【優(yōu)化設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章1.5.3知能演練輕松闖關(guān)

1．定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A．與y＝f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無(wú)關(guān)B．與y＝f(x)有關(guān)，與積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法無(wú)關(guān)C．與y＝f(x)和ξi的取法有關(guān)，與積分區(qū)間[a，b]無(wú)關(guān)D．與y＝f(x)、積分區(qū)間[a，b]、ξi的取法均無(wú)關(guān)解析：選A.定積分的大小僅與被積函數(shù)和積分的上、下限有關(guān)．2．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是()①eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(i－13,n3)·eq\f(1,n)；③eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n).A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.積分是一個(gè)極限的形式，依據(jù)積分的定義可知②③正確．3．(2021·銅陵質(zhì)檢)定積分eq\i\in(1,3,)(－3)dx等于()A．－6 B．6C．－3 D．3解析：選A.eq\i\in(1,3,)3dx表示圖中陰影部分的面積S＝3×2＝6，eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝eq\a\vs4\al(－\i\in(1,3,))3dx＝－6.4．已知函數(shù)f(x)＝sin5x＋1，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、積分的性質(zhì)和積分的幾何意義，探求f(x)dx的值，結(jié)果是()A.eq\f(1,6)＋eq\f(π,2) B．πC．1 D．0解析：選B.(sin5x＋1)dx＝sin5xdx＋1dx，∵y＝sin5x在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上是奇函數(shù)，∴sin5xdx＝0.而1dx＝＝π，故f(x)dx＝π，故選B.5．設(shè)a＝eq\i\in(0,1,)xeq\f(1,3)dx，b＝eq\i\in(0,1,)x2dx，c＝eq\i\in(0,1,)x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞cC．a(chǎn)＝b＞c D．a(chǎn)＞c＞b解析：選B.依據(jù)定積分的幾何意義，易知eq\i\in(0,1,)x3dx＜eq\i\in(0,1,)x2dx＜eq\i\in(0,1,)xeq\f(1,3)dx，即a＞b＞c，故選B.6．(2021·淄博調(diào)研)定積分eq\i\in(0,1,)(2＋eq\r(1－x2))dx＝________.解析：原式＝eq\i\in(0,1,)2dx＋eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx.∵eq\i\in(0,1,)2dx＝2，eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,4)，∴eq\i\in(0,1,)(2＋eq\r(1－x2))dx＝eq\f(π,4)＋2.答案：eq\f(π,4)＋27．直線x＝1，x＝－1，y＝0及曲線y＝x3＋sinx圍成的平面圖形的面積可用定積分表示為_(kāi)_______．解析：因y＝x3＋sinx為奇函數(shù)，故eq\i\in(,0,)－1(x3＋sinx)dx＝－eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx＜0，所以S＝2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx.答案：2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx8.(2021·成都高二檢測(cè))若y＝f(x)的圖象如圖所示，定義F(x)＝eq\i\in(0,x,)f(t)dt，x∈[0,1]，則下列對(duì)F(x)的性質(zhì)描述正確的有________．(1)F(x)是[0,1]上的增函數(shù)；(2)F′(1)＝0；(3)F(x)是[0,1]上的減函數(shù)；(4)?x0∈[0,1]使得F(1)＝f(x0)．解析：由定積分的幾何意義可知，F(xiàn)(x)表示圖中陰影部分的面積，且F(1)＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt為一個(gè)常數(shù)，當(dāng)x漸漸增大時(shí)，陰影部分的面積也漸漸增大，所以F(x)為增函數(shù)，故(1)，(2)正確，(3)錯(cuò)誤．由定積分的幾何意義可知，必定?x0∈[0,1]，使S1＝S2，此時(shí)矩形ABCO的面積與函數(shù)f(x)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域的面積相等，即F(1)＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt＝f(x0)，故(4)正確．所以對(duì)F(x)的性質(zhì)描述正確的有(1)，(2)，(4)．答案：(1)(2)(4)9．用定積分表示下列陰影部分的面積(不要求計(jì)算)：解：(1)sinxdx.(2)eq\i\in(-4,2,)eq\i\in(,2,)－4eq\f(1,2)x2dx.(3)－eq\i\in(4,9,)－xeq\f(1,2)dx＝eq\i\in(4,9,)xeq\f(1,2)dx.10．已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.解：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3(eq\i\in(0,1,)x3dx＋eq\i\in(1,2,)x3dx)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6(eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(2,4,)x2dx)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).1．將和式的極限eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)(p＞0)表示成定積分為()A.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,x)dx B.eq\i\in(0,1,)xpdxC.eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))pdx D.eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,n)))pdx解析：選B.令ξi＝eq\f(i,n)，f(x)＝xp，則eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)f(ξi)＝eq\i\in(0,1,)xpdx.故選B.2．將(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n))表示為定積分為_(kāi)_______．解析：由定積分的定義(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n))＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(1,\f(i,n)＋1))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(n,n＋i))·eq\f(1,n)＝eq\i\in(0,1,)eq\f(1,1＋x)dx.答案：eq\i\in(0,1,)eq\f(1,1＋x)dx3．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))求eq\i\in(0,2,)f(x)dx.解：∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＋eq\i\in(1,2,)(－2x＋4)dx.又由定積分的幾何意義得eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\i\in(1,2,)(－2x＋4)dx＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).4．拋物線y＝eq\f(1,2)x2將圓面x2＋y2≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓面上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6π)，求eq\i\in(0,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx.解：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝8，,y＝\f(1,2)x2，))得x＝±2.∴陰影部分的面積為eq\i\in(-2,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1