【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第8章-第4節(jié)-橢圓

第八章第四節(jié)一、選擇題1．(文)(2022·長(zhǎng)春模擬)橢圓x2＋4y2＝1的離心率為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(2,3)[答案]A[解析]先將x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，則a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2).離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(理)若P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，tan∠PF1F2＝eq\f(1,2)，則此橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(5),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[答案]A[解析]在Rt△PF1F2中，不妨設(shè)|PF2|＝1，則|PF1|＝2.|F1F2|＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(5),3).2．(文)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，始終線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為()A．32 B．16C．8 D．4[答案]B[解析]由題設(shè)條件知△ABF2的周長(zhǎng)為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a(理)(2021·浙江紹興一模)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于()A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)[答案]B[解析]連接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8.如圖，|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.故選B．3．(文)(2022·佛山月考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A．1 B．eq\f(8,3)C．2eq\r(3) D．eq\f(2\r(6),3)[答案]D[解析]由題意知，c2＝a2－b2＝4－1＝3，點(diǎn)P即為圓x2＋y2＝3與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1在第一象限的交點(diǎn)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為eq\f(2\r(6),3).(理)F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[答案]A[解析]∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q為AF1的中點(diǎn)，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝eq\f(1,2)|AF2|＝eq\f(1,2)(|PA|＋|PF2|)＝a，∴Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓．4．(2022·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點(diǎn)，若△F1F2P為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)－1C．eq\r(2)－1或eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),4)[答案]C[解析]當(dāng)∠F1PF2為直角時(shí)，P為橢圓短軸端點(diǎn)，∴b＝c，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2)；當(dāng)∠F1F2P或∠F2F1P為直角時(shí)，eq\f(b2,a)＝2c，∴b2＝2ac，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，∴e＝eq\r(2)－1.5．(文)(2021·煙臺(tái)質(zhì)檢)一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為()A．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]A[解析]設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由點(diǎn)(2，eq\r(3))在橢圓上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.(理)(2021·新課標(biāo)Ⅰ理，10)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1[答案]D[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A、B在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.))兩式相減得，eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),b2)，即eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y2－y1y2＋y1,b2)，∵AB的中點(diǎn)為(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(b2,a2)，又∵k＝eq\f(－1－0,1－3)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，故選D．6．(2022·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，∠F1PF2＝α，且當(dāng)α＝eq\f(2π,3)時(shí)，△F1PF2的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,14)＋eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1[答案]A[解析]∵|F1F2|為定值，∴當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，S△F1PF2∵∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，∴∠PF1F2＝eq\f(π,6)，∴taneq\f(π,6)＝eq\f(b,c)，∵c＝3，∴b＝eq\r(3)，∴a2＝b2＋c2＝12，橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.二、填空題7．(2021·池州二模)已知點(diǎn)M(eq\r(3)，0)，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1與直線y＝k(x＋eq\r(3))交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長(zhǎng)為________．[答案]8[解析]M(eq\r(3)，0)與F(－eq\r(3)，0)是橢圓的焦點(diǎn)，則直線AB過橢圓左焦點(diǎn)F(－eq\r(3)，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周長(zhǎng)等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.8．已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的面積為πab，M包含于平面區(qū)域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤2，,|y|≤\r(3).))內(nèi)，向Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓M內(nèi)的概率為eq\f(π,4)，則橢圓M的方程為________．[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]平面區(qū)域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤2，,|y|≤\r(3).))是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示，依題意及幾何概型，可得eq\f(πab,8\r(3))＝eq\f(π,4)，即ab＝2eq\r(3).由于0<a≤2,0<b≤eq\r(3)，所以a＝2，b＝eq\r(3).所以，橢圓M的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.9．(2022·山東濟(jì)南二模)若橢圓C1：eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和橢圓C2：eq\f(x2,a\o\al(2,2))＋eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>b2>0)的焦點(diǎn)相同且a1>a2.給出以下四個(gè)結(jié)論：①橢圓C1和橢圓C2確定沒有公共點(diǎn)；②eq\f(a1,a2)>eq\f(b1,b2)；③aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)；④a1－a2<b1－b2.其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是________．[答案]①③④[解析]由于兩橢圓焦點(diǎn)相同，且a1>a2，故b1>b2，因此兩橢圓必?zé)o公共點(diǎn)，即命題①為真命題；又由于兩橢圓焦點(diǎn)相同，a1>a2，aeq\o\al(2,1)beq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,1)(aeq\o\al(2,2)－c2)<aeq\o\al(2,2)(aeq\o\al(2,1)－c2)＝aeq\o\al(2,2)beq\o\al(2,1)，故eq\f(a1,a2)<eq\f(b1,b2)，即命題②為假命題；由焦點(diǎn)相同得aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)，故aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，即命題③為真命題；由于aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，即(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)?eq\f(a1－a2,b1－b2)＝eq\f(b1＋b2,a1＋a2)<1，故有a1－a2<b1－b2，即命題④為真命題，綜上①③④為真命題．三、解答題10．(文)橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，且橢圓過點(diǎn)M(1，－eq\f(\r(3),2))．(1)求橢圓方程；(2)過點(diǎn)N(－eq\f(6,5)，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試推斷∠PAQ的大小是否為定值，并說明理由．[解析](1)設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意c＝eq\r(3)，且橢圓過點(diǎn)M(1，－eq\f(\r(3),2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)直線PQ：x＝ty－eq\f(6,5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1.))消去x得，(t2＋4)y2－eq\f(12,5)ty－eq\f(64,25)＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴y1y2＝－eq\f(64,25t2＋4)，y1＋y2＝eq\f(12t,5t2＋4)，又A(－2,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋eq\f(4,5))(ty2＋eq\f(4,5))＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋eq\f(4,5)t(y1＋y2)＋eq\f(16,25)＝0，∴∠PAQ＝eq\f(π,2)(定值)．(理)(2022·安徽合肥三校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2)，且橢圓經(jīng)過圓C：x2＋y2－4x＋2eq\r(2)y＝0的圓心C．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程．[解析](1)圓C方程化為(x－2)2＋(y＋eq\r(2))2＝6，圓心C(2，－eq\r(2))，半徑r＝eq\r(6).設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,1－\f(b,a)2＝\f(\r(2),2)2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的方程是eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，∵|F2C|＝eq\r(2－22＋0＋\r(2)2)＝eq\r(2)<eq\r(6).∴F2在圓C內(nèi)，故過F2沒有圓C的切線．設(shè)l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，點(diǎn)C(2，－eq\r(2))到直線l的距離為d＝eq\f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(6)，化簡(jiǎn)得5k2＋4eq\r(2)k－2＝0，解得k＝eq\f(\r(2),5)或k＝－eq\r(2).故l的方程為eq\r(2)x－5eq\r(y)＋2eq\r(2)＝0或eq\r(2)x＋y＋2eq\r(2)＝0.一、選擇題11．(2021·荊州市質(zhì)檢)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為()A．eq\r(2) B．eq\f(\r(7),2)C．2 D．eq\f(7,4)[答案]A[解析]由于e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2c，由a2＝b2＋c2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，x1＋x2＝－eq\f(2b,a)＝－eq\r(3)，x1x2＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)(0,0)的距離d＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2))＝eq\r(x1＋x22－2x1x2)＝eq\r(2).12．(文)(2022·陜西西工大附中適應(yīng)性訓(xùn)練)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連線AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，則橢圓C的離心率e為()A．eq\f(5,7) B．eq\f(4,5)C．eq\f(4,7) D．eq\f(5,6)[答案]A[解析]在△ABF中，由|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，得|BF|＝8，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由對(duì)稱性知，|AE|＝8，且△AEF為直角三角形，|EF|＝10，∴2a＝|AF|＋|AE|＝14.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(10,14)＝eq\f(5,7).(理)(2022·包頭三十三中期末)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則該橢圓的離心率的取值范圍為()A．(0，eq\r(2)－1) B．(eq\f(\r(2),2)，1)C．(0，eq\f(\r(2),2)) D．(eq\r(2)－1,1)[答案]D[解析]依據(jù)正弦定理得eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)，所以由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)可得eq\f(a,|PF2|)＝eq\f(c,|PF1|)，即eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a,e＋1).由于a－c<|PF2|<a＋c(不等式兩邊不能取等號(hào)，否則分式中的分母為0，無意義)，所以a－c<eq\f(2a,e＋1)<a＋c，即1－eq\f(c,a)<eq\f(2,e＋1)<1＋eq\f(c,a)，所以1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e1＋e<2，,2<1＋e2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e2<2，,\r(2)<1＋e，))解得e>eq\r(2)－1.又由于e<1，所以eq\r(2)－1<e<1，即e∈(eq\r(2)－1,1)，選D．13．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，且與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，則該橢圓的方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 D．x2＋eq\f(y2,3)＝1[答案]A[解析]拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則依題意知橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，∴a＝2，c＝eq\r(2)，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.14．(文)(2022·湖南六校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與F1A的延長(zhǎng)線、F1F2的延長(zhǎng)線以及線段AF2相切，若M(t,0)為一個(gè)切點(diǎn)，則()A．t＝2B．t>2C．t<2D．t與2的大小關(guān)系不確定[答案]A[解析]如圖，P，Q分別是圓C與F1A的延長(zhǎng)線、線段AF2相切的切點(diǎn)，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝(理)設(shè)F是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左焦點(diǎn)，且橢圓上有2022個(gè)不同的點(diǎn)Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2022)，且線段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2022|的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，若|FP1|＝2，|FP2022|＝8，則點(diǎn)P2021的橫坐標(biāo)為()A．eq\f(2021,2022) B．eq\f(1007,201)C．eq\f(2021,403) D．eq\f(2021,403)[答案]C[解析]∵橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2022|＝8＝a＋c，可知點(diǎn)P1為橢圓的左頂點(diǎn)，P2022為橢圓的右頂點(diǎn)，即x1＝－5，x2022＝5＝－5＋2021d，∴d＝eq\f(2,403)，則數(shù)列{xi}是以－5為首項(xiàng)，eq\f(2,403)為公差的等差數(shù)列，∴x2021＝－5＋2022×eq\f(2,403)＝eq\f(2021,403).二、填空題15．(文)假如AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的值為________．[答案]e2－1[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)，由點(diǎn)差法，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，作差得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y2－y1y2＋y1,b2)，∴kAB·kOM＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(－b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1.(理)以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點(diǎn)M、N，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，且直線MF1與此圓相切，則橢圓的離心率e等于________．[答案]eq\r(3)－1[解析]由題意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝eq\r(3)c，由橢圓的定義，|MF1|＋|MF2|＝2a∴eq\r(3)c＋c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.16．(2021·蘇北四市聯(lián)考)已知兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|＋|PN|＝4，則該直線為“A型直線”．給出下列直線，其中是“A型直線”的是________(填序號(hào))．①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.[答案]①④[解析]由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，①把y＝x＋1代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴y＝x＋1是“A型直線”．②把y＝2代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得eq\f(x2,4)＝－eq\f(1,3)不成立，直線與橢圓無交點(diǎn)，∴y＝2不是“A型直線”．③把y＝－x＋3代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直線”．④把y＝－2x＋3代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直線”．三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)，且點(diǎn)P(0,1)在C1上．(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程．[解析](1)由于橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)，所以c＝1，將點(diǎn)P(0,1)代入橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(1,b2)＝1，即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，所以橢圓C1的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)直線l的斜率明顯存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由于直線l與橢圓C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m整理得2k2－m2＋1＝0，①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋m，))消去y并整理得，k2x2＋(2km－4)x＋m2由于直線l與拋物線C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2整理得km＝1，②綜合①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(2),2)，,m＝\r(2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(\r(2),2)，,m＝－\r(2).))所以直線l的方程為y＝eq\f(\r(2),2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\f(\r(2),2)x－eq\r(2).18．(文)(2022·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為eq\r(3).(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：x＝my＋q(m≠0)與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長(zhǎng)軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1，試求A1，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線的充要條件．[解析](1)設(shè)橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由題意知a＝2c，bc＝eq\r(3)，所以a＝2，b＝eq\r(3)，橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋q，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))?(3m2＋4)y2＋6mqy＋(3q2－12)＝0，由Δ＝12[3m2q2－(3m2＋4)(q2－4)]＝48(3m2＋4－q2)>0，得記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A1(x1，－y1)，y1＋y2＝eq\f(－6mq,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(3q2－12,3m2＋4)，由于F(1,0)，所以eq\o(FA1,\s\up6(→))＝(x1－1，－y1)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，故A1，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，∴eq\o(FA1,\s\up6(→))∥eq\o(FB,\s\up6(→))，∴(x1－1)y2