天一大聯(lián)考頂尖聯(lián)盟2024屆高三階段性測試(二)（老教材版）理科數(shù)學試題

天一大聯(lián)考頂尖聯(lián)盟2024屆高三階段性測試(二)（老教材版）

理科數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)（）A．B．C．D．2．已知集合，則（）A．B．C．D．3．已知向量，若，則（）A．B．2C．D．64．設函數(shù)，數(shù)列，滿足，則（）A．B．C．D．5．記的內(nèi)角的對邊分別為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且，則（）A．B．C．D．6．通過驗血診斷某疾病的誤診率（將未患病者判定為陽性的概率）為，漏診率（將患病者判定為陰性的概率）為，現(xiàn)對2名未患病者和1名患病者進行驗血，每人的診斷結果互不影響，則診斷結果均為陰性的概率為（）A．B．C．D．7．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，小李以前6項數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設置的不同的密碼個數(shù)為（）A．144B．120C．108D．968．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．c．D．9．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐和圓柱組合而成，點在圓錐的底面圓周上，且的面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的母線長為3，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．10．已知函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．311．已知是雙曲線的兩個焦點，為上除頂點外的一點，，且，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知，若函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知橢圓的離心率為，則______．14．已知滿足約束條件，則的最小值是______．15．在正四棱柱中，，平面與棱分別交于點，其中分別是的中點，且，則______．16．已知，若，則的最小值為______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）隨著寒冷冬季的到來，羽絨服進入了銷售旺季，某調(diào)查機構隨機調(diào)查了400人，詢問他們選購羽絨服時更關注保暖性能還是更關注款式設計，得到以下的列聯(lián)表：更關注保暖性能更關注款式設計合計女性16080240男性12040160合計280120400（Ⅰ）是否有的把握認為男性和女性在選購羽線服時的關注點有差異？（Ⅱ）若從這400人中按男女比例用分層抽樣的方法抽取5人進行采訪，再從這5人中任選2人贈送羽線服，記為抽取的2人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．附：．0.100.050.0102.7063.8416.63518．（12分）如圖，矩形與梯形所在的平面垂直，，為的中點．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（12分）在數(shù)列中，已知．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．20．（12分）已知為拋物線上的一點，為的焦點，為坐標原點．（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若為上的兩個動點，直線與的斜率之積恒等于，作為垂足，證明：存在定點，使得為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若存在唯一的負整數(shù)，使得，求的取值范圍；（Ⅱ）若，當時，，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，已知直線（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸交于點，與軸正半軸交于點，且的面積為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若與曲線交于兩點，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）設，若的最小值為2，求的最小值．

理科數(shù)學（老教材版）答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1．答案D命題意圖本題考查復數(shù)的基本概念和運算．解析，故．2．答案C命題意圖本題考查集合的運算．解析因為，所以．3．答案B命題意圖本題考查平面向量的數(shù)量積．解析，因為，所以，得．4．答案C命題意圖本題考查數(shù)列的概念與性質(zhì)．解析由題意知，可知．5．答案C命題意圖本題考恒三角形的面積公式和余弦定理．解析由題意得，則，所以，故，又，所以．6．答案A命題意圖本題考查概率的計算．解析未患病者的診斷結果為陰性的概率為，患病者的診斷結果為陰性的概率為q，所以對2名未患病者和1名患病者進行驗血，診斷結果均為陰性的概率為．7．答案A命題意圖本題考查排列與組合的應用．解析先排數(shù)字2，3，5，8，有種排法，4個數(shù)字形成5個空當．第一類：若兩個1相鄰，則從可選擇的3個空當中選出一個放入兩個1，有3種排法；第二類：若兩個1也不相鄰，則從可選擇的3個空當中選出兩個分別放入數(shù)字1，有3種排法．所以密碼個數(shù)為．8．答案D命題意圖本題考查函數(shù)的單調(diào)性．解析由，得，所以的定義域為．設，易得在上單調(diào)遞減．當，即時，，此時單調(diào)遞減，當，即時，，此時單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．9．答案B命題意圖本題考查圓柱與圓錐的結構特征．解析設圓錐的底面半徑為，母線長為，則的面積為，解得，因為圓錐的側(cè)面積為，所以．故該幾何體的體積為．10．答案D命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解析令，得，又，所以只能是，得，在區(qū)間內(nèi)，有共3個零點．11．答案A命題意圖本題考查雙曲線的性質(zhì)．解析設，顯然，則，所以的離心率．由于，所以，所以的取值范圍是．12．答案B命題意圖本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的幾何意義．解析有兩個不同的零點，等價于曲線與有兩個不同的交點，當時，，二者不可能有交點，只需考慮時的情況．設，若，則，易知曲線與直線在點處相切；若，當時，，所以，所以曲線與直線沒有交點；若，則，所以，曲線與直線有兩個交點．綜上可得，滿足條件的的取值范圍是．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．答案命題意圖本題考查橢圓的性質(zhì)．解析因為，所以，解得．14．答案命題意圖本題考查簡單的線性規(guī)劃問題．解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，直線過點時取得最小值，且．15．答案3命題意圖本題考查空間位置關系的判斷以及相關計算．解析因為平面經(jīng)過棱的中點，所以四邊形為菱形，且易證．又因為，所以平面，所以，且經(jīng)過的中點．在矩形中利用三角形相似可計算得．16．答案命題意圖本題考查三角恒等變換的應用．解析由題意知，由題意知，因此．所以，當且僅當，即時等號成立．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．命題意圖本題考查獨立性檢驗和超幾何分布的相關計算．解析（Ⅰ）因為，因為，所以沒有的把握認為男性和女性在選購羽線服時的關注點有差異．（Ⅱ）選出的男性人數(shù)為，選出的女性人數(shù)為，由題意可得的所有可能取值為0，1，2，，故的分布列為012所以的數(shù)學期望．18．命題意圖本題考查面面垂直的證明以及二面角的計算．解析（Ⅰ）因為，平面平面，所以平面，又因為平面，所以．在矩形中，為的中點，所以，根據(jù)勾股定理可得．因為，所以平面，所以平面平面．（Ⅱ）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．所以．設平面的法向量為，由得令，則．同理可得平面的一個法向量為．設二面角的平面角為，故，即二面角的余弦值為．19．命題意圖本題考查遞推關系與等比數(shù)列的性質(zhì)，以及錯位相減法的應用．解析（Ⅰ）因為，所以．所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．設前項和為，則，，兩式相減可得，所以．20．命題意圖本題考查拋物線的性質(zhì)，拋物線與直線的位置關系．解析（Ⅰ）由題可得，解得，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的方程為．由題意可知直線不與軸平行，設直線的方程為，則．聯(lián)立方程得整理可得，則，且①，②．，同理可得．由題意得，即，將①②代入可得，即．故直線的方程可化為，即，直線過定點．因為于點，所以點在以為直徑的圓上，故存在的中點，即，使得，為定值．21．命題意圖本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)．解析（Ⅰ），可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．令，作出與的大致圖象如圖所示，因為存在唯一的負整數(shù)，使得，則，故即，故的取值范圍為．（Ⅱ）根據(jù)題意，對恒成立，等價于對恒成立．令，則有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又時，時，，從而存在唯一的，使得，即，可得，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，故，故原不等式恒成立只需，即．構造函數(shù)，可得，當時，令，因為，從而可得在時恒成立，又，所以的解集為．又因為，令，易得在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以