春考集合數(shù)學(xué)試卷

春考集合數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列集合中，屬于空集的是（）

A.{x|x<0,x∈R}

B.{x|x>0,x∈R}

C.{x|x≥0,x∈R}

D.{x|x≠0,x∈R}

2.設(shè)集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.設(shè)集合A={x|x∈N，x≤5}，集合B={x|x∈N，x≤3}，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

4.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-3x+2=0}，則集合A的元素個(gè)數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-2x+1=0}，集合B={x|x∈R，x2-2x+1≠0}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-3x+2=0}，集合B={x|x∈R，x2-3x+2≠0}，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-4x+3=0}，集合B={x|x∈R，x2-4x+3≠0}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-2x+1=0}，集合B={x|x∈R，x2-2x+1≠0}，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-5x+6=0}，集合B={x|x∈R，x2-5x+6≠0}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-6x+9=0}，集合B={x|x∈R，x2-6x+9≠0}，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、判斷題

1.集合的并集包含原集合中所有的元素，而交集只包含兩個(gè)集合共有的元素。（）

2.任何集合與其自身的交集都是空集。（）

3.如果集合A包含集合B，那么集合B的子集也是集合A的子集。（）

4.如果兩個(gè)集合的交集為空集，那么這兩個(gè)集合一定互斥。（）

5.每個(gè)自然數(shù)集合都是其自身的真子集。（）

三、填空題

1.設(shè)集合A={x|x∈N，x≤5}，集合B={x|x∈N，x≤3}，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是______。

2.集合{1,2,3,4,5}的補(bǔ)集在全集R中的表示為______。

3.若集合A={x|x∈R，x2-2x+1=0}，則集合A的對(duì)稱差集與集合B={x|x∈R，x2-2x+1≠0}的交集是______。

4.集合A={x|x∈Z，-3≤x≤3}的冪集的元素個(gè)數(shù)是______。

5.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-4x+3=0}，則集合A的子集個(gè)數(shù)是______。

四、簡答題

1.簡述集合論的基本概念，包括集合、元素、子集、真子集、空集、全集、交集、并集和補(bǔ)集。

2.解釋什么是集合的相等性，并給出兩個(gè)集合相等的條件。

3.舉例說明什么是集合的包含關(guān)系，并解釋如何判斷兩個(gè)集合是否為全等集合。

4.如何理解集合的冪集？請(qǐng)給出一個(gè)集合的冪集的例子，并說明其元素個(gè)數(shù)。

5.集合運(yùn)算中，并集、交集和補(bǔ)集的性質(zhì)有哪些？請(qǐng)分別列舉并解釋至少兩個(gè)性質(zhì)。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列集合的并集和交集：

設(shè)集合A={1,3,5,7}，集合B={2,4,6,8}，求A∪B和A∩B。

2.設(shè)集合A={x|x∈N，2≤x≤6}，集合B={x|x∈N，x是3的倍數(shù)}，求A∪B和A∩B。

3.計(jì)算集合A={x|x∈Z，-5≤x≤5}的補(bǔ)集A'，并求集合A與其補(bǔ)集A'的并集和交集。

4.設(shè)集合A={x|x∈R，x2-3x+2=0}，集合B={x|x∈R，x2-3x+2≠0}，求A∪B和A∩B。

5.設(shè)集合A={x|x∈N，x2≤100}，集合B={x|x∈N，x≤10}，求A∪B和A∩B，并計(jì)算A∪B的元素個(gè)數(shù)。

六、案例分析題

1.案例分析題：某學(xué)校舉辦數(shù)學(xué)競賽，參賽學(xué)生按照年級(jí)分為三個(gè)集合，分別為高一年級(jí)集合A、高二年級(jí)集合B和高三年級(jí)集合C。已知參加競賽的學(xué)生中，高一年級(jí)有30人，高二年級(jí)有20人，高三年級(jí)有15人。其中，高一年級(jí)和高二年級(jí)共有8人同時(shí)參加，高二年級(jí)和高三年級(jí)共有5人同時(shí)參加，但沒有人同時(shí)參加三個(gè)年級(jí)的競賽。

（1）請(qǐng)根據(jù)上述信息，列出三個(gè)年級(jí)學(xué)生的集合A、B和C，并計(jì)算它們的并集、交集和補(bǔ)集。

（2）如果學(xué)校計(jì)劃對(duì)參賽學(xué)生進(jìn)行表彰，需要找出所有參賽學(xué)生的集合，請(qǐng)計(jì)算這個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)。

2.案例分析題：某圖書館藏書分類如下：文學(xué)類、歷史類、科學(xué)類、藝術(shù)類和其他類。圖書館為了統(tǒng)計(jì)各類書籍的借閱情況，將借閱記錄分為以下集合：

-集合A：借閱文學(xué)類書籍的讀者

-集合B：借閱歷史類書籍的讀者

-集合C：借閱科學(xué)類書籍的讀者

-集合D：借閱藝術(shù)類書籍的讀者

-集合E：借閱其他類書籍的讀者

已知以下信息：

-借閱至少一種文學(xué)或歷史書籍的讀者有45人

-借閱至少一種科學(xué)或藝術(shù)書籍的讀者有30人

-借閱文學(xué)書籍的讀者有20人，其中也有5人同時(shí)借閱了歷史書籍

-借閱科學(xué)書籍的讀者有10人，其中也有5人同時(shí)借閱了藝術(shù)書籍

-沒有人同時(shí)借閱了文學(xué)和科學(xué)書籍

（1）請(qǐng)根據(jù)上述信息，列出每個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)。

（2）計(jì)算所有借閱過書籍的讀者的集合的元素個(gè)數(shù)。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某班級(jí)共有50名學(xué)生，其中有20名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，15名學(xué)生參加物理競賽，10名學(xué)生同時(shí)參加了數(shù)學(xué)和物理競賽。請(qǐng)問：

（1）沒有參加任何競賽的學(xué)生有多少人？

（2）至少參加了一門競賽的學(xué)生有多少人？

（3）如果要求計(jì)算只參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生人數(shù)，應(yīng)該如何計(jì)算？

2.應(yīng)用題：一個(gè)圖書館的藏書分為小說、科普、歷史和藝術(shù)四個(gè)類別。已知：

-小說類藏書有1200冊(cè)

-科普類藏書有800冊(cè)

-歷史類藏書有500冊(cè)

-藝術(shù)類藏書有400冊(cè)

-小說和歷史類藏書共1800冊(cè)

-科普和藝術(shù)類藏書共1000冊(cè)

-科普和歷史類藏書共600冊(cè)

請(qǐng)問：

（1）藝術(shù)類藏書占圖書館總藏書量的百分比是多少？

（2）如果圖書館計(jì)劃重新分類，將小說和科普類合并為一個(gè)類別，其他類別保持不變，請(qǐng)問新的分類下，每個(gè)類別的大致藏書量是多少？

3.應(yīng)用題：一個(gè)城市有五個(gè)不同的商業(yè)區(qū)，分別為A、B、C、D和E。以下是對(duì)這些商業(yè)區(qū)居民消費(fèi)習(xí)慣的調(diào)查結(jié)果：

-在A區(qū)居住的居民中有60%的人每周至少去B區(qū)購物一次

-在B區(qū)居住的居民中有70%的人每周至少去C區(qū)購物一次

-在C區(qū)居住的居民中有50%的人每周至少去D區(qū)購物一次

-在D區(qū)居住的居民中有80%的人每周至少去E區(qū)購物一次

-在E區(qū)居住的居民中有40%的人每周至少去A區(qū)購物一次

請(qǐng)問：

（1）至少有多少比例的居民每周至少去兩個(gè)不同的商業(yè)區(qū)購物？

（2）如果所有居民中，有20%的人每周去所有五個(gè)商業(yè)區(qū)購物，那么這個(gè)城市有多少居民？

4.應(yīng)用題：一個(gè)班級(jí)的學(xué)生被分為三個(gè)學(xué)習(xí)小組，分別為數(shù)學(xué)小組A、物理小組B和化學(xué)小組C。以下是對(duì)這些小組成員的學(xué)習(xí)情況的調(diào)查結(jié)果：

-數(shù)學(xué)小組A中有40%的學(xué)生也加入了物理小組B

-物理小組B中有30%的學(xué)生也加入了化學(xué)小組C

-化學(xué)小組C中有20%的學(xué)生也加入了數(shù)學(xué)小組A

-沒有學(xué)生同時(shí)屬于所有三個(gè)小組

請(qǐng)問：

（1）至少有多少比例的學(xué)生屬于至少兩個(gè)學(xué)習(xí)小組？

（2）如果班級(jí)共有30名學(xué)生，那么每個(gè)小組大約有多少名學(xué)生？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.A

2.B

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.B

9.C

10.D

二、判斷題答案

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空題答案

1.5

2.{x|x∈R，x∈?}

3.{x|x∈R，x2-2x+1≠0}

4.32

5.2^5-1=31

四、簡答題答案

1.集合論的基本概念包括集合、元素、子集、真子集、空集、全集、交集、并集和補(bǔ)集。集合是由確定的、互不相同的元素組成的整體。元素是集合的組成部分。子集是指一個(gè)集合的所有元素都屬于另一個(gè)集合。真子集是指一個(gè)集合的所有元素都屬于另一個(gè)集合，且至少有一個(gè)元素不屬于另一個(gè)集合。空集是不包含任何元素的集合。全集是包含所有元素的集合。交集是指兩個(gè)集合共有的元素組成的集合。并集是指兩個(gè)集合中所有元素組成的集合。補(bǔ)集是指全集與某個(gè)集合的差集。

2.兩個(gè)集合相等是指它們包含相同的元素。兩個(gè)集合相等的條件是：它們的元素完全相同，且元素的數(shù)量相等。

3.包含關(guān)系是指一個(gè)集合的所有元素都屬于另一個(gè)集合。判斷兩個(gè)集合是否為全等集合的方法是：比較它們的元素是否完全相同。

4.每個(gè)集合的冪集是指包含該集合所有子集的集合。例如，集合{1,2}的冪集是{?,{1},{2},{1,2}}。冪集的元素個(gè)數(shù)是2^n，其中n是原集合的元素個(gè)數(shù)。

5.集合運(yùn)算的性質(zhì)包括：

-交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A

-結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

-分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

-吸收律：A∪A=A，A∩A=A

-德摩根定律：A∪B'=(A∩B)'，A∩B'=(A∪B)'

五、計(jì)算題答案

1.A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8}，A∩B={2,3,4,5}

2.A∪B={2,3,4,5,6}，A∩B={3}

3.A'={x|x∈Z，x∈R，x?[-5,5]}，A∪A'=R，A∩A'=?

4.A∪B={x|x∈R，x2-3x+2=0}，A∩B={x|x∈R，x2-3x+2≠0}

5.A∪B={x|x∈N，x2≤100}，A∩B={x|x∈N，x≤10}，A∪B的元素個(gè)數(shù)為16

六、案例分析題答案

1.（1）A={x|x∈N，1≤x≤6}，B={x|x∈N，3≤x≤6}，C={x|x∈N，6≤x≤9}，A∪B={x|x∈N，1≤x≤9}，A∩B={x|x∈N，3≤x≤6}，A'={x|x∈N，x<1或x>9}，A∪A'=N，A∩A'=?

（2）所有參賽學(xué)生的集合為A∪B∪C，元素個(gè)數(shù)為30+20+15-8-5=52

2.（1）A=20+5=25，B=10+5=15，C=5，D=10+5=15，E=500-5-10-5=480，A∪B=25+15=40，A∪C=25+5=30，A∪D=25+15=40，A∪E=25+480=505，A∪B∪C∪D∪E=505

（2）所有借閱過書籍的讀者的集合為A∪B∪C∪D∪E，元素個(gè)數(shù)為505

七、應(yīng)用題答案

1.（1）沒有參加任何競賽的學(xué)生有50-(20+15-10)=25人

（2）至少參加了一門競賽的學(xué)生有20+15-10=25人

（3）只參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生人數(shù)為20-10=10人

2.（1）藝術(shù)類藏書占總藏書量的百分比為400/(1200+800+500+400)=20%

（2）新的分類下，小說和科普類合并為一個(gè)類別，大約有1200+800=2000冊(cè)，歷史類500冊(cè)，藝術(shù)類400冊(cè)，其他類500冊(cè)

3.（1）至少有60%的居民每周至少去兩個(gè)不同的商業(yè)區(qū)購物

（2）所有居民中有20%的人每周去所有五個(gè)商業(yè)區(qū)購物，居民總數(shù)為30/0.2=150人

4.（1）至少有40%的學(xué)生屬于至少兩個(gè)學(xué)習(xí)小組

（2）每個(gè)小組大約有10名學(xué)生

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及各題型考察知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)集合基本概念和運(yùn)算的理解，如集合的元素、子集、并集、交集和補(bǔ)集等。

2.判斷題：考察學(xué)生對(duì)集合基本概念和性