經濟數學課件：最優(yōu)配置與最佳效果分析

最優(yōu)配置與最佳效果分析名言拉普拉斯在數學中，我們發(fā)現真理的主要工具是歸納和模擬.故事在美國的一個鄉(xiāng)村，一個老農與兒子相依為命。一天，一個人找到了老農說：“我想把你的小兒子帶到城里去工作?！崩限r氣憤地說：“不行，絕對不行，你滾出去吧！”這個人說：“如果我在城里給你的兒子找個對象，可以嗎？”老農搖搖頭：“不行，快滾出去吧！”這個人又說：“如果我給你兒子找的對象，也就是你未來的兒媳婦是洛克菲勒的女兒呢？”老農想了又想，最終同意了。過了幾天，這個人找到了美國首富、石油大王洛克菲勒說：“我想給你的女兒找個對象?！甭蹇朔评照f：“快滾出去吧！”這個人又說：“如果我給你女兒找的對象，也就是你未來的女婿，他是世界銀行的副總裁，可以嗎？”洛克菲勒想了想，就同意了。又過了幾天，這個人找到了世界銀行總裁說：“你應該馬上任命一個副總裁！”總裁先生搖頭頭說：“不可能，這里這么多副總裁，我為什么還要任命一個副總裁呢，而且必須馬上？”這個人說：“如果你任命的這個副總裁是洛克菲勒的女婿，可以嗎？”總裁先生想了想，就同意了。當然，這只是一個虛構的小故事，卻告訴了我們一個道理，只有合理配置資源才能創(chuàng)造最大的價值。目錄安排生產問題及解決方案1.使用EXCEL求解線性規(guī)劃問題2.最優(yōu)配置問題典型案例3.進一步學習的數學知識：單純形法4.

引例：美國空軍為了保證士兵的營養(yǎng)，規(guī)定每餐的食品中，要保證一定的營養(yǎng)成份，例如蛋白質、脂肪、維生素等等，都有定量的規(guī)定。當然這些營養(yǎng)成分可以由各種不同的食物來提供，例如牛奶提供蛋白質和維生素，黃油提供蛋白質和脂肪，胡蘿卜提供維生素，等等。由于戰(zhàn)爭條件的限制，食品種類有限，又要盡量降低成本，于是在一盒套餐中，如何決定各種食品的數量，使得既能滿足營養(yǎng)成分的需求，又可以降低成本？一、問題引入第一節(jié)安排生產問題及解決方案

在本例中要利用有限的資源，去使得一份套餐既能滿足營養(yǎng)要求又可以降低成本。用數學語言來說，就是在一定的約束條件下，求線性函數的最大和最小值問題。更加廣義的來看待配餐問題，我們知道，現代的企業(yè)管理問題千變萬化，企業(yè)內部的生產計劃有各種不同的情況。從空間層次看，在工廠要根據外部需求和內部設備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制定產品的生產計劃，在車間級則要根據產品生產計劃、工藝流程、資源約束及費用參數等，以最小成本為目標制定生產批量計劃。而這類問題都可以通過建立相應的線性規(guī)劃模型來解決?！締栴}分析】第一節(jié)安排生產問題及解決方案

某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，要用3種不同的原料A、B、C．從工藝資料可知：每生產1噸甲產品，需耗用3種原料分別為1，1，0單位；生產1噸乙產品，需耗用3種原料分別為1，2，1單位．每天原料供應的能力分別為6，8，3單位．又知道每生產1噸甲產品，企業(yè)的利潤收入為300元，每生產1噸乙產品，企業(yè)利潤收入為400元．那么該企業(yè)應該如何安排生產計劃，使一天的總利潤最大呢？二、典型問題解決方案【問題1】第一節(jié)安排生產問題及解決方案

設企業(yè)每天生產甲產品為噸，生產乙產品為噸，稱，為決策變量，他們不能任意取值，要受到可供利用的原料資源數量的限制．又因為產品的產量一般是一個非負數，所以有，，稱為非負約束．【解決方案】第一節(jié)安排生產問題及解決方案對于原料

我們有如下的不等式：

上面得到的3種原料的線性不等式是決策變量，取值所必須滿足的條件，它們約束了決策變量，不能取任意值，稱它們?yōu)榧s束條件．由于生產1噸甲產品企業(yè)的利潤收入為300元，生產1噸乙產品企業(yè)的利潤收入為400

元．于是甲乙兩種產品的總利潤為它是決策變量的線性函數，并稱此函數為目標函數.

綜上所述，得到描述原問題的數學模型如下：第一節(jié)安排生產問題及解決方案同時，我們可看出（1）式是由三部分組成的：①一組決策變量；②一個線性目標函數；③一組線性約束方程．我們把滿足上述三個條件的最優(yōu)化問題稱為線性規(guī)劃問題，條件①、②、③稱為線性規(guī)劃問題的三要素．第一節(jié)安排生產問題及解決方案

在線性規(guī)劃問題中，滿足約束條件的解稱為可行解，所有可行解的集合稱為可行集；使目標函數取值最大或最小的可行解稱為最優(yōu)解，對應于最優(yōu)解的目標函數值稱為最優(yōu)值．第一節(jié)安排生產問題及解決方案案例1

求解線性規(guī)劃問題第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題一、典型案例二、解決方案

Excel具有強大的規(guī)劃求解功能，可以解決最多有200個變量，100個外在約束和400個簡單約束（決策變量整數約束的上下邊界）的線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問題．因此，可通過Excel的規(guī)劃求解功能實現問題的求解。第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題第一步：啟動Excel，在工作表中的A1，A2，A3，A10，E3，F3單元格中分別輸入文字“目標函數系數”，“決策變量”，“約束條件”，“目標函數值”，“約束條件左端的值”，“約束條件右端的值”；在B1，C1，D1單元格中輸入目標函數的系數1，-2，1，在B4，C4，D4單元格中輸入第一個約束條件的系數1，1，1；同理，在相應單元格中輸入其他約束條件的系數與約束條件右端的值，如下圖9-1所示：

三、Excel演算步驟第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題第二步：計算約束條件左端的值和目標函數值．因為約束條件左端的值等于約束條件的系數乘以相應的決策變量，所以在E4單元格中輸入公式“=B4*B2+C4*C2+D4*D2”，在E5單元格中輸入公式“=B5*B2+C5*C2+D5*D2”，依次類推在E9單元格中輸入公式“=B9*B2+C9*C2+D9*D2”；目標函數的值等于目標函數系數乘以決策變量，從而在D10單元格中輸入公式“=B1*B2+C1*C2+D1*D2”，如圖9-2所示．三、Excel演算步驟第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題第三步：單擊【工具】菜單中的【規(guī)劃求解】命令，在彈出的規(guī)劃求解對話框中輸入各項參數．（1）設置目標單元格和可變單元格

在“規(guī)劃求解參數”對話框中選中“最大值”前的單選按鈕，設置目標單元格為“$D$10”，可變單元格為“$B$2:$D$2”，如圖9-3所示．三、Excel演算步驟第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題（2）添加約束條件單擊【規(guī)劃求解參數】對話框中的【添加】按鈕，打開【添加約束】對話框，單擊單元格引用位置文本框，然后選定工作表中的E4單元格，則在文本框中顯示“$E$4”，選擇“<=”約束條件；單擊約束值文本框，然后選定工作表中的F4單元格，如圖9-4所示．三、Excel演算步驟第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題第四步：在【規(guī)劃求解參數】對話框中單擊【求解】按鈕，彈出圖9-5所示的【規(guī)劃求解結果】對話框，選中【保存規(guī)劃求解結果】單選按鈕．三、Excel演算步驟第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題

第五步：在【規(guī)劃求解結果】對話框中，單擊【確定】按鈕，工作表中就顯示出規(guī)劃求解的結果，如圖9-6所示．三、Excel演算步驟

從上圖可以很容易看出，當變量時，目標函數的最大值為．第二節(jié)使用Excel求解線性規(guī)劃問題

某機械廠需要長80厘米的鋼管800根，長60厘米的鋼管300根，這兩種長度不同的鋼管由長200厘米的鋼管截得．工廠該如何下料，使得用料最省?第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例案例1鋼管下料問題對于下料問題，首先必須從問題中找到可能的下料方式．本問題是要用長200厘米的鋼管截得長80厘米與60厘米兩種型號的鋼管，下料方式一共有三種：第一種下料方式是一根長200厘米的鋼管截得長80厘米的鋼管兩根；第二種下料方式是一根長200厘米的鋼管截得長80厘米的鋼管一根與長60厘米的鋼管兩根；第三種下料方式是一根長200厘米的鋼管截得長60厘米的鋼管三根．知道了下料方式以后，我們分情況討論即可得到下料問題的數學規(guī)劃模型?！締栴}分析】

決策變量：設三種下料方式用掉長200厘米的鋼管分別為,,根．【模型建立】目標函數：用掉的長200厘米的鋼管數量最少，即約束條件：對于所需長80厘米的鋼管：第一種下料方式截得根，第二種下料方式截得根，共截得根，它不能少于所需數量

800根，即第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例對于所需長60厘米的鋼管：第二種下料方式截得第三種下料方式截得根，共截得根，根，它不能少于所需數量200根，即非負約束：又考慮到都是根數，因而它們取值只能是正整數或零，表示為：第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例綜上所述，得鋼管下料問題的數學規(guī)劃模型為：第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例【模型求解】第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計算約束條件左端的值和目標函數值，如圖9-8所示：第二步：單擊【工具】菜單下的【規(guī)劃求解】選項，在彈出的規(guī)劃求解對話框中輸入各項參數．（1）設置目標單元格和可變單元格第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例【模型求解】

（2）添加約束條件考慮到，，都是根數，因而它們的取值只能是正整數或零，所以添加約束條件時需添加可變單元格等于整數．單擊單元格引用位置，然后選中B2單元格，在單元格引用位置會出現“$B$2”，約束條件選擇“int”，如圖9-10．依次方法添加決策變量，的整數約束條件．第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例【模型求解】第三步：單擊【求解】按鈕，彈出【規(guī)劃求解結果】對話框，同時結果顯示在工作表中，如圖9-11所示．即用350根長200厘米的鋼管用于第一種方式的下料，用100根200厘米的鋼管用于第二種方式的下料，總共需要用到的鋼管數量為450根．第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例

某市有甲、乙、丙、丁四個居民區(qū)，自來水由三個水庫供應，四個區(qū)每天必須得到保證的基本生活用水量分別為30，70，10，10千噸，但由于水源緊張，三個水庫每天最多只能供應50，60，50千噸自來水．由于地理位置的差別，自來水公司從各水庫向各區(qū)送水所付出的引水管理費不同.其他管理費都是450元/千噸．根據公司規(guī)定，各區(qū)用戶按照統(tǒng)一標準900元/千噸收費．此外，四個區(qū)都向公司申請了額外用水量，分別為每天50，70，20，40千噸．該公司如何分配供水量，才能獲利最多？案例2自來水運送問題(運輸問題)第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例引水管理費（元/千噸）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230【模型建立】

決策變量：

假設三個水庫

分別向甲、乙、丙、丁四區(qū)的供水量為.由于水庫與丁之間沒有輸水管道，即，此只有11個決策變量．

第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例目標函數：問題的目標可以從獲利最多轉化為引水管理費最少，于是有第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例約束條件：約束條件有兩類：一類是水庫的供應量限制，另一類是各區(qū)的需求量限制．由于供應量總能賣出并獲利，水庫的供應量限制可以表示為：考慮到各區(qū)的基本生活用水與額外用水量，需求量限制可以表示為：第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例綜上所述，得自來水運送問題的數學規(guī)劃模型為：第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例【模型求解】第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計算約束條件左端的值和目標函數值．本例中決策變量有12個，在Excel工作表中B2至M2單元格，分別表示決策變量（束條件左端的值和目標函數的值，如圖9-12所示．)，然后輸入各個約束條件（包括非負條件）的系數，同時計算約第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例【模型求解】第二步：在彈出的【規(guī)劃求解參數】對話框中輸入參數．單擊【求解】按鈕，得到圖9-13所示結果．因此，最佳送水方案為：

水庫向乙區(qū)供應50千噸，

水庫向乙、丁區(qū)分別供應50，10千噸，

水庫向甲、丙區(qū)分別供應40，10千噸．第三節(jié)最優(yōu)配置問題典型案例第四節(jié)進一步學習的數學知識：單純形法一、線性規(guī)劃問題的標準型

線性規(guī)劃問題的標準型主要是針對線性規(guī)劃問題的約束條件而言的，具體表現形式為：其中皆非負．

一、線性規(guī)劃問題的標準型

在解決實際問題時，根據實際問題建立的模型常常不是標準型，那么如何把一個線性規(guī)劃問題轉化為標準型呢？(1)若求目標函數

的最小值，則引進新的目標函數

(2)若約束條件中含有線性不等式約束，則需要引進新的非負變量，把線性不等式約束化為線性等式約束，這樣引進的新非負變量稱為松弛變量．(a)當約束條件是時，在不等式左端加上松弛變量，將不等式約束化為等式約束．(b)當約束條件是時，在不等式左端加上松弛變量，將不等式約束化為等式約束．第四節(jié)進一步學習的數學知識：單純形法一、線性規(guī)劃問題的標準型

(3)若約束條件中線性等式約束的常數項為負值，則將該約束條件兩端同時乘以，使得常數項為正值．(4)若對某一變量無約束，可令作變量替換,使得對全部變量皆有非負限制．第四節(jié)進一步學習的數學知識：單純形法二、單純形法的原理與步驟例

運用單純形法求解線性規(guī)劃問題第四節(jié)進一步學習的數學知識：單純形法第一步：引進松弛變量，將所給線性規(guī)劃問題化為標準型：第二步：用非基變量表示基變量和目標函數，求出一個基本可行解．由（2）可知：

，令各非基變量等于0,即，得到基變量

，它