【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第9章-第8節(jié)-用向量方法求角與距離(理)

第九章第八節(jié)一、選擇題1．已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是A.eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝－x，,y＝－x.))令x＝1得，n＝(1，－1，－1)，設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(BC1,\s\up6(→))·n|,|\o(BC1,\s\up6(→))|·|n|)＝eq\f(2,\r(2)·\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(\r(3),3).2．(2022·河北石家莊模擬)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝eq\r(2)，則異面直線AB1和BC1所成角的正弦值為()A．1 B．eq\f(\r(7),7)C.eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]A[解析]設(shè)線段A1B1，AB的中點(diǎn)分別為O，D，則OC1⊥平面ABB1A1，以eq\o(OB1,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(－1,0，eq\r(2))，B1(1,0,0)，B(1,0，eq\r(2))，C1(0，eq\r(3)，0)，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,0，－eq\r(2))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－eq\r(2))，由于eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0，－eq\r(2))·(－1，eq\r(3)，－eq\r(2))＝0，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))，即異面直線AB1和BC1所成角為直角，則其正弦值為1，故選A.3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]解法1：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，設(shè)平面ABC1D1的法向量n＝(x，y,1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－x＋1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0.))∴n＝(1,0,1)，又eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，∴O到平面ABC1D1的距離d＝eq\f(|n·\o(OD1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).解法2：易證A1D⊥平面ABC1D1，∴A1到平面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),2)，∵O為A1C1的中點(diǎn)，∴O到平面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),4).4．(2022·寧夏銀川調(diào)研)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1A.eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]A[解析]方法一：取A1C1的中點(diǎn)E，連接AE，B1E，如圖由題易知B1E⊥平面ACC1A1則∠B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角設(shè)正三棱柱側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)為1，則sin∠B1AE＝eq\f(B1E,AB1)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4).方法二：如圖，以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系E－xyzA(eq\f(1,2)，0,1)，B1(0，eq\f(\r(3),2)，0)，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，－1)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(3),2)，0)．設(shè)AB1與平面ACC1A1所成的角為θ，EB1為平面ACC1A1則sinθ＝|cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(EB1,\s\up6(→))〉|＝|eq\f(\f(3,4),\r(2)×\f(\r(3),2))|＝eq\f(\r(6),4).5．(2022·福建泉州二模)設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)[答案]D[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝2x＋2z＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0.))令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[點(diǎn)評(píng)]可用等積法求解VD1－A1BD＝VB－A1DD1.一、空間的距離1．兩點(diǎn)間的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度．2．點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向直線引垂直相交的直線，點(diǎn)到垂足之間線段的長(zhǎng)度．3．點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)向平面引垂線，點(diǎn)到垂足間線段的長(zhǎng)度．連接平面α外一點(diǎn)與平面α內(nèi)任一點(diǎn)的線段中，垂線段最短．4．平行直線間的距離：從兩條平行線中一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線，這點(diǎn)到垂足間線段的長(zhǎng)度．5．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度．6．直線與平面間的距離：假如一條直線和一個(gè)平面平行，從直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線，這點(diǎn)到垂足間線段的長(zhǎng)度．7．兩平行平面間的距離：兩個(gè)平面的公垂線段的長(zhǎng)度．二、求距離的方法1．綜合幾何方法①找出或作出有關(guān)距離的圖形；②證明它符合定義；③在平面圖形內(nèi)計(jì)算．空間中各種距離的計(jì)算，最終都要轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度，特殊狀況也可以利用等積法．2．向量法(1)求直線到平面的距離設(shè)直線a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，過(guò)A作AC⊥α，垂足為C，則eq\o(AC,\s\up6(→))∥n，∵eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·n＝eq\o(AC,\s\up6(→))·n，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))·n|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|n|.∴直線a到平面α的距離d＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).(2)求兩平行平面間的距離①用公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)求，n為兩平行平面的一個(gè)法向量，A、B分別為兩平面上的任意兩點(diǎn)．②轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距或線面距求解．(3)求點(diǎn)面距時(shí)，平面內(nèi)的點(diǎn)可以任意選取，實(shí)際解題時(shí)選取已知點(diǎn)或易求的點(diǎn)，練習(xí)下題：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離等于A.eq\f(2,3) B．eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(2\r(3),3) D．eq\f(4,3)[答案]D[解析]解法1：設(shè)點(diǎn)C1到平面B1EF的距離h.連接EC1，F(xiàn)C1，由題意得|B1E|＝|B1F|＝eq\r(|B1B|2＋|EB|2)＝eq\r(5)，|EF|＝eq\r(2)，等腰△B1EF底邊EF上的高為：h1＝eq\r(|B1E|2－\f(1,2)|EF|2)＝eq\f(3\r(2),2)，則S△B1EF＝eq\f(1,2)|EF|·h1＝eq\f(3,2)，那么VC1－B1EF＝eq\f(1,3)S△B1EF·h＝eq\f(1,2)h；又VE－B1C1F＝eq\f(1,3)S△B1C1F·|EB|＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×1＝eq\f(2,3)，且VC1－B1EF＝VE－B1C1F，即eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)h，得h＝eq\f(4,3)，選D.解法2：以B1為原點(diǎn)分別以eq\o(B1C1,\s\up6(→))、eq\o(B1A1,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B1(0,0,0)，C1(2,0,0)，E(0,1,2)，F(xiàn)(1,0,2)．設(shè)平面B1EF的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(B1F,\s\up6(→))＝0，,n·\o(B1E,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋2z＝0，,x＋2z＝0.))∴x＝y(tǒng)＝－2z.令z＝1得n＝(－2，－2,1)，又eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，∴C1到平面B1EF的距離h＝eq\f(|n·\o(B1C1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(4,3)，故選D.6．如圖，ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.當(dāng)A1、E、F、C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF所成二面角的余弦值為A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)[答案]B[解析]以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，設(shè)平面A1DE的法向量為n1＝(a，b，c)，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DE,\s\up6(→))＝6a＋3b＝0，,n1·\o(DA1,\s\up6(→))＝6a＋6c＝0，))令a＝－1，則c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)，同理得平面C1DF的一個(gè)法向量為n2＝(2，－1，1)，由題圖知，平面A1DE與平面C1DF所成二面角的余弦值為eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).二、填空題7.(2021·北京理，14)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_(kāi)_______[答案]eq\f(2\r(5),5)[解析]過(guò)E點(diǎn)作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于點(diǎn)E連接D1E1，過(guò)P點(diǎn)作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于點(diǎn)HP點(diǎn)到直線CC1的距離就是C1H，故當(dāng)C1H垂直于D1E1時(shí)，P點(diǎn)到直線CC1距離最小，此時(shí)，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).[點(diǎn)評(píng)]點(diǎn)P到直線CC1距離的最小值就是異面直線D1E與CC1的距離，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，E(1,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，∴eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1,2，－2)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，設(shè)n⊥eq\o(D1E,\s\up6(→))，n⊥eq\o(CC1,\s\up6(→))，n＝(x，y，z)，則n·eq\o(D1E,\s\up6(→))＝x＋2y－2z＝0，n·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝2z＝0，∴z＝0，取y＝－1，則x＝2，∴n＝(2，－1,0)，又eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∴異面直線距離d＝eq\f(|n·\o(CE,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(2\r(5),5).8．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，將菱形沿對(duì)角線AC折成直二面角D′－AC－B，折起后直線AB與CD′之間的距離為_(kāi)_______．[答案]eq\f(2\r(21),7)[解析]設(shè)AC∩BD＝O，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴折起后AC、BO、OD′兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、OB、OD′為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，∵在原菱形中，AB＝2，∠DAB＝60°，∴OA＝OC＝eq\r(3)，OB＝OD′＝1，∴A(－eq\r(3)，0,0)，B(0，－1,0)，C(eq\r(3)，0,0)，D′(0,0,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1,0)，eq\o(CD′,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，0,1)，設(shè)n＝(x，y，z)，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CD′,\s\up6(→))＝0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＝0，,－\r(3)x＋z＝0.))令x＝1，則y＝eq\r(3)，z＝eq\r(3).∴n＝(1，eq\r(3)，eq\r(3))，又eq\o(AD′,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0,1)，∴AB與CD′之間的距離d＝eq\f(|n·\o(AD′,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(2\r(21),7).三、解答題9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．[解析](1)由于四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又由于PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.由于PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)設(shè)AC∩BD＝O.由于∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝eq\r(3).如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則P(0，－eq\r(3)，2)，A(0，－eq\r(3)，0)，B(1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)，設(shè)PB與AC所成角為θ，則cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝eq\f(6,2\r(2)×2\r(3))＝eq\f(\r(6),4).(3)由(2)知eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)．設(shè)P(0，－eq\r(3)，t)，(t>0)，則eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，t)．設(shè)平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，則eq\o(BC,\s\up6(→))·m＝0，eq\o(BP,\s\up6(→))·m＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y＝0，,－x－\r(3)y＋tz＝0.))令y＝eq\r(3)，則x＝3，z＝eq\f(6,t).所以m＝(3，eq\r(3)，eq\f(6,t))．同理，平面PDC的法向量n＝(－3，eq\r(3)，eq\f(6,t))．由于平面PBC⊥平面PDC.所以m·n＝0，即－6＋eq\f(36,t2)＝0.解得t＝eq\r(6).所以PA＝eq\r(6).10．(2022·天津河北區(qū)一模)如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝eq\r(2)，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2，AB＝BC＝1，E為AD中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥平面ABCD；(2)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；(3)求平面PAB與平面PCD所成的二面角．[解析](1)證明：在△PAD中，PA＝PD，E為AD中點(diǎn)，∴PE⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD.(2)如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz，則A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，∴cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1－1,\r(3)×\r(2))＝－eq\f(\r(6),3)，∴異面直線PB與CD所成的角的余弦值為eq\f(\r(6),3).(3)方法一：設(shè)平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(PA,\s\up6(→))＝0，,m·\o(PB,\s\up6(→))＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－z，,x－y－z＝0.))令y＝1，則x＝0，z＝－1，∴m＝(0,1，－1)．設(shè)平面PCD的法向量為n，同理可得n＝(1,1,1)．∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝0.∴m⊥n.∴平面PAB與平面PCD所成的二面角為eq\f(π,2).方法二：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，交線為AD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴PD⊥AB.∵PA＝PD＝eq\r(2)，AD＝2，∴PD⊥PA.又PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.∴平面PAB與平面PCD所成的二面角為eq\f(π,2).一、解答題11．如圖，四邊形DCBE為直角梯形，∠DCB＝90°，DE∥CB，DE＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，CD⊥AB，直線AE與直線CD所成角為60°.(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；(2)求BE與平面ACE所成角的正弦值．[解析](1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)在平面ACB內(nèi)，過(guò)C作CF⊥CB，以C為原點(diǎn)，以CF，CB，CD所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C－xyz設(shè)CD＝a(a>0)，則D(0,0，a)，E(0,1，a)，B(0,2,0)，A(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(3,2)，a)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0,0，a)，由直線AE與直線CD所成角為60°，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AE,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos60°，∴a2＝eq\f(a,2)eq\r(a2＋3)，解得a＝1.∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x－\f(1,2)y＝0，,y＋z＝0.))取x＝eq\r(3)，則y＝3，z＝－3，得n＝(eq\r(3)，3，－3)，設(shè)BE與平面ACE所成角為θ，則sinθ＝eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))·n|,|\o(BE,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\r(42),7)，于是BE與平面ACE所成角的正弦值為eq\f(\r(42),7).12．(2021·成都七中期中)如圖分別是正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的直觀圖和正視圖，O，O1分別是上下底面的中心，E是BC的中點(diǎn)(1)求正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的體積(注：棱臺(tái)體積公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)其中S上為棱臺(tái)上底面面積，S下為棱臺(tái)下底面面積，h為棱臺(tái)高)；(2)求平面EA1B1與平面A1B1C1的夾角的余弦(3)若P是棱A1C1上一點(diǎn)，求CP＋PB1的最小值[解析](1)由題意AC＝2eq\r(3)，A1C1＝4eq\r(3)，正三棱臺(tái)的高為eq\r(3)，S△ABC＝3eq\r(3)，S△A1B1C1＝12eq\r(3)，VABC－A1B1C1＝eq\f(1,3)(3eq\r(3)＋eq\r(3\r(3)×12\r(3))＋12eq\r(3))×eq\r(3)＝21.(2)設(shè)O，O1分別是上、下底面的中心，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)．以O(shè)1為原點(diǎn)，過(guò)O1平行于B1C1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系O1－xyz，則C1(－2eq\r(3)，2,0)，C(－eq\r(3)，1，eq\r(3))，E(0,1，eq\r(3))，A1(0，－4,0)，B1(2eq\r(3)，2,0)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0,5，eq\r(3))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6,0)，設(shè)平面EA1B1的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1B1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5y＋\r(3)z＝0，,\r(3)x＋3y＝0.))取n＝(－3，eq\r(3)，－5)，取平面A1B1C1的一個(gè)法向量m＝(0,0,1)，設(shè)所求角為θ，則cosθ＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)＝eq\f(5\r(37),37).(3)將梯形A1ACC1繞A1C1旋轉(zhuǎn)到與△A1B1C1在同一平面內(nèi)，使二面角B1－A1C1－C為平角，記展平后的A、C為M、N，連接B1N與A1C1的交點(diǎn)為P點(diǎn)時(shí)，CP＋cos∠NC1A1＝cos∠CC1A1＝eq\f(\o(C1C,\s\up6(→))·\o(C1A1,\s\up6(→)),|\o(C1C,\s\up6(→))|·|\o(C1A1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(21),7)，∴sin∠NC1A1＝eq\f(2\r(7),7)，cos∠NC1B1＝cos(∠NC1A1＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)－eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(21),14)，在△NC1B中，B1C1＝4eq\r(3)，NC1＝|eq\o(CC1,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，由余弦定理得CB1＝eq\r(67)，∴CP＋PB1的最小值為eq\r(67).13.(2021·陜西商洛一模)如圖，四周體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2).(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．[分析](1)要證AO⊥平面BCD，只需在平面BCD內(nèi)找到兩條與AO垂直的直線，由條件△ABD為等腰三角形可知AO⊥BD，只要AO⊥OC即可得證，結(jié)合條件應(yīng)計(jì)算證明AO⊥OC.(2)由(1)可知OC、OA、BD兩兩垂直，故適合建系用坐標(biāo)法求，只要找出兩直線的方向向量，即可獲解．(3)求點(diǎn)面距，需先求出平面的法向量n，則距離d＝eq\f(|\o(EC,\s\up6(→))·n|,|n|).[解析](1)證明：連接OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2)，知CO＝eq\r(3)，AO＝1.在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，則AO⊥OC.又AO⊥BD，BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD.(2)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)，D(－1,0,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，0)，∴|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),4).即異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，由n·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－z＝0，,－x－\r(3)y＝0，))令y＝1，則n＝(－eq\r(3)，1，eq\r(3))．所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為d＝eq\f(|\o(EC,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(2