2023-2024學(xué)年北京市九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期中分類匯編：新定義（原卷版）

2023-2024學(xué)年北京市九年級上期中數(shù)學(xué)分類一一新定義

1.(2023秋?清華附中期中)在平面直角坐標系xOy中，線段48=4,點M,N在線段N5上，且兒加=2,

產(chǎn)為AW的中點，如果任取一點。，將點。繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)180°得到點。'，則稱點為點0關(guān)

于線段的“旋平點”.

(1)如圖1,已知/(-1,0),B(3,0),Q(1,2),如果。'(a,b)為點。關(guān)于線段的“旋

平點”，畫出示意圖，寫出。的取值范圍；

(2)如圖2,。。的半徑為3,點力,3在。。上，點。(1,0),如果在直線x=%上存在點。關(guān)于線

段的“旋平點”，求加的取值范圍.

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2.（2023秋?北京四中期中）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為正.對于平面內(nèi)一點/,若存在邊

長為1的等邊△A8C,滿足點2在OO上，且。C2。/,則稱點/為。。的“近心點”，點C為。。的“遠

心點

（1）下列各點：。（-3,0）,E（0,1+V3）,F）,G（l,-&）中，。。的“近心點”

有

（2）設(shè)點。與。。的“遠心點”之間的距離為1,求d的取值范圍；

（3）直線y="lx+b（b〉0）分別交X，y軸于點跖M,且線段7W上任意一點都是。。的“近心

3

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3.(2023秋?北京八中期中)在平面直角坐標系xQy中，對于點尸(不在坐標軸上)給出如下定義：以尸

為圓心，為半徑的OP與y軸的另一個交點為。，若在線段。0,OP上分別存在點M,N,使得△

MVP為等腰直角三角形，其中/尸血W=90°,則稱點P是完美點.

如圖，若點尸的坐標為點(1,3),則在線段O。，OP上分別存在點“(0,5),N(2,6),使得△

MVP為等腰直角三角形，其中/PMN=90°,所以點P(1,3)是完美點.

(1)下列點中是完美點的有(填序號)；

①N(3,1)；

②3(2,2).

(2)已知P(m,〃)為拋物線＞=/上一點，若P為完美點，求機的取值范圍；

(3)已知直線/：y=x+2,點/為直線/上一點，若以N(xo,jo)為圓心，半徑為1的。/上無完美

點，求xo的取值范圍.

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4.(2023秋?北京二中期中)對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點尸和點°,給出如下定義：若滿足點。繞點

尸旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<180°)后落在半徑為1的圓。上，則稱點。是點尸的關(guān)聯(lián)點.

已知點/的坐標為(4,3).

(1)點Bi(4,0)、&(-2,3)、B3(6,-1)中是點/的關(guān)聯(lián)點的是；

(2)點(m,0)是點/的關(guān)聯(lián)點，求力的取值范圍；

(3)已知直線>=-x+b交坐標軸于M、N兩點，若線段上的所有點都是點/的關(guān)聯(lián)點，直接寫出

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5.（2023秋?匯文中學(xué)期中）在平面直角坐標系xOy中，對于兩個點P,。和圖形少，如果在圖形少上存

在點N（M,N可以重合）使得那么稱點P與點。是圖形少的一對平衡點.

（1）如圖1,已知點/（0,3）,B（2,3）；

①設(shè)點O與線段上一點的距離為d,則d的最小值是,最大值是；

②在尸1（3,0）,P2（l，4）,己（-3,0）這三個點中，與點。是線段的一對平衡點的是；

2

（2）如圖2,已知的半徑為1,點。的坐標為（5,0）.若點￡（x,2）在第一象限，且點。與點

￡是。。的一對平衡點，求x的取值范圍；

（3）如圖3,已知點〃（-3,0）,以點。為圓心，?！ㄩL為半徑畫弧交x的正半軸于點K.點C

b）（其中620）是坐標平面內(nèi)一個動點，且OC=5,。。是以點C為圓心，半徑為2的圓，若黃上的

任意兩個點都是OC的一對平衡點，直接寫出b的取值范圍.

圖2

圖3

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6.(2023秋?人大附中朝陽學(xué)校期中)在平面直角坐標系xQy中，圖形少上任意兩點間的距離有最大值，

將這個最大值記為乩對點尸及圖形少給出如下定義：點0為圖形少上任意一點，若尸，。兩點間的

距離有最大值，且最大值恰好為2d.則稱點P為圖形少的“倍點”.

(1)如圖1,圖形沙是半徑為1的OO.

①圖形少上任意兩點間的距離的最大值d為;

②在點為(0,2),尸2(3,3),尸3(-3,0)中，的“倍點”是；

(2)如圖2,圖形水是中心在原點的正方形48CD,點/(-1,1).若點E(t,3)是正方形/BCD

的“倍點”，求才的值；

(3)圖形少是長為2的線段MN,7為九加的中點，若在半徑為6的。。上存在線段的“倍點”，

直接寫出所有滿足條件的點7組成的圖形的面積.

圖1圖2

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7.(2023秋?八十中學(xué)期中)在平面直角坐標系宜打中，。。的半徑為1.對于點4和線段8C,給出如下

定義：若將線段5c繞點/旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦夕C，C分別是比C的對應(yīng)點)，則稱線

段8C是。。的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖，點N,Bi,Ci,Bi,。2,B3,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段BiCi,52c2,33c3中，

的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)△/8C是邊長為1的等邊三角形，點/(0,力，其中/W0.若2C是OO的以點/為中心的''關(guān)

聯(lián)線段”，求才的值；

(3)在△/8C中，AB=1,/C=2.若2。是OO的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出。區(qū)的最

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8.（2023秋?陳經(jīng)綸中學(xué)期中）對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)?，當其自變量的值為p時，其

函數(shù)值等于P，則稱〃為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值

之差4稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地，當函數(shù)只有一個不變值時，其不變長度“為零.例如，圖中

的函數(shù)有0,1兩個不變值，其不變長度q等于L

（1）函數(shù)①y=2x,②y=/+l,③y=7-2x中存在不變值的是（填序號）；

（2）函數(shù)y=2x2-6x.

①若其不變長度為0,則b的值為；

②若1W6W3,求其不變長度g的取值范圍；

（3）記函數(shù)y=/-2x（X*）的圖象為Gi,將Gi沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2，函數(shù)G

的圖象由G1和G2兩部分組成，若其不變長度q滿足0Wq<3,則〃？的取值范圍

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9.（2023秋?陳經(jīng)綸中學(xué)望京分校期中）在平面直角坐標系xOy中，圖形M上任意兩點間的距離若有最大

值，將這個最大值記為d.對于點尸和圖形M給出如下定義：點0是圖形〃上任意一點，若尸，。兩點

間的距離有最小值，且最小值恰好為力則稱點尸為圖形/的“等距點”.

（1）如圖1,圖形M是矩形495C,其中點4的坐標為（0,3）,點。的坐標為（4,3）,則d=.在

點尸1（-1,0）,尸2（2,8）,ft（3,1）,p4（-721,-2）中，矩形％。5c的“等距點”是;

（2）如圖2,圖形M是中心在原點的正方形QMG,其中。點的坐標為（1,1）.若直線y=x+b上存

在點P,使點尸為正方形。EFG的“等距點”，求b的取值范圍；

（3）已知點M（l,0）,N（0,M）.圖形"是以T（30）為圓心，1為半徑的。T.若線段MN上

存在點P,使點尸為0T的“等距點”，直接寫出/的取值范圍.

88

77

66

55

44

33

22

-S-4-3-2^1^2345a;-7-6-5-4-3-2-11^2345a;

-2

-3

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10.(2023秋?首師大附中朝陽學(xué)校期中)我們規(guī)定，以二次函數(shù)y=a/+6x+c的二次項系數(shù)。的2倍為一

次項系數(shù)，一次項系數(shù)6為常數(shù)項構(gòu)造的一次函數(shù)y=2ax+6叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)"，

反過來，二次函數(shù)y=ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y=2ax+6的“母函數(shù)".

(1)若一次函數(shù)y=2x-4是二次函數(shù)y=ax2+6x+c的“子函數(shù)"，且二次函數(shù)經(jīng)過點(3,0),求此二

次函數(shù)的解析式及頂點坐標.

(2)若“子函數(shù)"y=x-6的“母函數(shù)”的最小值為1,求“母函數(shù)”的函數(shù)表達式.

(3)已知二次函數(shù)y=-/-4x+8的“子函數(shù)”圖象直線/與x軸、y軸交于C、D兩點,尸點在直線

/上方的拋物線上，求△尸CD的面積的最大值.

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11.（2023秋?牛欄山一中實驗學(xué)校期中）將平面直角坐標系xOy中的一些點分為兩類，滿足每類至少包含

兩個點.對于同一類中的任意兩點P（XI,yi）,Q（X2,夕2）,稱陽-X2|與歷-"I中的最大值為點尸和點

。的“聯(lián)絡(luò)量”，記作||尸，211.將每類能得到的最大聯(lián)絡(luò)量作為該類的“代表量”，定義代表量中的最

大值為這種分類的“類籌”.

如圖，點/,B,C,D,￡的橫、縱坐標都是整數(shù).

（1）①點/,C,D,E,O,與點、B“聯(lián)絡(luò)量”是2的有；

②點M在平面上運動，已知將點。，E,M分在同一類時“代表量”是5,則動點M所在區(qū)域的面積

為：

（2）已知二次函數(shù)y=4（x-A）2一3上的任一點K均滿足將點4B,C,D,E,K分為兩類的最小

“類籌”大于4,直接寫出h的取值范圍

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12.(2023秋?三帆中學(xué)期中)設(shè)7是平面內(nèi)的幾何變換，它使得平面內(nèi)任意一點尸都有唯一的對應(yīng)點P,

從而使任何圖形G都能經(jīng)過變換T得到另一圖形G'.在此基礎(chǔ)上：

若點P的對應(yīng)點是它本身，則稱點P是變換T的不動點；

若圖形G經(jīng)過變換T后得到的圖形仍然是它本身，則稱圖形G是變換T的不動圖形.

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點/(1,1),B(0,2),C(2,0).

(1)變換乃：先關(guān)于y軸對稱，再將坐標為(a,6)的點變?yōu)辄c(4-a,b).

①若點/在經(jīng)過變換刀后得到點H,貝144,=；

②有下列圖形：

(A)過點N且平行于x軸的直線；

(3)開口向下，且以2為頂點的拋物線；

(C)以點C為圓心的半徑為1的圓.

其中是變換為的不動圖形的是;

(2)變換？2：先關(guān)于直線y=fcr+l對稱，再關(guān)于y軸對稱.

請判斷點3、點C中哪個點經(jīng)過變換為后可能得到點力,并求出此時k的值;

(3)變換乃：先繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,再繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°.

①以C為圓心作半徑為:?的圓，若。。上存在點它經(jīng)過變換乙后的對應(yīng)點恰好在x軸上，直接寫

出r的取值范圍；

②變換「3是否有不動點？若有，寫出其不動點的坐標；若沒有，說明理由.

3-3-

2-B2-B

1?A]-?A

1,C,,>????,,C,，,

-4-3-2-101234立一4—3-2—1。1234力

-1一1-

-2

-3

-4

備用圖

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13.(2023秋?鐵路二中級期中)在平面直角坐標系xQy中，對于點R和線段尸。，給出如下定義：M為線

段尸。上任意一點，如果凡初兩點間的距離的最小值恰好等于線段尸。的長，則稱點R為線段尸。的

“等距點”.

(1)已知點/(5,0).

①在點21(-3,4),Bi(1,5),Bi(4,-3),B4(3,6)中，線段OA的“等距點”是；

②若點C在直線y=2x+5上，并且點C是線段OA的“等距點”，求點C的坐標；

(2)已知點D(1,0),點E(0,-1),圖形少是以點TC,0)為圓心，1為半徑的位于x軸及

x軸上方的部分.若圖形沙上存在線段DE的“等距點”，直接寫出/的取值范圍.

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14.（2023秋?東城區(qū)景山學(xué)校期中）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,點N在。。上，點尸在

OO內(nèi)，給出如下定義：連接4P并延長交。。于點3,若AP=kAB,則稱點尸是點/關(guān)于O。的左倍

特征點.

（1）如圖，點/的坐標為（1,0）.

①若點P的坐標為（-工，0）,則點尸是點/關(guān)于。。的倍特征點；

2

②在C1（0,工），C2（X0）,C3（X-1）這三個點中，點是點/關(guān)于。。的上倍特

22222

征點；

③直線/經(jīng)過點/,與y軸交于點。，/。/0=60°.點￡在直線/上，且點￡是點/關(guān)于的上倍

2

特征點，求點￡的坐標；

（2）若當左取某個值時，對于函數(shù)y=-x+1的圖象上任意一點M,在。。上都存在點N,

使得點”是點N關(guān)于。。的k倍特征點，直接寫出k的最大值和最小值.

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15.(2023秋?東直門中學(xué)期中)在平面直角坐標系xOy中，的半徑為1,尸是。。外一點，給出如下

的定義：若在。。上存在一點T,使得點尸關(guān)于某條過點7的直線對稱后的點0在。。上，則稱0為

點尸關(guān)于。。的關(guān)聯(lián)點.

(1)當點P在直線y=2x上時.

①若點尸(1,2),在點Q零)，0(0,1),0(1,0)中，點P關(guān)于O。的關(guān)聯(lián)點

是;

②若尸關(guān)于。。的關(guān)聯(lián)點。存在，求點尸的橫坐標,的取值范圍.

(3)已知點A(2,1-)＞動點〃滿足若“關(guān)于。。的關(guān)聯(lián)點N存在，直接寫出的取值

范圍.

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16.(2023秋?廣渠門中學(xué)期中)定義：在平面直角坐標系中，有一條直線x=m,對于任意一個函數(shù)，作

該函數(shù)自變量大于根的部分關(guān)于直線工=加的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于優(yōu)的部分共

同構(gòu)成一個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線X=7"的"鏡面函數(shù)例如：圖①是函

數(shù)y=x+l的圖象，則它關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解

析式為尸卜+1?！?)，也可以寫成尸M+1.

■[-x+l(x<0)

(1)在圖③中畫出函數(shù)y=-2x+l關(guān)于直線x=l的“鏡面函數(shù)”的圖象.

(2)函數(shù)y=x2-2x+2關(guān)于直線x=-1的"鏡面函數(shù)"與直線y=-x+加有三個公共點，求加的值.

(3)已知拋物線>="2-4"+2(a<0),關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點P3,yi),Q

(X2,?),當L1WX1W/+1,X224時，均滿足川》”，直接寫出/的取值范圍.

圖①圖②圖③

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17.(2023秋?西城外國語期中)對于平面直角坐標系：xQy內(nèi)任意一點尸.過尸點作軸于點

軸于點N,連接ACV,則稱AW的長度為點尸的垂點距離，記為肌特別地，點尸與原點重合時，

垂點距離為0.

(1)點/(2,0),B(4,4),C(-2,衣)的垂點距離分別

為,，.

(2)點尸在以。(遮，1)為圓心，半徑為3的O0上運動，求出點P的垂點距離/?的取值范圍；

(3)點7為直線Z：y=y[3x+6位于第二象限內(nèi)的一點，對于點7的垂點距離h的每個值有且僅有一個

點T與之對應(yīng)，求點T的橫坐標f的取值范圍.

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18.（2023秋?文匯中學(xué)級期中）在平面直角坐標系xOy中，給定線段N3和點P,若滿足為＜48＜尸8或

者PBVABVPA,則稱點尸為線段48的偏序點.

(1)已知點/(2,0),

①在點囪（-1,0）,B2（l,“），83（2,3）,國（3,-1）中，是線段。區(qū)的偏序點的有

②若直線/：y=x+6上存在線段。/的偏序點，求6的取值的范圍.

（2）已知點0）,N（0,M）,是以1為半徑的圓，并且圓心C在x軸上運動，若線段

兒W上的點均為。C的某條直徑的偏序點，直接寫出點C的橫坐標c的取值的范圍.

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5-

4-

3-

2-

1-

」A?>

-5-4-3-2一11°12345%

-1

-2

-3

-4

-5

第18頁（共20頁）

19.(2023秋?海淀區(qū)期中)在平面直角坐標系xOy中，已知點M不與原點重合.對于點尸給出如下定義:

點尸關(guān)于點M的對稱點為P,點P關(guān)于直線OM的對稱點為Q,稱點。是點P關(guān)于點M的“轉(zhuǎn)稱

點”.

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5-5-

4-4-

3-

2-