重慶市主城區(qū)2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（原卷版）

第6頁(yè)/共6頁(yè)高2024屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)（第一次）數(shù)學(xué)試卷（數(shù)學(xué)試題卷共6頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡指定位置上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中i為虛數(shù)單位，則等于（）Ai B. C.1 D.2.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.3.2023年10月31日，神州十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對(duì)航天熱愛(ài).某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）A. B.C. D.4.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱(chēng)于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開(kāi)式可知，與的值最接近的是（）A. B.C. D.5.已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（）A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.7486.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：，且時(shí)，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.7.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉樣物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A.50 B.36 C.26 D.14二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A B.C. D.10.已知函數(shù)，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.11.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）AB.存在C.不存在以為直徑且經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的圓D.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為或12.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)平面B.當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面夾角的正弦值為D.當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面面積為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量滿(mǎn)足，則________．14.已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的最大值為_(kāi)_______．15.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則________；若數(shù)列滿(mǎn)足，則的最小值是________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.在梯形中，為鈍角，，．（1）求；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．18.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19.實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某市電動(dòng)汽車(chē)的銷(xiāo)售情況，調(diào)查了該市某電動(dòng)汽車(chē)企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號(hào)x123456產(chǎn)值y/百萬(wàn)輛91830515980（1）若用模型擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）；（2）為了進(jìn)一步了解車(chē)主對(duì)電動(dòng)汽車(chē)的看法，從某品牌汽車(chē)4S店當(dāng)日5位購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)和3位購(gòu)買(mǎi)燃油汽車(chē)的車(chē)主中隨機(jī)選取4位車(chē)主進(jìn)行采訪(fǎng)，記選取的4位車(chē)主中購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)的車(chē)主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：，其中．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率截距的最小二乘估計(jì)分別為．20.如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為．（ⅰ）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（ⅱ）設(shè)為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，求滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)組成的軌跡的長(zhǎng)度．21.已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡