《狀元之路》2022屆高考數(shù)學理新課標A版一輪總復(fù)習：必修部分-開卷速查12-函數(shù)模型及其應(yīng)用

開卷速查(十二)函數(shù)模型及其應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固練1．往外埠投寄平信，每封信不超過20g，付郵費0.80元，超過20g而不超過40g，付郵費1.60元，依此類推，每增加20g需增加郵費0.80元(信的質(zhì)量在100g以內(nèi))．假如某人所寄一封信的質(zhì)量為72.5g，那么他應(yīng)付郵費()A．3.20元 B．2.90元C．2.80元 D.2.40元解析：由題意得20×3＜72.5＜20×4，則應(yīng)付郵費0.80×4＝3.20(元)．故選A.答案：A2．在某個物理試驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B.y＝x2－1C．y＝2x－2D.y＝log2x解析：依據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排解A；依據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排解B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.答案：D3．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a＞0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從動身到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖像為()解析：留意到y(tǒng)為“小王從動身到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案D.答案：D4．[2022·北京]加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次試驗的數(shù)據(jù)．依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A．3.50分鐘B.3.75分鐘C．4.00分鐘D.4.25分鐘解析：由試驗數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)p＝at2＋bt＋c的圖像過點(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分別代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以當t＝3.75分鐘時，可食用率p最大．故選B.答案：B5．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝aent，假設(shè)5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，則m的值為()A．8 B.10C．12 D.15解析：由已知條件可得ae5n＝eq\f(a,2)，e5n＝eq\f(1,2).由aent＝eq\f(a,8)，得ent＝eq\f(1,8)，所以t＝15，m＝15－5＝10.答案：B6．國家規(guī)定個人稿費納稅方法：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿費的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應(yīng)得稿費(扣稅前)為()A．2800元B.3000元C．3800元D.3818元解析：設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0x≤800，,x－800×14%800＜x≤4000，,11%·xx＞4000.))假如稿費為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費應(yīng)在800～4000元之間，∴(x－800)×14%＝420.∴x＝3800(元).答案：C7．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k＝__________，經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖為__________個．解析：當t＝0.5時，y＝2，∴2＝eeq\f(1,2)k，∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2，當t＝5時，∴y＝e10ln2＝210＝1024.答案：2ln210248．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了______km.解析：設(shè)出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8.))由y＝22.6，解得x＝9.答案：99．如圖，書的一頁的面積為600cm2，設(shè)計要求書面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁書的長、寬應(yīng)分別為__________．解析：設(shè)長為acm，寬為bcm，則ab＝600，則中間文字部分的面積S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，當且僅當2a＝3b，即a＝30，b＝20時，S最大＝486.答案：30cm、20cm10．有一種新型的洗衣液，去污速度特殊快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個單位的洗衣液在確定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－x)－10≤x≤4，,7－\f(1,2)x4＜x≤14.))若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．依據(jù)閱歷，當水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k個單位的洗衣液，兩分鐘時水中洗衣液的濃度為3(克/升)，求k的值；(2)若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？解析：(1)由題意知keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－2)－1))＝3，得k＝1.(2)由于k＝4，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(96,8－x)－40≤x≤4，,28－2x4＜x≤14，))則當0≤x≤4時，由eq\f(96,8－x)－4≥4，解得8＞x≥－4，所以此時0≤x≤4.當4＜x≤14時，由28－2x≥4，解得x≤12，所以此時4＜x≤12.綜上可知0≤x≤12，若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達12分鐘．B級力氣提升練11．甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時可獲得的利潤是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)當選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．解析：(1)證明：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時間是eq\f(a,x)小時，∵每一小時可獲得的利潤是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元，∴獲得的利潤為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))×eq\f(a,x)元．因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))元．(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))元，1≤x≤10.設(shè)f(x)＝－eq\f(3,x2)＋eq\f(1,x)＋5,1≤x≤10.則f(x)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋eq\f(1,12)＋5，當且僅當x＝6取得最大值．故獲得最大利潤為90000×eq\f(61,12)＝457500元．因此甲廠應(yīng)以6千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457500元．12．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：萬元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C＝3＋x，每日的銷售額S(單位：萬元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(k,x－8)＋5,0＜x＜6，,14,x≥6，)))已知每日的利潤L＝S－C，且當x＝2時，L＝3.(1)求k的值；(2)當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．解析：(1)由題意可得：L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(k,x－8)＋2，0＜x＜6，,11－x，x≥6，))由于x＝2時，L＝3，所以3＝2×2＋eq\f(k,2－8)＋2，解得k＝1