2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元二次方程

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元二次方程一．選擇題（共10小題）1．下列方程中，無實(shí)數(shù)根的方程是（）A．x2+3x＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣x+3＝02．某藥品加工廠兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是6400元，現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是3600元．則Ⅰ型藥品的年平均下降率為（）A．75% B．56.25% C．25% D．20%3．關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．14．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0時，將方程化為（x﹣3）2＝a的形式，則a的值是（）A．8 B．9 C．10 D．125．中考將至，九（1）班全體學(xué)生互贈“祝?？ā保操洝白８？ā?640張，問九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A．x2＝1640 B．x（x﹣1）＝1640 C．x（x+1）＝1640 D．16．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根7．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個實(shí)根，則k的取值范圍是（）A．k≥1 B．k≥﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣18．根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬人．設(shè)這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．38.2（1﹣x）＝29.6 B．38.2（1﹣x）2＝29.6 C．38.2x2＝29.6 D．38.2（1﹣x2）＝29.69．某市商品房的均價原為18150元/m2，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后均價為15000元/m2．設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）＝15000 C．18150（1﹣2x）＝15000 D．18150（1﹣x）2＝1500010．一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，則這個三角形第三邊的長是（）A．3 B．4 C．3或4 D．3和4二．填空題（共5小題）11．已知，實(shí)數(shù)m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，則代數(shù)式m2+3m+n的值為．12．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是．13．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．14．設(shè)x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的兩個根，且x1+x2＝3x1x2，則m＝．15．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則mn＝．三．解答題（共5小題）16．“陽光玫瑰”是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種．某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽光玫瑰”300畝，到2023年年底“陽光玫瑰”的種植面積達(dá)到432畝．（1）求該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率．（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“陽光玫瑰”的售價為20元/kg時，每天能售出300kg；銷售單價每降低1元，每天可多售出50kg．為了減少庫存，該基地決定降價促銷．已知該基地“陽光玫瑰”的平均成本為10元/kg，若要使銷售“陽光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，則銷售單價應(yīng)定為多少元？17．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）滿足x1x218．為了加強(qiáng)勞動教育，我校在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為28米），用長為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設(shè)計(jì)了三個寬1米的小門，便于同學(xué)們進(jìn)入．（1）若圍成的菜地面積為120平方米，求此時邊AB的長；（2）若每平方米可收獲2千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若該方程兩個實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元二次方程參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列方程中，無實(shí)數(shù)根的方程是（）A．x2+3x＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣x+3＝0【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】判別式法；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可分別找出四個選項(xiàng)中方程的根的判別式△的值，取Δ＜0的選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，∴方程x2+3x＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)A不符合題意；B、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B不符合題意；C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程x2+2x+1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)C不符合題意；D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，∴方程x2﹣x+3＝0沒有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．2．某藥品加工廠兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是6400元，現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是3600元．則Ⅰ型藥品的年平均下降率為（）A．75% B．56.25% C．25% D．20%【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】設(shè)Ⅰ型藥品的年平均下降率為x，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本＝兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本×（1﹣Ⅰ型藥品的年平均下降率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)Ⅰ型藥品的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：6400（1﹣x）2＝3600，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合題意，舍去），∴Ⅰ型藥品的年平均下降率為25%．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，再解兩個不等式得到m的取值范圍，然后找出m的最小整數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，解得m＞﹣1且m≠0，所以m的最小整數(shù)值為1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0時，將方程化為（x﹣3）2＝a的形式，則a的值是（）A．8 B．9 C．10 D．12【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．【專題】一元二次方程及應(yīng)用．【答案】A【分析】先把方程中的常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，再把方程兩邊同時加9，進(jìn)行配方，然后根據(jù)配方結(jié)果求出a即可．【解答】解：x2﹣6x+1＝0，x2﹣6x＝﹣1，x2﹣6x+9＝﹣1+9，（x﹣3）2＝8，∴a＝8，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用配方法解一元二次方程．5．中考將至，九（1）班全體學(xué)生互贈“祝?？ā保操洝白８？ā?640張，問九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A．x2＝1640 B．x（x﹣1）＝1640 C．x（x+1）＝1640 D．1【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】根據(jù)題意得：每人要贈送（x﹣1）張賀卡，有x個人，然后根據(jù)題意可列出方程：（x﹣1）x＝1640．【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈送（x﹣1）張賀卡，有x個人，列方程為x（x﹣1）＝1640，故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈送x﹣1張賀卡，有x個人是解決問題的關(guān)鍵．6．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．7．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個實(shí)根，則k的取值范圍是（）A．k≥1 B．k≥﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】探究型．【答案】B【分析】先根據(jù)方程有兩個實(shí)根列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個實(shí)根，∴Δ＝22+4k≥0，解得k≥﹣1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根．8．根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬人．設(shè)這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．38.2（1﹣x）＝29.6 B．38.2（1﹣x）2＝29.6 C．38.2x2＝29.6 D．38.2（1﹣x2）＝29.6【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】根據(jù)2020年的出生人數(shù)及2022年的出生人數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：38.2（1﹣x）2＝29.6．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．某市商品房的均價原為18150元/m2，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后均價為15000元/m2．設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）＝15000 C．18150（1﹣2x）＝15000 D．18150（1﹣x）2＝15000【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【專題】增長率問題．【答案】D【分析】此題利用基本數(shù)量關(guān)系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）＝現(xiàn)在的價格，列方程即可．【解答】解：由題意可列方程是：18150（1﹣x）2＝15000．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查一元二次方程的應(yīng)用最基本數(shù)量關(guān)系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）＝現(xiàn)在的價格．10．一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，則這個三角形第三邊的長是（）A．3 B．4 C．3或4 D．3和4【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三邊關(guān)系．【答案】B【分析】先解方程，求出x的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系舍去不合題意的解．【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4，當(dāng)x＝3時，3+3＝6（不合題意，舍去），∴x＝4，即這個三角形第三邊的長是4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三邊關(guān)系，此題比較簡單，易于掌握．二．填空題（共5小題）11．已知，實(shí)數(shù)m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，則代數(shù)式m2+3m+n的值為1．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】1．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2+2m＝3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣3＝0的根，∴m2+2m＝3，∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，∴m+n＝﹣2，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝3﹣2＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．12．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是x1=-1+52，x【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】a＝1，b＝1，c＝﹣1，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，然后代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x=-所以x1=-1+52，故答案為x1=-1+52，【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式為：x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）；用求根公式求解時，先要把方程化為一般式，確定a，13．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜328且k≠﹣1【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】k＜328且k≠﹣【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）＞0，解得k＜328且k≠﹣所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜328且k≠﹣故答案為：k＜328且k≠﹣【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．14．設(shè)x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的兩個根，且x1+x2＝3x1x2，則m＝6．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】6．【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再利用x1+x2＝3x1x2得到﹣m＝3×（﹣2），然后解一次方程即可．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，∵x1+x2＝3x1x2，∴﹣m＝3×（﹣2）＝﹣6，解得m＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=-ba，x1x15．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則mn＝﹣2．【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，可得1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1，又因?yàn)榉匠逃袃蓚€相等的實(shí)數(shù)根，所以根的判別式Δ＝m2﹣4n＝0，將n＝﹣m﹣1代入，求出m＝﹣2，再求出n＝1，則mn可求．【解答】解：∵x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，∴1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1．又∵方程x2+mx+n＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝m2﹣4n＝0，將n＝﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）＝0，解得m＝﹣2，∴n＝1，∴mn＝﹣2×1＝﹣2．故答案為﹣2．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．同時考查了學(xué)生的閱讀理解能力．三．解答題（共5小題）16．“陽光玫瑰”是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種．某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽光玫瑰”300畝，到2023年年底“陽光玫瑰”的種植面積達(dá)到432畝．（1）求該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率．（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“陽光玫瑰”的售價為20元/kg時，每天能售出300kg；銷售單價每降低1元，每天可多售出50kg．為了減少庫存，該基地決定降價促銷．已知該基地“陽光玫瑰”的平均成本為10元/kg，若要使銷售“陽光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，則銷售單價應(yīng)定為多少元？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為20%；（2）銷售單價應(yīng)定為17元．【分析】（1）設(shè)該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為x，利用該基地2023年年底“陽光玫瑰”的種植面積＝該基地2021年年底“陽光玫瑰”的種植面積乘上（1+該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率）的平方，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)銷售單價應(yīng)降低y元，則每千克的銷售利潤為（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，利用總利潤＝每千克的銷售利潤×日銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：300（1+x）2＝432，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為20%；（2）設(shè)銷售單價應(yīng)降低y元，則每千克的銷售利潤為（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，根據(jù)題意得：（20﹣y﹣10）（300+50y）＝3150，整理得：y2﹣4y+3＝0，解得：y1＝1，y2＝3，∵“陽光玫瑰”的售價為20元/kg，使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠．∴銷售單價應(yīng)定為17元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）滿足x1x2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）m＞（2）m＝1．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．【解答】解：（1）∵方程有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2，∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，∴m＞（2）∵x1，x2是該方程的兩個根，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，∵x1∴﹣2m+5+4＝m2+6，解得：m＝﹣3或m＝1，∵m＞∴m＝1．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．18．為了加強(qiáng)勞動教育，我校在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為28米），用長為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設(shè)計(jì)了三個寬1米的小門，便于同學(xué)們進(jìn)入．（1）若圍成的菜地面積為120平方米，求此時邊AB的長；（2）若每平方米可收獲2千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（1）10米；（2）294千克．【分析】（1）設(shè)AB的長為x米，則BC的長為（39+3﹣3x）米，根據(jù)圍成的菜地面積為120平方米，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結(jié)合墻的最大可用長度為28米，即可確定結(jié)論；（2）設(shè)AB的長為m米，圍成的菜地面積為n平方米，則BC的長為（39+3﹣3m）米，利用矩形的面積＝長×寬，可找出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合BC的長大于2米且不超過28米，可求出m的取值范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)AB的長為x米，則BC的長為（39+3﹣3x）米，根據(jù)題意得：x（39+3﹣3x）＝120，整理得：x2﹣14x+40＝0，解得：x1＝4，x2＝10，當(dāng)x＝4時，39+3﹣3x＝39+3﹣3×4＝30＞28，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝10時，39+3﹣3x＝39+3﹣3×10＝12＜28，符合題意．答：此時邊AB的長為10米；（2）設(shè)AB的長為m米，圍成的菜地面積為n平方米，則BC的長為（39+3﹣3m）米，根據(jù)題意得：n＝m（39+3﹣3m）＝﹣3m2+42m，即n＝﹣3（m﹣7）2+147．∵39+3-∴143≤m∵﹣3＜0，∴當(dāng)m＝7時，n取得最大值，最大值為147，此時可收獲2×147＝294（千克）的菜．答：該片菜地最多可收獲294千克的菜．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為y元，依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若該方程兩個實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）證明見解答；（2）23或-【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出Δ＝（﹣5m）2﹣4×1×4m2＝25m2﹣16m2＝9m2，結(jié)合偶次方的非負(fù)性可得出Δ≥0，進(jìn)而可證出：無論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝5m，x1x2＝4m2，結(jié)合（x1﹣x2）2＝4，即可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：Δ＝（﹣5m）2﹣4×1×4m2＝25m2﹣16m2＝9m2，∵m2≥0，∴Δ≥0，∴無論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝5m，x1x2＝4m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴x12+x22-2x1x2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，即（5m）2﹣4∴9m2＝4，解得：m1=23，m2∴m的值為23或-【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時，一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣x2）2＝4，找出關(guān)于m的方程．

考點(diǎn)卡片1．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．3．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．4．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．5．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．6．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．7．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0