法技巧】與雙曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題的求法與雙曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題,經(jīng)常借助于雙曲線(xiàn)的定義,將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之和求最值,然后再借助于平面幾何的性質(zhì)求解.8.過(guò)已知雙曲線(xiàn)=1(b>0)的左焦點(diǎn)F1作☉O:x2+y2=4的兩條切線(xiàn),記切點(diǎn)為A,B,雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為C,若∠ACB=120°,則雙曲線(xiàn)的離心率為.【解析】如圖,由于∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2,所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°所以e==2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.過(guò)雙曲線(xiàn)=1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1為左焦點(diǎn).(1)求|AB|.(2)求△AOB的面積.【解析】(1)由雙曲線(xiàn)的方程得a=,b=,所以c==3,F1(-3,0),F2(3,0).直線(xiàn)AB的方程為y=(x-3).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|(2)直線(xiàn)AB的方程變形為x-3y-3=0.所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為d=所以S△AOB=|AB|·d=××=10.已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線(xiàn)C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)C2的方程.(2)若直線(xiàn)l:y=kx+與雙曲線(xiàn)C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且OA→·O【解析】(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C2的方程為=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C2交于不同的兩點(diǎn),得所以k2≠且k2<1.①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,所以O(shè)A→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=又由OA→·O>2,解得<k2<3,②由①②得,<k2<1.故k的取值范圍為(-1,-)∪(,1).(20分鐘40分)1.(5分)(2022·南平模擬)如圖,F1,F2分別是雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),B是虛軸的端點(diǎn),直線(xiàn)F1B與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于P,Q兩點(diǎn),線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M,若|MF2A.233B.62C.【解析】選B.由y=bay=bcc-a,即Q由y=-bax,y=b即P-ac設(shè)PQ的中點(diǎn)為N,則Na2而M(3c,0).所以kMN·bc=-1,即bc2整理得2c3=3a2c,即e2=32,解得e=6【一題多解】本題還可以用如下方法求解:直線(xiàn)BF1的方程為y=bc由y=bc由y=bc從而N點(diǎn)坐標(biāo)為a2cb2,c2又M(3c,0),則c+a2cb2=3c,得a2=2b【加固訓(xùn)練】已知雙曲線(xiàn)mx2-ny2=1(m>0,n>0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=1的離心率為()【解析】選B.由已知雙曲線(xiàn)的離心率為2,得:=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,所以m>n,即故由橢圓mx2+ny2=1得所以所求橢圓的離心率為:e=2.(5分)設(shè)雙曲線(xiàn)C的中心為點(diǎn)O,若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O,所成的角為60°的直線(xiàn)A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對(duì)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的交點(diǎn),則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是()A.(,2] B.[,2)C.(,+∞) D.[,+∞)【解析】選A.設(shè)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上,則由作圖易知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率ba必需滿(mǎn)足33<ba≤3,所以13<ba2≤3,43<1+ba2≤4,即有233<【誤區(qū)警示】本題極易漏掉其緣由是對(duì)問(wèn)題考慮不全,造成漏解.【方法技巧】雙曲線(xiàn)離心率取值范圍的驗(yàn)證技巧已知雙曲線(xiàn)=1(a>0,b>0).則:(1)當(dāng)a>b>0時(shí),雙曲線(xiàn)的離心率滿(mǎn)足1<e<.(2)當(dāng)a=b>0時(shí),e=(亦稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)).(3)當(dāng)b>a>0時(shí),e>.3.(5分)(2021·濟(jì)南模擬)已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3,A,B為左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C在第一象限的任意一點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線(xiàn)PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3,記m=k1k【解析】由于雙曲線(xiàn)C:x2a2-y所以e=ca=3,所以b=c2-所以x2a2-y2b2=1,即x2a2-y22a2=1,由于A(yíng),B為左、右頂點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3又由于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為y=±2x,所以0<k3<2,所以0<m=k1k2k3<22.答案:(0,22)4.(12分)設(shè)A,B分別為雙曲線(xiàn)=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程.(2)已知直線(xiàn)y=x-2與雙曲線(xiàn)的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線(xiàn)的右支上存在點(diǎn)D,使OM→+ON→【解析】(1)由題意知a=所以一條漸近線(xiàn)為y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以雙曲線(xiàn)的方程為=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程得x2-16x+84=0,則x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)雙曲線(xiàn)x2a2-y2b(1)求雙曲線(xiàn)的方程.(2)若B1是雙曲線(xiàn)虛軸在y軸正半軸上的端點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)M,N,求時(shí),直線(xiàn)MN的方程.【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)AB:xa-y所以所以雙曲線(xiàn)方程為x23-(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),易知直線(xiàn)MN的斜率存在.設(shè)直線(xiàn)MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①所以x1+x2=6kk2-3,y1+y2=k(x1+xx1x2=18k2-3,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1由于=(x1,y1-3),=(x2,y2-3),·=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即18k2-3解得k2=5,所以k=±5代入①有解,所以lMN:y=±5x-3.【加固訓(xùn)練】雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線(xiàn)分別為l1,l2,經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線(xiàn)分別交l1,l2于A(yíng),B兩點(diǎn).已知|OA→|,|AB→|,|OB(