2021高考數(shù)學專題測試卷：10-概率

第十章概率(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1.把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，大事“甲分得紅牌”與大事“乙分得紅牌”是(C)A.對立大事B.不行能大事C.互斥但不對立大事D.以上答案都不對由于甲和乙有可能一人得到紅牌，一人得不到紅牌，也有可能甲、乙兩人都得不到紅牌，故兩大事為互斥但不對立大事．2.取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.(2021·赤峰模擬)先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是(D)A.eq\f(1,8)B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8)D.eq\f(7,8)至少一次正面朝上的對立大事的概率為eq\f(1,8)，故P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).4.從{1，2，3，4，5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是(D)A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)全部的基本大事為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15種．其中b>a的基本大事個數(shù)有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3種，故所求概率為eq\f(3,15)，即eq\f(1,5)，故選D.5.從含有4個元素的集合的全部子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率是(D)A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,12)C.eq\f(45,64)D.eq\f(3,8)4個元素的集合共16個子集，其中含有兩個元素的子集有6個，故所求概率為P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).6.某班預(yù)備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，假如下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是(D)A.確定不會淋雨B.淋雨的可能性為eq\f(3,4)C.淋雨的可能性為eq\f(1,2)D.淋雨的可能性為eq\f(1,4)基本大事有“下雨帳篷到”“不下雨帳篷到”“下雨帳篷未到”“不下雨帳篷未到”4種狀況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為eq\f(1,4).7.(2021·湛江一模)在線段AB上任取一點P，以P為頂點，B為焦點作拋物線，則該拋物線的準線與線段AB有交點的概率是(B)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)設(shè)線段AB中點為C，以P為頂點，B為焦點作拋物線，如圖所示．依據(jù)拋物線的對稱性，則點P落在線段CB上時，滿足拋物線的準線與線段AB有交點．因此，大事“拋物線的準線與線段AB有交點”的概率P＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2).8.如圖所示，在半徑為R的圓內(nèi)隨機撒一粒黃豆，它落在圓的內(nèi)接正三角形(陰影部分)內(nèi)的概率是(D)A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(\r(3),4π)D.eq\f(3\r(3),4π)∵S圓＝πR2，S△＝3×eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\f(3\r(3),4)R2，∴所求的概率為eq\f(\f(3\r(3)R2,4),πR2)＝eq\f(3\r(3),4π).9.設(shè)集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分別從集合A和集合B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為大事Cn(2≤n≤5，n∈N)，若大事Cn的概率最大，則n的全部可能值為(D)A.3B.4C.2和5D.3和4點P(a，b)的個數(shù)共有2×3＝6(個)，落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝eq\f(1,6)；落在直線x＋y＝3上的概率P(C3)＝eq\f(2,6)；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝eq\f(2,6)；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝eq\f(1,6)，故選D.10.(2021·江南十校聯(lián)考)第16屆亞運會于2010年11月12日在中國廣州進行，運動會期間從來自A高校的2名志愿者和來自B高校的4名志愿者中隨機抽取2人到體操競賽場館服務(wù)，至少有一名A高校志愿者的概率是(C)A.eq\f(1,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(14,15)記2名來自A高校的志愿者為A1，A2，4名來自B高校的志愿者為B1，B2，B3，B4.從這6名志愿者中選出2名基本大事有：(A1，A2)，(A1，B1)(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15種．其中至少有一名A高校志愿者的大事有9種．故所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).故選C.11.在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，要使得硬幣與方格線不相交的概率小于1%，則方格的邊長(方格邊長設(shè)為a)的取值范圍為(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(10,9)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,10)))硬幣與方格線不相交，則a＞1時，才可能發(fā)生，在每一個方格內(nèi)，當硬幣的圓心落在邊長為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內(nèi)時，硬幣與方格線不相交，故硬幣與方格線不相交的概率P＝eq\f(（a－1）2,a2)，由eq\f(（a－1）2,a2)＜1%，得1＜a＜eq\f(10,9).12.集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|，x∈N}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5，x∈N}，先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得到的點數(shù)記作a，擲其次顆骰子得到的點數(shù)記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等于(B)A.eq\f(1,4)B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,36)D.eq\f(5,36)依據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可知A∩B對應(yīng)的整數(shù)點有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)共8個．現(xiàn)先后拋擲2顆骰子，所得點數(shù)分別有6種，共會毀滅36種結(jié)果．∴滿足(a，b)∈A∩B的概率為eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).二、填空題(每小題5分，共20分)13.在人民商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為__0.74__．P＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.14.(2021·廣東六校聯(lián)考)盒子里共有大小相同的3個白球，1個黑球．若從中隨機摸出兩個球，則它們的顏色不同的概率是__eq\f(1,2)__．設(shè)3個白球為A，B，C，1個黑球為d，則從中隨機摸出兩只球的全部可能狀況有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為eq\f(1,2).15.(2021·溫州測試)將一枚骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為__eq\f(5,12)__．圓心(2，0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當d<eq\r(2)時，直線與圓相交，則由d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，得b>a，滿足題意的b>a共有15種狀況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).16.在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是__eq\f(2,3)__．由題意可知eq\f(VS－APC,VS－ABC)>eq\f(1,3)，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，∴eq\f(VS－APC,VS－ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)>eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，∴eq\f(AP,AB)>eq\f(1,3)，故所求的概率為eq\f(2,3)(即為長度之比)．三、解答題(共70分)17.(10分)射箭競賽的箭靶涂有5個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)分別為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃心”，奧運會的競賽靶面直徑是122cm，靶心直徑12.2cm，運動員在70m外射箭，假設(shè)都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點是等可能的，求射中“黃心”的概率．記“射中黃心”為大事A，由于中靶點隨機的落在面積為eq\f(1,4)π×1222cm2的大圓內(nèi)，而當中靶點在面積為eq\f(1,4)π×12.22cm2的黃心時，大事A發(fā)生，(4分)于是大事A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(\f(1,4)π×12.22,\f(1,4)π×1222)＝0.01，∴射中“黃心”的概率為0.01.(10分)18.(10分)(2021·深圳調(diào)研)一個袋中有4個大小相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取一個．(1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率；(2)假設(shè)取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分數(shù)之和為4分的概率是多少？設(shè)兩個白球分別為白1，白2.(1)連續(xù)取兩次的基本大事有：(紅，紅)，(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑)；(白1，紅)(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16個．(2分)連續(xù)取兩次都是白球的基本大事有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4個，故所求概率為P1＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(5分)(2)連續(xù)取三次的基本大事有：(紅，紅，紅)，(紅，紅，白1)，(紅，紅，白2)，(紅，紅，黑)；(紅，白1，紅)，(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白1，黑)，…，共64個．(7分)∵取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分數(shù)之和為4分的基本大事如下：(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白2，白1)，(紅，白2，白2)，(白1，紅，白1)，(白1，紅，白2)，(白2，紅，白1)，(白2，紅，白2)，(白1，白1，紅)，(白1，白2，紅)，(白2，白1，紅)，(白2，白2，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，共15個，故所求概率為eq\f(15,64).(10分)19.(12分)2022年9月7日云南省昭通市發(fā)生5.7級地震后，某市依據(jù)上級要求，要從本市人民醫(yī)院報名參與救援的護理專家、外科專家、心理治療專家8名志愿者中，各抽調(diào)1名專家組成一個醫(yī)療小組與省專家組一起赴昭通進行醫(yī)療救助，其中A1，A2，A3是護理專家，B1，B2，B3是外科專家，C1，C2是心理治療專家．(1)求A1恰被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．(1)從8名志愿者中選出護理專家、外科專家、心理治療專家各1名，其一切可能的結(jié)果為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個基本大事．(6分)用M表示“A1恰被選中”這一大事，則M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個基本大事．∴P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(8分)(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一大事，則其對立大事N表示“B1和C1全被選中”這一大事，由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個基本大事，∴P(N)＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，(10分)由對立大事的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).(12分)20.(12分)某班同學利用寒假在5個居民小區(qū)內(nèi)選擇兩個小區(qū)逐戶進行一次“低碳生活習慣”的調(diào)查，以計算每戶的碳月排放量．若月排放量符合低碳標準的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”．若小區(qū)內(nèi)有至少75%的住戶屬于“低碳族”，則稱這個小區(qū)為“低碳小區(qū)”，否則稱為“非低碳小區(qū)”．已知備選的5個居民小區(qū)中有3個非低碳小區(qū)，2個低碳小區(qū)．(1)求所選的兩個小區(qū)恰有一個為“非低碳族小區(qū)”的概率；(2)假定選擇的“非低碳小區(qū)”為小區(qū)A，調(diào)查顯示其“低碳族”的比例為eq\f(1,2)，數(shù)據(jù)如圖①所示，經(jīng)過同學們的大力宣揚，三個月后，又進行了一次調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖②所示，問這時小區(qū)A是否達到“低碳小區(qū)”的標準？,①),②)(1)設(shè)三個“非低碳小區(qū)”為A，B，C，兩個“低碳小區(qū)”為m，n，用(x，y)表示選定的兩個小區(qū)，x，y∈{A，B，C，m，n}，(2分)則從5個小區(qū)中任選兩個小區(qū)，全部可能的結(jié)果有10個，它們是(A，B)，(A，C)，(A，m)，(A，n)，(B，C)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)，(m，n)．(5分)用D表示“選出的兩個小區(qū)恰有一個為非低碳小區(qū)”這一大事，則D中的結(jié)果有6個，它們是：(A，m)，(A，n)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)．(7分)故所求概率為P(D)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(8分)(2)由圖①可知碳月排放量不超過300千克的屬于“低碳族”．由圖②可知，三個月后的低碳族的比例為0.07＋0.23＋0.46＝0.76＞0.75，(10分)∴三個月后小區(qū)A達到了“低碳小區(qū)”的標準．(12分)21.(12分)(2021·濟南調(diào)研)已知向量a＝(2，1)，b(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率．(1)設(shè)“a∥b”為大事A，由a∥b，得x＝2y.基本大事空間為Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}，共包含12個基本大事；其中大事A包含2個基本大事：{(0，0)，(2，1)}．則P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，即向量a∥b的概率為eq\f(1,6).(6分)(2)設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為大事B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.基本大事空間為Ω＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,－1≤y≤1))))))，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,－1≤y≤1，,2x＋y＜0，,x≠2y))))))，則由圖可知，P(B)＝eq\f(μB,μΩ)＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×2,3×2)＝eq\f(1,3)，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是eq\f(1,3).(12分)22.(14分)某電視生產(chǎn)廠家今年推出A，B，C，D四種款式的電視機，每種款式電視機的外觀均有黑色、銀白色兩種．該廠家三月份的電視機產(chǎn)量(單位：臺)如下表：A款式B款式C款式D款式黑色150200200x銀白色160180200150若按電視機的款式實行分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的電視機中抽取70臺，其中C款式的