分岔與混沌完整版本

2025/1/11機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1分岔與混沌2025/1/112機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第一章分岔１從一個例子說起２分岔的定義及類型３典型的分岔４求解方法５工程和自然界中的例子６分岔研究的歷史與現(xiàn)狀７分岔研究的意義2025/1/11機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室3什么是分岔現(xiàn)象?2025/1/114機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1從一個例子說起[例1]Euler桿在軸向壓力作用下的彎曲問題。這是Euler在1744年研究的一個問題，它是一個最簡單的分岔現(xiàn)象。

一根理想的彈性直桿，在壓力p的作用下，直的狀態(tài)總是一種平衡位置。當(dāng)壓力p增加時，起初桿還是直的。一旦超過了某個臨界壓力，直桿的直的狀態(tài)就不再是穩(wěn)定的了，桿便產(chǎn)生了彎曲變形，當(dāng)p超過臨界壓力時，撓度s隨壓力增加得是很快的。這是一類典型的分岔問題。圖1Euler桿2025/1/115機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室Euler直桿彎曲滿足下列非線性微分方程及邊值當(dāng)時，桿保持著原來的直線平衡穩(wěn)定態(tài)，即當(dāng)時，有三種平衡狀態(tài),原來的直線變成不穩(wěn)定態(tài)(保持直線)，稍有擾動平衡狀態(tài)便會偏向+s或-s。偏向+s或-s方向分岔出穩(wěn)定的彎曲狀態(tài)，即2025/1/116機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖2Euler直桿隨壓力變化的分岔圖2025/1/117機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室２分岔的定義及類型2025/1/118機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室２.1分岔的定義(Bifurcation)分岔現(xiàn)象是指動態(tài)系統(tǒng)的定性行為隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變而發(fā)生質(zhì)的變化。泛指在一個動力學(xué)系統(tǒng)中，當(dāng)控制參量改變時，其相圖發(fā)生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的突然變化，包括解的數(shù)目的變化、解的穩(wěn)定性的變化等。力學(xué)上指一種力學(xué)狀態(tài)在臨界點發(fā)生的轉(zhuǎn)變、分開或一分為二。如：一根受力的彈性壓桿當(dāng)壓力超過壓桿的臨界負(fù)荷時，會出現(xiàn)彎曲。數(shù)學(xué)上分岔研究非線性微分方程當(dāng)某一參數(shù)變化時其解發(fā)生突變的臨界點附近的行為。2025/1/119機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室2.2分岔的類型我們知道Jacobi矩陣的特征值確定系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性。對于一般動力系統(tǒng)，控制參數(shù)的變化會引起特征值的變化，當(dāng)控制參數(shù)達到分岔參數(shù)值時，系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生質(zhì)的變化，它可以表現(xiàn)為在復(fù)平面的運動。由此也可以定義三種分岔類型:1.叉型分岔、鞍-結(jié)分岔和霍普分岔

2025/1/1110機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室叉型分岔霍普分岔鞍結(jié)分岔特征值為實數(shù)，沿復(fù)平面的實軸由負(fù)變正穿過虛軸。特征值為復(fù)數(shù)，沿左半平面，由變穿過虛軸。特征值為實數(shù)，沿實軸左右趨于虛軸，即2025/1/1111機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室十分明顯，叉型分岔和鞍-結(jié)分岔是實分岔，而霍普分岔是復(fù)分岔，不論哪一種分岔，它們在分岔點均滿足：2025/1/1112機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室3.

局部分岔和全局分岔2.靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔局部分岔研究某個不動點附近動力系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如何發(fā)生變化。全局分岔則分析向量場的大范圍的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。靜態(tài)分岔和Hopf分岔都屬于局部分岔，而其它的分岔則屬于全局分岔。局部分岔是全局分岔分析的一個重要內(nèi)容。一般來說，完整的全局分岔分析是十分困難的，甚至是不可能的，所以對局部分岔的研究就顯得尤為重要。靜態(tài)分岔，研究當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時，平衡點數(shù)目和穩(wěn)定性如何發(fā)生變化，如叉形分岔和鞍結(jié)分岔等；動態(tài)分岔，主要是指解的類型發(fā)生變化，如由平衡點變?yōu)橹芷诮猓℉opf分岔），周期解的分岔（倍周期分岔）等。2025/1/1113機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室3典型實例2025/1/1114機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室典型實例3.1叉型分岔上式中，x是實數(shù)，是可正可負(fù)的參數(shù)，令=0，可知方程(1)的定態(tài)平衡解是（1）其平衡態(tài)的穩(wěn)定性可由Jacobi矩陣的特征值特性，也即由下式來決定。典型實例是2025/1/1115機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖3叉型分岔——超臨界情況

圖4

叉型分岔——亞臨界情況

我們再考慮另一種對稱情況，即

平衡點而對應(yīng)特征值則為

對于圖3，當(dāng)時，平衡態(tài)的一個分支是穩(wěn)定的；然而當(dāng)時，這一支就變得不穩(wěn)定了；一旦當(dāng)有新的平衡分支解又變成穩(wěn)定的了，這種情況被稱為超臨界分岔。反過來，若新的平衡分支解，在時是不穩(wěn)定的，則稱之為亞臨界分岔。2025/1/1116機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室3.2霍普分岔

是一個平衡點，其Jacobi矩陣是

得出特征值

由此可見，當(dāng)參數(shù)由負(fù)變正時，點（0，0）則由穩(wěn)定的平衡點變成不穩(wěn)定的平衡點。分別沿實軸上方和下方穿過虛軸，（2）2025/1/1117機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室令經(jīng)過變換可得

當(dāng)時，有（3）（4）式（4）表明，軌線以常速度旋轉(zhuǎn)。而(3)式則說明還存在另一平衡態(tài)，即：

。這種情況與叉型分岔十分相似：時，是穩(wěn)定焦點；

而當(dāng)時，就變成不穩(wěn)定點，

從而分岔出半徑為極限環(huán)。這種由失穩(wěn)后出現(xiàn)的極限環(huán)分岔稱之為霍普分叉。如下圖所示。

的2025/1/1118機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖5霍普分叉－超臨界情況

2025/1/1119機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室3.3鞍－結(jié)分岔

典型方程

由得平衡點(a)當(dāng)μ＜0時,解解x0

為虛數(shù)，因此不存在平衡點。方程的解在x0=0處發(fā)生了分裂。解時，解是不穩(wěn)定的，它是鞍點。（５）解時，此解是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的結(jié)點。，說明上述(b)當(dāng)μ＞0時出現(xiàn)兩個平衡點

2025/1/1120機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖6鞍結(jié)分岔

2025/1/1121機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4求解方法研究分岔的一些方法奇異性理論方法龐加萊-伯克霍夫(PB)規(guī)范形方法中心流形法李雅普諾夫-施密特約化（LS約化）冪級數(shù)法攝動法Shilnikov法數(shù)值法奇異性理論方法2025/1/1122機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室奇異性研究可微映射的退化性和分類，首先將分叉問題化為較簡單的范式（NormalForm）進行識別和分類，再通過“普適開折”得到一般擾動下可能出現(xiàn)的所有分叉性態(tài)，隨后討論分叉圖的保持性和轉(zhuǎn)遷集等?？梢蕴幚恚红o態(tài)分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。對于高維問題，理論上可借助LS約化方法降維，然后再應(yīng)用奇異性方法。該方法參考：1.ArnoldVI.BifurcationandSingulariticsinMathematicsandMechanics.Proc.ofthe17thIUTAM,19882.ArnoldVI.數(shù)學(xué)和力學(xué)中的分叉和奇異性.力學(xué)進展，1989,19(2):59-663.GolubitskyMandSchaefferDG.SingulariticsandGroupsinBifurcationTheory.Vol.1,Springer-Verlag,1985龐加萊-伯克霍夫(PB)規(guī)范形方法2025/1/1123機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室考慮微分方程x=f（x），x∈Rn（1）設(shè)f（x）足夠光滑，且f（0）=0?，F(xiàn)在研究對于某個給定正整數(shù)r≥2，通過坐標(biāo)的多項式變換，使得在f的泰勒展開式中直到r次的項都有比較簡單的形式。龐加萊伯克霍夫范式定理

設(shè)f（x）是Cr向量場（r≥2），f（0）=0，L=Df（0），則在原點附近存在一個坐標(biāo)的r次變換，使得在新坐標(biāo)系中，方程（1）化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形：y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）+o（‖y‖r）

（2）系統(tǒng)y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）稱為方程（1）的一個r階（截斷）PB范式。2025/1/1124機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室需要注意：1.對于給定的r來說，r階PB范式的取法一般不是唯一的。2.在平衡點附近，截斷規(guī)范形系統(tǒng)與原來的系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往有密切的關(guān)系，但并不一定相同。一般來說，對于給定的r，r階PB范式到底能在多大程度上反映原系統(tǒng)的定性性態(tài)仍然是一個未完全解決的問題。3.盡管如此，在大量研究中發(fā)現(xiàn)，階數(shù)不太高的PB范式通常就能提供重要的定性性態(tài)信息，這對原系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究有很大幫助。龐加萊-伯克霍夫(PB)規(guī)范形方法2025/1/1125機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室經(jīng)典作品參考：(a)ArnoldVI.GeometricalMethodsintheTheoryofODE.Springer-Verlag,1983(b)WangD.AnintroductiontotheNormalFormtheoryofODE.AdvancesInMathematics,1990,30:38-71(c)GuckernheimerJandHolmesP.NonlinearOscillators,DynamicalSystemsandBifurcationsofVectorFields.Springer-verlag,1983如何求PB規(guī)范形方法：矩陣表示法、共軛算子法、李代數(shù)法、共振法等。對于高維系統(tǒng)需要應(yīng)用計算機代數(shù)、定理機器證明等工具。如何確定規(guī)范形與原方程系數(shù)關(guān)系：直接比較法、計算機代數(shù)方法等（目前無其它更好方法）。龐加萊-伯克霍夫(PB)規(guī)范形方法中心流形定理2025/1/1126機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室把一個對n維動力系統(tǒng)在奇異點附近的各種性態(tài)的研究簡化為一個m維（m<=n)中心流形上的流的方程去研究。

在高維動態(tài)系統(tǒng)非雙曲平衡點的領(lǐng)域，存在一類維數(shù)較低的局部流形，當(dāng)系統(tǒng)的相軌跡在該流形上時，可能存在分岔等動力學(xué)行為，而在該流形之外，動力學(xué)行為非常簡單。這類流形被稱為中心流形。中心流形為研究分岔問題提供了一種降維方法。該方法將復(fù)雜的行為分離出來，可以在維數(shù)較低的中心流形上進行研究。2025/1/1127機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室中心流形定理（CenterManifoldTheorem）

考慮自治系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)）dx/dt=f(x)。對其在平衡點線性化，則雅克比矩陣為A=df/dt(x0)。中心流形定理指出，如果f(x)是r階連續(xù)可導(dǎo)，則在任意平衡點，存在唯一的r階連續(xù)可導(dǎo)的穩(wěn)定流形，存在唯一的r階連續(xù)可導(dǎo)的不穩(wěn)定流形，并存在（不一定唯一）r-1階連續(xù)可導(dǎo)的中心流形。中心流形定理李雅普諾夫-施密特約化（LS約化）2025/1/1128機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室在靜態(tài)分岔的分析中，常在奇異點附近把方程的局部問題，用李雅普諾夫-施密特約化（LS約化）化為較低維數(shù)的方程的局部解問題去研究。LS法的基本思想是把空間表示成兩個子空間的直和，并將方程分別投射到這兩個子空間上。這樣得到兩個方程，其中一個總有唯一解(由隱函數(shù)定理知），把求出的解代到另一方程中去，原來的方程求解問題變?yōu)榍筮@個低維方程的問題。參考文獻：陳予恕，非線性振動系統(tǒng)的分叉與混沌理論，1993，高等教育出版社。冪級數(shù)法和攝動法2025/1/1129機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室冪級數(shù)法

通過解的漸進展開，利用投影關(guān)系和Fredholm擇一性進行分叉分析?？蓱?yīng)用于：靜態(tài)分叉、Hopf分叉、次諧分叉和概周期分叉領(lǐng)域。參考：

(a)IoosGandJosephDD.ElementarystabilityandBifurcationTheory(2nded.).Springer-Verlag,1999

攝動法

包括：平均法、多尺度法、KBM法、內(nèi)諧波平衡法等，應(yīng)用于：周期或概周期領(lǐng)域。

數(shù)值法2025/1/1130機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室

除攝動方法外，上述方法都屬于定性研究。數(shù)值方法進行定量研究，特別是在確定分叉點位置、追蹤分岔解等方面，數(shù)值方法是必要的。參考文獻：

(a)KubicekMandMarkerM.ComputationalMethodsinBifurcationTheoryandDissipativeStructures.Springer-Verlag,1983龐加萊映射-十分重要的映射2025/1/1131機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室為了更清楚地了解運動的形態(tài)，龐加萊對連續(xù)運動的軌跡用一個截面（叫龐加萊截面）將其橫截，根據(jù)軌跡在截面上穿過的情況，就可以簡潔地判斷運動的形態(tài)，由此所得圖像叫龐加萊映射。在截面圖上，軌跡下一次穿過截面的點X(n+1)可以看成前一次穿過的點X(n)的一種映射X(n+1)=f(X(n))（n=0,1,2,…）這個映射就叫龐加萊映射。它把一個連續(xù)的運動化為簡潔的離散映射來研究。繪制龐加萊映射是在普通的相平面上進行，它不是像畫相軌道那樣隨時間變化連續(xù)地畫出相點，而是每隔一個外激勵周期（T=2π/ω）取一個點，例如取樣的時刻可以是t=0,T,2T…相應(yīng)的相點記為P0(x0,y0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)…這些離散相點就構(gòu)成了龐加萊映射。2025/1/1132機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室如不考慮初始階段的暫態(tài)過渡過程，只考慮Poincare截面的穩(wěn)態(tài)圖像，當(dāng)Poincare截面上只有一個不動點和少數(shù)離散點時，可判定運動是周期的。在龐加萊映射中的不動點反映了相空間的周期運動，如果運動是二倍周期的，則龐加萊映射是兩個不動點，四倍周期則有四個不動點等;當(dāng)Poincare截面上是一封閉曲線時，可判定運動是準(zhǔn)周期的;當(dāng)Poincare截面上是成片的密集點，且有層次結(jié)構(gòu)時，可判定運動處于混沌狀態(tài)。2025/1/1133機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室５工程中及自然界中分岔的例子2025/1/1134機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室現(xiàn)在看來，分叉可以看作一個依賴于參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)達到某個值時，即臨界值時，系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了與原來狀態(tài)很不同的情況。從這種觀點來看，自然界的許多現(xiàn)象，凡是發(fā)生突然變化，而且變化前后有顯著不同的情況，都可以從分叉的角度加以研究。不管這個系統(tǒng)是屬于科學(xué)的、技術(shù)的、經(jīng)濟學(xué)的、心理學(xué)的，還是社會學(xué)的。2025/1/1135機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室最常見的例子：水水在普通氣壓的條件下在攝氏100℃沸騰，變?yōu)闅庀?。這100℃就是一種臨界溫度，也就是一個相變的分岔點。靜態(tài)分岔的例子2025/1/1136機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室工程中靜態(tài)分岔的例子2000年4月14日中午12點10分，湖南耒（lei）陽電廠使用近五年的72MX120M大型煤棚發(fā)生突然整體倒塌。所幸未發(fā)生人員傷亡。2025/1/1137機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室中新網(wǎng)04年5月23日電，巴黎當(dāng)?shù)?3日清晨7點左右，該市北部的夏爾·戴高樂機場的候機樓發(fā)生屋頂坍塌事故，已造成至少6人死亡，3人受傷。該候機樓2003年的6月17日舉辦了落成典禮，但直到11月份才正式投入使用。2025/1/1138機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室世界貿(mào)易雙塔樓建于1973年110層，高1377英尺（合４１２米）2025/1/1139機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室2025/1/1140機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室2025/1/1141機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室人們常見的口琴上有許多簧片。拿其中的一片來看，當(dāng)吹的風(fēng)小時，簧片不發(fā)生運動。而當(dāng)吹的口風(fēng)稍大時，即超過了某個臨界風(fēng)速，簧片就會產(chǎn)生周期運動而振動起來。這是一種典型的霍普夫分岔。風(fēng)琴、嗩吶、單簧管、雙簧管、號、笛等樂器都是利用這個原理制作出來的。Hopf分岔的例子2025/1/1142機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室進一步講，如果，激發(fā)振動的來源不是風(fēng)，而是摩檫或水力等其他作用，也會出現(xiàn)霍普夫分岔，大量的弓弦樂器就都是這種分岔。當(dāng)然，霍普夫分岔，并不只可以被利用來制作樂器給人們帶來快樂，也還帶來煩惱和災(zāi)難。Hopf分岔的例子2025/1/1143機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室在20世紀(jì)三、四十年代，航空中曾經(jīng)有一種可怕的空難，在飛行中當(dāng)速度超過某個臨界速度時，由機翼產(chǎn)生突然的“顫振”而發(fā)生的機毀人亡。如果把機翼看作上面說的口琴上的簧，那末“顫振”現(xiàn)象就容易理解了。幾乎所有的噪音，如樹葉的沙沙聲、機器的隆隆聲、摩檫噪音、有時水管子流水的嗡嗡聲等都是和霍普夫分岔相關(guān)的。Hopf分岔的例子2025/1/1144機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室在1940年建成的美國的西北部一座吊橋，長853.4m的塔科姆(Tacoma)大橋，建成后不久，由于同年11月7日的一場不大的風(fēng)（僅每秒19m）引起了振幅接近9m的“顫振”，在這樣大振幅振蕩下，結(jié)構(gòu)不一會便塌毀了。Hopf分岔的例子2025/1/1145機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室在生態(tài)學(xué)研究中，有一種所謂“捕食者”的模型。它是研究有兩種動物，例如是大魚和小魚，大魚吃小魚。一般講，大魚和小魚可以在一定的數(shù)量上得到平衡。不過，還有一種更為常見的現(xiàn)象是，大小魚的數(shù)量周期性地振蕩變化。當(dāng)大魚多了時，小魚就少了，于是大魚就因為找不到食物而餓死減少；大魚少了，小魚又因為沒有天敵大量繁殖而增加。如此周而復(fù)始。這種振蕩也是一種典型的霍普夫分岔。1918年意大利數(shù)學(xué)家Volterra(1860-1940)最早研究了兩種生物的捕食者模型。Hopf分岔的例子2025/1/1146機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1900年，法國人白納（Benard）做了一個實驗。在溫度均勻的水平金屬板上盛放一薄層液體。當(dāng)加熱金屬板且上下的溫差不大時，液體的狀態(tài)處于靜止，熱量是通過熱傳導(dǎo)的方式自下向上傳遞。當(dāng)溫差達到某個臨界值時，靜止平衡的液體成為不穩(wěn)定的，液體開始流動。此時流場成規(guī)則的胞狀結(jié)構(gòu)，在每一胞中，流體自中心至邊沿形成環(huán)流。這個現(xiàn)象解釋了白天在日照下地面溫度升高后產(chǎn)生局部地區(qū)的風(fēng)的成因。Hopf分岔的例子2025/1/1147機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室從衛(wèi)星上拍攝的白納對流2025/1/1148機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室經(jīng)濟學(xué)中的Hopf分岔例子：企業(yè)R&D的投資決策模型：E為企業(yè)產(chǎn)品銷售額，F(xiàn)為R&D支出值，F(xiàn)min為維持企業(yè)總體上的產(chǎn)品銷售平衡狀態(tài)（零增長）所需的R&D支出值，Gt為保證R&D的投入不會低于某一限度的單邊受限函數(shù)，Gt0，E*是決策者期望的最大產(chǎn)品銷售額，為決策者靈敏度，為環(huán)境變量。R&D投入Ft隨決策者靈敏度

變化的分岔行為R&D投入Ft隨環(huán)境變量

變化的分岔行為2025/1/1149機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室其它分岔的例子同樣，股票市場的漲落、經(jīng)濟危機的周期性地發(fā)生、沙漠中沙丘周期性地起伏、心臟從正常跳動轉(zhuǎn)化為顫動也都是一種分岔現(xiàn)象。2025/1/1150機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室樹葉子被風(fēng)吹得沙沙聲；機器的隆隆聲、摩擦噪音；刮鍋時刺耳的摩擦噪音；水管子流水的時候的嗡嗡聲。其他分岔實例2025/1/1151機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室６分岔研究的歷史與現(xiàn)狀2025/1/1152機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室托里拆利EvangelistaTorricelli,

1608－1647

分岔現(xiàn)象的研究可以追溯到關(guān)于平衡的穩(wěn)定性問題的提出。1644年，意大利著名學(xué)者伽利略的學(xué)生，托里拆利給出了關(guān)于平衡的穩(wěn)定性的最原始的提法。他說：“如果物體的重心可以沿一個球運動，而且將物體提離球的最低點，則物體不可能保持靜止。”2025/1/1153機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室拉格朗日

JosephLouisLagrange

1736－18131788年法國學(xué)者拉格朗日在他的《分析力學(xué)》中將托里拆利的的平衡條件加以推廣，提為：“當(dāng)保守系統(tǒng)處于勢能嚴(yán)格極小的狀態(tài)時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡?！边@是判斷靜力平衡穩(wěn)定性的最早的一般論述。當(dāng)平衡系統(tǒng)依賴于參數(shù)時，穩(wěn)定性可以隨參數(shù)變化發(fā)生改變。這種從穩(wěn)定到不穩(wěn)定、或者從不穩(wěn)定到穩(wěn)定的變化，就是靜力平衡問題的分岔。2025/1/1154機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室歐拉

LeonhardEuler

1707－1783

托里拆利討論平衡的穩(wěn)定性之后，過了100年，歐拉在1744年給出了彈性受壓桿在屈曲（即直桿平衡不穩(wěn)定）后的大變形分析，即所謂的歐拉彈性線，這可能是彈性體平衡分岔的最早的例子。2025/1/1155機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室龐加萊

JulesHenriPoincaré

1854－1912

最早關(guān)于動力學(xué)分岔的例子，大概是法國學(xué)者龐加萊開始的。他研究在萬有引力場作用下的旋轉(zhuǎn)流體團。2025/1/1156機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室麥克斯韋耳

JamesClerkMaxwell

1831－1879最早從理論上研究這個問題的是麥克斯威耳，他在1868年發(fā)表論文討論這一問題，并且給出了一個使調(diào)速器穩(wěn)定工作的條件。2025/1/1157機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室李亞普諾夫

АлександрМихаиловичЛяпунов

1857－1918

李亞普諾夫1892年提交的博士論文《運動穩(wěn)定性一般問題》在俄羅斯力學(xué)家茹可夫斯基等參加答辯后在1893年通過了莫斯科大學(xué)的博士學(xué)位。李亞普諾夫在他的博士論文中，不僅給出了運動穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義，而且還給出了兩種嚴(yán)格的判定方法。這個定義與判定方法至今仍是運動穩(wěn)定性研究領(lǐng)域的主要內(nèi)容。它在天文學(xué)、微分方程、控制論等領(lǐng)域內(nèi)一直是關(guān)鍵問題之一。2025/1/1158機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室安德羅諾夫АлександрАлександровичАндронов1901－1952這個結(jié)論說明分叉是在動力系統(tǒng)中十分普遍的現(xiàn)象。所以后人把從平衡狀態(tài)進入振蕩狀態(tài)的分叉稱為霍普分叉。1928年蘇聯(lián)力學(xué)家安德羅諾夫在討論振動和極限環(huán)時引進了自振的概念。隨后德國數(shù)學(xué)家霍普夫在1942年嚴(yán)格論證了一個動力系統(tǒng)從平衡解轉(zhuǎn)化為周期解的條件。霍普夫

E.Hopf

1902-19832025/1/1159機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室７分岔現(xiàn)象研究的意義2025/1/1160機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室溝通了不同領(lǐng)域，尋求他們共同的規(guī)律。又由于分岔是非線性問題，所以它成為新近形成的“非線性科學(xué)”的主要內(nèi)容。對具體問題的分岔準(zhǔn)確計算，使我們能夠掌握這種問題的變化規(guī)律。對確定論或宿命論哲學(xué)的否定。分岔研究的意義2025/1/1161機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室一方面來自各個具體的出現(xiàn)分岔現(xiàn)象的領(lǐng)域，這種研究的目的在于揭示那些具體領(lǐng)域中若干不同現(xiàn)象的轉(zhuǎn)變點。另一方面人們把分岔作為一種各個領(lǐng)域共有的普遍規(guī)律來研究，旨在發(fā)現(xiàn)分岔問題共同規(guī)律。由于在分岔研究中，人們遇到越來越復(fù)雜的方程，這些方程又都是非線性的，所以大多要借助于計算機求解去發(fā)現(xiàn)分岔點和追蹤系統(tǒng)分岔后的行為。因之，關(guān)于分岔問題在計算機上的數(shù)值方法，就成為分岔研究和數(shù)值方法的一個重要的研究方向。目前對分岔的研究2025/1/1162機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室結(jié)論分岔是系統(tǒng)兩種性質(zhì)上不同的狀態(tài)轉(zhuǎn)變點。掌握系統(tǒng)的分岔點對把握系統(tǒng)的性質(zhì)和行為非常重要。分岔問題是實質(zhì)非線性問題。分岔是非常普遍的現(xiàn)象。2025/1/1163機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第二章混沌2025/1/1164機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第二章混沌１混沌的發(fā)現(xiàn)２混沌的定義３混沌的特征４走向混沌的道路5

有趣的吸引子6混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用2025/1/1165機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

混沌學(xué)的研究熱潮始于上一世紀(jì)70年代，但這門新學(xué)科的淵源卻可以追溯到19世紀(jì)末。龐加萊公認(rèn)的最早發(fā)現(xiàn)混沌的是偉大的法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家—龐加萊，他是在研究天體力學(xué)，特別是在研究三體問題時發(fā)現(xiàn)混沌的。他發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用能產(chǎn)生驚人的復(fù)雜行為，確定性動力學(xué)方程的某些解有不可預(yù)見性。

2025/1/1166機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室１混沌的發(fā)現(xiàn)龐加萊對三體問題的研究?！疤栂凳欠€(wěn)定嗎？”是可預(yù)測的嗎？2025/1/1167機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室長期以來有兩種對立的見解：一派以龐加萊（Poincare）為代表，認(rèn)為其系統(tǒng)是不可預(yù)測的。另一派則以拉普拉斯（Laplace）為首，他說：“如果我們知道宇宙每一顆粒子，在某一特定時刻的準(zhǔn)確位置和速度，便可以計算出宇宙的過去和未來?！边@是一種機械唯物論，認(rèn)為整個宇宙都是受機械律支配的。１混沌的發(fā)現(xiàn)2025/1/1168機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室關(guān)于單體和兩體問題，可以利用牛頓力學(xué)得到精確的解，但利用牛頓力學(xué)得到的三體系統(tǒng)方程卻一直未得到精確的解。

不過龐加萊在當(dāng)時指出了其某些解的復(fù)雜性，并提出了百年數(shù)學(xué)難題——龐加萊猜想。

１混沌的發(fā)現(xiàn)2025/1/1169機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室

龐加萊在《科學(xué)的價值》一書中寫道，“可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別。前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差，于是預(yù)言變的不可能了”。這些描述實際上已經(jīng)蘊涵了“確定性系統(tǒng)具有內(nèi)在的隨機性”這一混沌現(xiàn)象的重要特征。

世界上了解混沌的存在的可能性的第一人2025/1/1170機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室H.Poincare的科學(xué)哲學(xué)思想也為發(fā)現(xiàn)混沌清除了一大理論障礙。他明確地提出了偶然性的客觀意義，他認(rèn)為“偶然性并非是我們給我們的無知所取的名字”，“對于偶然發(fā)生的現(xiàn)象本身，通過概率運算給予我們的信息顯然將是真實的”。從這一認(rèn)識出發(fā)，他鮮明地批判了“絕對的決定論”，認(rèn)為精確的定律并非決定一切，他們只是劃出了偶然性可能起作用的界限?！犊茖W(xué)與假說》(1901)，《科學(xué)的價值》(1905)和《科學(xué)與方法》(1908)

2025/1/1171機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室Poincare數(shù)學(xué)上的成就：他與Lyapunov一起奠定了微分方程定性理論的基礎(chǔ)；他為現(xiàn)代動力系統(tǒng)理論貢獻了一系列重要概念，如動力系統(tǒng)、奇異點、極限環(huán)、穩(wěn)定性、分叉、同宿、異宿等；提供了許多有效的方法和工具，如小參數(shù)展開法、攝動方法、H.Poincare截面法等。他所創(chuàng)立的組合拓?fù)鋵W(xué)是當(dāng)今研究混沌學(xué)必不可少的工具?，F(xiàn)代動力系統(tǒng)理論的幾個重要組成部分，如穩(wěn)定性理論、分叉理論、奇異性理論和吸引子理論等，都發(fā)源于H.Poincare的早期研究。2025/1/1172機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)最早將龐加萊的拓?fù)鋭恿W(xué)思想引到其他領(lǐng)域的工作是以電工學(xué)和電工技術(shù)為背景的。稱為杜芬方程。其中f(x)含三次項，g(x)為周期函數(shù)。杜芬方程是今日混沌學(xué)文獻中常見的方程之一?？梢詤⒖肌痘煦?、分形及其應(yīng)用》（王東生等編）p1811918年，杜芬（G.Duffing）研究了具有非線性恢復(fù)力項的受迫振動系統(tǒng)，揭示出許多非線性振動的奇妙現(xiàn)象。他所研究的動力學(xué)方程經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后為2025/1/1173機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)1928年，荷蘭物理學(xué)家范德波爾（B.vanderpol）研究三極管振蕩器，建立了以他的名字命名的運動方程2025/1/1174機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

上一世紀(jì)六十年代初，洛倫茲通過對天氣的簡化模型研究，在計算機上發(fā)現(xiàn)似隨機的運算結(jié)果，即“混沌”?！蛔u為混沌解的第一個實例，從而揭開了對混沌現(xiàn)象深入研究的序幕。在著名論文“確定性非周期流”中討論了天氣預(yù)報的困難和大氣湍流現(xiàn)象，該簡化方程后來被稱為著名的洛倫茲方程。計算結(jié)果的實質(zhì)意義：氣候不能精確重復(fù)與無法長期天氣預(yù)報之間必然存在著一種聯(lián)系，這就是非周期性與不可預(yù)見性之間的關(guān)系

2025/1/1175機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)主要貢獻：在耗散系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)了混沌運動；揭示了確定性非周期性、對初值的敏感依賴性、長期行為的不可預(yù)測性等混沌基本特征；在現(xiàn)代混沌研究中發(fā)現(xiàn)了第一個奇怪吸引子，洛倫茲吸引子標(biāo)志著混沌學(xué)研究正式開始；為混沌研究提供了一個重要模型，引發(fā)出大量研究成果，至今仍然是混沌開發(fā)的一個富礦區(qū)；最先采用數(shù)值計算方法研究混沌，對混沌研究方法論有重要貢獻?！獢?shù)值實驗2025/1/1176機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

1964年法國天文學(xué)家伊儂(HenonM)從研究球狀星團以及洛倫茲吸引子中得到啟發(fā)，給出了下列的Henon映射該方程組當(dāng)參數(shù)b=0.3，且改變參數(shù)a時，就發(fā)現(xiàn)其系統(tǒng)運動軌道在相空間中的分布似乎越來越隨機。伊儂得到了一種最簡單的吸引子，并用它建立的“熱引力崩坍”理論，解釋了幾個世紀(jì)以來一直遺留的太陽系的穩(wěn)定性問題。2025/1/1177機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

1971年法國物理學(xué)家茹厄勒(RuellD)和荷蘭數(shù)學(xué)家塔肯斯(TakensF)為耗散系統(tǒng)引入了“奇怪吸引子”(Strangeattractor)這一概念，提出了一個新的湍流發(fā)生機制，以揭示湍流的本質(zhì)。然而，因為湍流是一種極其復(fù)雜的現(xiàn)象，它是如何發(fā)生的，至今人們?nèi)圆煌耆宄?，但是，混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，對揭示湍流有很大啟發(fā)。2025/1/1178機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

1975年美籍華人學(xué)者李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克〔YorkeJ)在美國《數(shù)學(xué)月刊》發(fā)表了題為“PeriodThreeImpliesChaos”

（周期3蘊涵著混沌）的著名文章，深刻地揭示了從有序到混沌的演化過程。文章標(biāo)題中的“Chaos/混沌”一詞便在現(xiàn)代意義下正式出現(xiàn)在科學(xué)語匯之中。李天巖

JYorke2025/1/1179機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

1976年美國數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家梅(May)在美國《自然》雜志上發(fā)表的題為“具有極復(fù)雜的動力學(xué)的簡單數(shù)學(xué)模型”文章中指出，在生態(tài)學(xué)中一些非常簡單的確定性的數(shù)學(xué)模型卻能產(chǎn)生看似隨機的行為。如稱之為人口(或蟲口)方程，即著名的邏輯斯諦(Logistic)模型。該模型看來似乎很簡單，并且是確定性的，但參數(shù)

在一定范圍變化時，它卻具有極為復(fù)雜的動力學(xué)行為，其中包括了分岔和混沌，從而向人們表明了混沌理論的驚人信息。2025/1/1180機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)

1978年和1979年菲根鮑姆(FeigenbaumM)等人在梅的基礎(chǔ)上獨立地發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象中的標(biāo)度性和普適常數(shù)，從而使混沌在現(xiàn)代科學(xué)中具有堅實的理論基礎(chǔ)。2025/1/1181機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)艱苦研究六年，菲根鮑姆終于發(fā)現(xiàn)并證實了4.6692這個新的常數(shù)（菲根鮑姆常數(shù)）2025/1/1182機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)這一普適性的發(fā)現(xiàn)推動了二十世紀(jì)八、九十年代混沌運動的研究形成了一股科研熱潮。從它開始，物理學(xué)家以極大的熱情加入了這原本屬于數(shù)學(xué)家的研究領(lǐng)域，并在兩個方面起了重要作用：一是用觀察員的身份搜索了各種系統(tǒng)中的混沌運動極其特殊現(xiàn)象。二是從實用者的角度，探索了混沌運動現(xiàn)象在各個領(lǐng)域里的可能應(yīng)用。2025/1/1183機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1混沌的發(fā)現(xiàn)自此，混沌研究開始由純理論研究逐漸走向應(yīng)用研究，越來越多的控制工程、通信、生物醫(yī)學(xué)、機械等工程技術(shù)界的學(xué)者專家也開始加入這個原本主要是物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家們參加的純理論基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。所以說在各個領(lǐng)域的主要期刊中也有混沌方面的研究。

到目前為止，混沌理論已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容豐富、覆蓋面廣、成就卓著的研究領(lǐng)域，并在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中起到了重要作用，它的研究面之廣除了幾乎所有的自然科學(xué)界以外，還涉及到經(jīng)濟界、社會界、甚至哲學(xué)界等領(lǐng)域之中。2025/1/1184機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室2混沌的定義現(xiàn)代科學(xué)中的混沌：混沌是“無序中的有序”，有序是指其確定性，而無序則是指其最終結(jié)果的不可預(yù)測性。作為一個科學(xué)概念：一類確定性非線性系統(tǒng)長期動力學(xué)行為所表現(xiàn)出的似隨機性。數(shù)學(xué)上：混沌這一詞一直沒有一個統(tǒng)一的嚴(yán)格定義，目前關(guān)于混沌的定義至少有九種不同的描述方法，其中比較常用的有Li-Yorke,Devaney,Marotto意義下的三種混沌定義。

2025/1/1185機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室3混沌的特征第一個特征：對初始條件的敏感性

?蝴蝶效應(yīng)(butterflyeffect)第二個特征：不可預(yù)測性第三個特征：有界性和遍歷性

?亂中有序第四個特征：自我相似性

?分形(fractal)第五個特征：非周期性

?功率譜的連續(xù)與寬頻帶2025/1/1186機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室Folklore:

"Forwantofanail,theshoewaslost;丟了一個釘子，壞了一只蹄鐵；Forwantofashoe,thehorsewaslost;Forwantofahorse,theriderwaslost;Forwantofarider,amessagewaslost;Forwantofamessage,thebattlewaslost;Forwantofabattle,thekingdomwaslost!“壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，誤了一條消息；誤了一條消息，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國！第一個特征：對初始條件的敏感性3混沌的特征2025/1/1187機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室麻省理工學(xué)的氣象學(xué)家洛倫茲(EdwardLorenz)形容蝴蝶效應(yīng)，他說：南美洲亞馬遜河流域的熱帶雨林中一只蝴蝶，偶然煽動了翅膀，所引起的微弱氣流可能會造成一周后紐約的龍卷風(fēng)；也就是說，只要開始有一點點小小的差異，影響會隨著時間而擴大，造成后來南轅北轍的結(jié)果。第一個特征：對初始條件的敏感性3混沌的特征蝴蝶效應(yīng)(butterflyeffect)2025/1/1188機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第二個特征：不可預(yù)測性

3混沌的特征天體力學(xué)中平面三體問題很好地說明了這種內(nèi)隨機性。當(dāng)用計算機計算1個小質(zhì)量天體在2個等量大天體M1、M2所在平面的垂線上運動時，來回擺動若干次以后，行為變得隨機起來，人們再也無法預(yù)測它的位置、速度及回歸時間。2025/1/1189機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第三個特征：有界性和遍歷性Henon映射的混沌吸引子3混沌的特征有界性：混沌的運動軌線始終局限于一個確定的區(qū)域，這個區(qū)域稱為混沌吸引域。無論混沌系統(tǒng)內(nèi)部多么不穩(wěn)定，它的軌線都不會走出混沌吸引域。所以從整體上來說混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的。遍歷性：混沌運動在其混沌吸引域內(nèi)是各態(tài)歷經(jīng)的，即在有限時間內(nèi)混沌會到混沌區(qū)內(nèi)每一個狀態(tài)點。2025/1/1190機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室Henon映射的混沌吸引子第三特征：有界性和遍歷性3混沌的特征2025/1/1191機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第四個特征：自我相似性

?分形(fractal)3混沌的特征混沌運動狀態(tài)具有多葉、多層結(jié)構(gòu)，且葉層越分越細(xì)，表現(xiàn)為無限層次的自相似結(jié)構(gòu)。2025/1/1192機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室第五個特征：非周期性3混沌的特征混沌是一種不同于周期、準(zhǔn)周期或隨機運動的運動形式，它也具有非周期性，這就使得混沌信號在時間軸上表現(xiàn)出類似隨機的特性。它具有功率譜的連續(xù)與寬頻帶特性:混沌系統(tǒng)本身所具有的內(nèi)在隨機性則使得系統(tǒng)功率譜象隨機系統(tǒng)那樣也具有連續(xù)性，并有較好的寬頻特性。因此，利用傳統(tǒng)的頻譜分析工具難以區(qū)分混沌系統(tǒng)和隨機系統(tǒng)。2025/1/1193機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4走向混沌的道路

(1)倍周期分岔進入混沌一個系統(tǒng)，在一定條件下，經(jīng)過周期加倍，會逐步喪失周期行為而進入混沌。(2)陣發(fā)混沌進入混沌

陣發(fā)混沌是指系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時，在非平衡非線性的條件下，某些參數(shù)的變化達到某一臨界閾值時，系統(tǒng)會時而有序，時而混沌，在兩則之間振蕩，有關(guān)參數(shù)繼續(xù)變化，整個系統(tǒng)會由陣法混沌發(fā)展為混沌。⑶茹勒—泰肯（Ruelle—TaKens）道路

所謂茹勒—泰肯道路，就是指只要系統(tǒng)有三個以上的頻率互相耦合時，系統(tǒng)就出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

2025/1/1194機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4.1倍周期分岔

解釋倍周期分岔現(xiàn)象，我們從混沌描述中最重要的的一維非線性迭代方程式入手。這類方程中最有典型意義的是蟲口方程－邏輯斯蒂（Logistic）映射。

(1)

式中的是與蟲口增長率有關(guān)的控制參數(shù)，同時它的大小也反映了系統(tǒng)非線性的強弱。

當(dāng)時，不管初值是多少，經(jīng)過足夠長的迭代，結(jié)果都會達到同一個確定值

。這個值就叫做周期一或不動點，，我們可以把這一結(jié)果想象成每年的蟲口都一樣。

2025/1/1195機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4.1倍周期分岔繼續(xù)增大參數(shù)

，當(dāng)

>3，周期一點不再穩(wěn)定。初值稍有變化，迭代的結(jié)果就再也不會回到周期一點，而出現(xiàn)了周期二。例如：

當(dāng)時，0.7是周期一點?，F(xiàn)用0.669去迭代，就會出現(xiàn)周期二。迭代情況如下：0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799---0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830---0.470---0.830---0.470……

2025/1/1196機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4.1倍周期分岔現(xiàn)在，讓參數(shù)

再增大，當(dāng)

=3.449時，周期二解也變的不穩(wěn)定了，取而代之的是穩(wěn)定的周期四解。當(dāng)參數(shù)繼續(xù)增大，使得

=3.544時，周期四解又變的不穩(wěn)定了，取而代之的是穩(wěn)定的周期八解。一直迭代下去，還會出現(xiàn)周期十六、周期三十二等等。這就是著名的倍周期分岔現(xiàn)象。

2025/1/1197機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4.1倍周期分岔值得注意的是，周期倍增過程沒有限制，可以一直這樣分下去，但對應(yīng)的

值卻有一個極限

,，到達

,時，迭代的穩(wěn)定解是2

周期解---周期無窮大，也就是沒有周期。所以這時得到的是非周期解，迭代的數(shù)據(jù)到處亂跑，無法把握，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。2025/1/1198機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖4-1倍周期分岔圖

2025/1/1199機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖4-2混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)

2025/1/11100機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室圖4-3倍周期分岔譜圖

2025/1/11101機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室4.2陣發(fā)混沌(Intermittentchaos)

1979年，法國數(shù)學(xué)家玻木(Pomeau)和曼維爾(Manneville)在計算洛論茲方程的y分量時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)瑞利參數(shù)r在到達臨界值rc附近時y

分量的周期性變化被一種隨機的、突發(fā)性的沖擊所打斷。當(dāng)r<rc時，系統(tǒng)處于長時間周期運動狀態(tài)；當(dāng)r剛超過閾值rc時，開始偶爾出現(xiàn)一些突發(fā)性沖擊；隨著r數(shù)值的逐漸增長，這種突發(fā)性沖擊越來越頻繁，最后周期運動幾乎完全消失，系統(tǒng)進入完全隨機的運動狀態(tài)。陣發(fā)混沌即系統(tǒng)的運動在某些時間段落，十分接近周期過程，而在規(guī)則的運動段落之間，夾雜著看起來很隨機的跳躍---系統(tǒng)時而處于周期過程，時而處于非周期過程，呈現(xiàn)出“陣發(fā)”行為。2025/1/11機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室1025有趣的吸引子2025/1/11103機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室5有趣的吸引子

吸引子是指非線性系統(tǒng)最終形成的運動狀態(tài)在相空間中的不變流形或點集。例如，平衡，簡諧運動，亞簡諧運動，擬周期運動，相空間中其他點(運動狀態(tài))都被吸引到這些點集或不變流形中，故稱為吸引子。通俗地說，就是相空間（或狀態(tài)空間）中的圖形，它對系統(tǒng)施加了一種“磁鐵般的”吸引力，似乎要把系統(tǒng)都拉向它。2025/1/11104機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室5有趣的吸引子相空間（Phasespace）：是一個數(shù)學(xué)空間，是由描述動力學(xué)系統(tǒng)瞬態(tài)必不可少的狀態(tài)變量構(gòu)成的正交坐標(biāo)空間，也稱之為狀態(tài)空間。每一個狀態(tài)也稱為相，在相空間上的曲線稱為相軌跡?？山柚嬎銠C來描述系統(tǒng)的相軌跡2025/1/11105機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室5有趣的吸引子

例如，在直線上運動的質(zhì)點，幾何空間是一維的，而它的動力學(xué)描述則需要它的位置（x）和速度（v）兩個變量，因此它的相空間是一平面，即2維的。同樣，一個在3維幾何空間運動的質(zhì)點描述它的相空間是6維的，即3個位置變量和3個速度變量。

（1）相空間是一個數(shù)學(xué)空間，和幾何空間是有區(qū)別的。特點：2025/1/11106機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室5有趣的吸引子（2）描述一個相空間的狀態(tài)變量可以是不同的。例如上述的質(zhì)點運動就可以用動量（momenta）來代替速度：υ

→mυ

來畫圖。也可用狀態(tài)變量的疊加來畫圖，等等。2025/1/11107機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室（3）兩條代表能量及幾乎相等的相軌跡，可能相互十分接近，但是絕不會相交。5有趣的吸引子HyperchaoticChenAttractor2025/1/11108機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室具有吸引子的系統(tǒng)的運動形式：圖1平衡態(tài)圖2周期運動不動點極限環(huán)5有趣的吸引子2025/1/11109機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室具有吸引子的系統(tǒng)的運動形式：由有限個周期運動線性疊加而成，這些周期運動的周期中至少有兩個周期的比值為無理數(shù)。圖3擬周期運動環(huán)面5有趣的吸引子2025/1/11110機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室不動點、極限環(huán)和環(huán)面這三種類型的吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分別是0維、1維和2維。這類吸引子也稱為平凡吸引子。5有趣的吸引子①定態(tài)——相空間的定點吸引子（運動狀態(tài)可預(yù)測）（有阻尼單擺方程）②周期振蕩——極限環(huán)吸引子（運動狀態(tài)可預(yù)測）（范德玻耳方程）③混沌態(tài)——奇怪吸引子（運動狀態(tài)不可預(yù)測）（洛侖茲方程）2025/1/11111機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室奇怪吸引子奇怪吸引子是指非線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)在相空間中形成變化的流形或點集。也稱為混沌吸引子。5有趣的吸引子系統(tǒng)的狀態(tài)進入相應(yīng)吸引域內(nèi)，運動軌道都會向吸引子會聚，但是，一切到達吸引子后的軌道由于其對初始條件的敏感依賴性又會急劇的分離、發(fā)散，但仍要一直處在吸引域的界限之內(nèi)---軌道相互纏繞，來回穿行，永不相交。

2025/1/11112機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室奇怪吸引子中國科大的汪秉宏教授對奇怪吸引子的解釋是這樣的：

(1)它是一個吸引子。因而它具有吸引子的不變性、吸引性、可回復(fù)性和不可分解性。然而，有限個孤立的穩(wěn)定不動點集合或多周期的極限環(huán)并不構(gòu)成奇怪吸引子。至少必須是3維或3維以上的相空間中的動力學(xué)流的極限集合，才能構(gòu)成奇怪吸引子。5有趣的吸引子2025/1/11113機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室5有趣的吸引子例：洛侖茲吸引子—相曲線不閉和、不相交—運動為非周期性的，而且具有不可預(yù)測的隨機性。洛侖茲吸引子的數(shù)學(xué)模型

2025/1/11114機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室受迫單擺蔡氏電路化學(xué)反應(yīng)5有趣的吸引子其他奇怪吸引子2025/1/11115機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室6.1在通信領(lǐng)域的使用

6混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用通信在我們的生活中的作用越來越重要,尤其是電子商務(wù)的興起，對保密通信提出了更高的要求。利用混沌進行保密通信是現(xiàn)在十分熱門的研究課題?；煦缧盘栕畋举|(zhì)的特征是對初始條件極為敏感，并導(dǎo)致了混沌信號的類隨機特性。用它作為載波調(diào)制出來的信號當(dāng)然也具有類隨機特性。因而，調(diào)制混沌信號即使被敵方截獲，也很難被破譯，這就為混沌應(yīng)用于保密通信提供了有利條件。因此利用混沌進行保密通信是目前十分熱門的研究課題。

2025/1/11116機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室6混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用6.2在氣象學(xué)中的應(yīng)用

在近年的氣象研究中，利用混沌進行中期預(yù)報的研究。由于氣候系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，其初值問題的數(shù)值解是不確定的，研究氣候狀態(tài)的特征就要研究混沌態(tài)的特征，研究氣候系統(tǒng)的演變機制就要研究混沌態(tài)的變化。在這些研究中使用的數(shù)學(xué)工具主要是分形理論，如分?jǐn)?shù)維、