【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第七章-立體幾何7-7-1-

第一課時(shí)證明平行與垂直時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．已知直線l1的方向向量a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量是b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a·b＝0，則x＋y的值是()A．－3或1 B．3或－1C．－3 D．1解析由題意知|a|＝eq\r(22＋42＋x2)＝6，得x＝±4，由a·b＝4＋4y＋2x＝0得x＝－2y－2，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝－3，所以x＋y＝1.當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝1，所以x＋y＝－3，綜上x＋y＝－3或1.答案A2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))共面．則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)．答案D3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三點(diǎn)，向量n＝(1,1,1)，則以n為方向向量的直線l與平面ABC的關(guān)系是()A．垂直 B．不垂直C．平行 D．以上都有可能解析易知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝－1×1＋1×1＋0＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))⊥n，eq\o(AC,\s\up6(→))⊥n，即AB⊥l，AC⊥l，又AB與AC是平面ABC內(nèi)兩相交直線，∴l(xiāng)⊥平面ABC.答案A4．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．則AM與PM的位置關(guān)系為()A．平行B．異面C．垂直D．以上都不對(duì)解析以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0，2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(AM,\s\up6(→))，所以AM⊥PM.答案C5．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，則()A．EF至多與A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF與BD1相交D．EF與BD1異面解析以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故選B.答案B6．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))解析設(shè)AC與BD相交于O，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO.又O是正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，∴M為線段EF的中點(diǎn)．在空間坐標(biāo)系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).答案C二、填空題7．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．解析設(shè)平面ABC的法向量為a＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,a·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0，①,4x＋5y＋3z＝0，②))①×3－②得2x＋y＝0，令x＝1，則y＝－2，z＝2，此時(shí)a＝(1，－2,2)，|a|＝eq\r(1＋－22＋22)＝3，所以平面ABC的單位法向量為±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).答案±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))8．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的是________．解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0.∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確．又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，則③正確．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④錯(cuò)誤．答案①②③9．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，假如B1E⊥平面ABF，那么CE與DF解析以D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x,1,1)，B1(1，1,0)，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0?x＋y＝1.答案1三、解答題10．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面EFG.證明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD為正方形，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1，2,0)．∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，設(shè)eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝t＝2.∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→)).又∵eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))不共線，∴eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))共面．∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.11.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面EFH；(2)求證：PD⊥平面AHF；(3)求二面角H－EF－A的大?。饨⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0，0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1,0,0)．(1)證明：∵eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(EH,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→))，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)證明：eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.(3)設(shè)平面HEF的法向量為n＝(x，y，z)，∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(EH,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝y(tǒng)＝0，,n·\o(EH,\s\up6(→))＝x－z＝0，))取n＝(1,0,1)．又∵平面AEF的法向量為m＝(1,0,0)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1＋0＋0,\r(2)×1)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴〈m，n〉＝45°，∴二面角H－EF－A的大小為45°.eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．已知平面ABC，點(diǎn)M是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足條件eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則直線AM()A．與平面ABC平行B．是平面ABC的斜線C．是平面ABC的垂線D．在平面ABC內(nèi)解析由已知得M、A、B、C四點(diǎn)共面，所以AM在平面ABC內(nèi)，選D.答案D2．如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC①A1M∥D1P②A1M∥B1Q③A1M∥平面DCC1D1④A1M∥平面D1PQB1以上正確說法的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，∴A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正確．答案C3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP相互平分，則滿足eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))的實(shí)數(shù)λ有________個(gè)．解析建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，\f(y＋1,2)，1))，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，∴x＋y＝1，即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足x＋y＝1.∴有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P，即對(duì)應(yīng)有2個(gè)λ.答案24．(2021·北京模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點(diǎn)E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PB，PC上的點(diǎn)，且eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ.(1)求證：EF∥平面PAD.(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解(1)證明：由已知，eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ，所以EF∥BC.由于BC∥AD，所以EF∥AD.而EF?平面PAD，AD?平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)由于平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，且PA⊥AC，所以PA⊥平面ABCD.所以PA⊥AB，PA⊥AD.又由于AB⊥AD，所以PA，AB，AD兩兩垂直．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，由于AB＝BC＝1，PA＝AD＝2，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,