2023-2024學年浙教版九年級數學下冊同步訓練：投影（4類題型）（解析版）

第01講投影（4類題型）

學習目標

課程標準學習目標

1.平行投影、中心投影、正投影；

1.掌握平行投影、中心投影和正投影的概念與應用；

2.視點、視角和盲區(qū)；

2.掌握視點、視角和盲區(qū)的概念；

思維導圖

知識清單

知識點01.平行投影

（1）物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現象.一般地，用光線照射物體，

在某個平面（底面，墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做

投影面.

（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.

（3）平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的.

（4）判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的.如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影.

（5）正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.

【即學即練1】

1.（2023上?陜西西安?九年級西安市鐵一中學?？计谥校└?米的旗桿在陽光下的影子長6米，同一時刻同

一地點測得某建筑物的影子長24米，則該建筑物的高度是（）

A.6米B.16米C.36米D.96米

【答案】B

【分析】本題主要考查投影中的實際應用.根據投影的實際應用，在同一時刻太陽光線平行，不同物體的

實際高度與影長之比相等建立方程，可求出答案.

【詳解】解：設建筑物的的高為x米，可得方程：

4_x

6~24,

解得：x=16,

答：此建筑物的高度為16米.

故選：B.

【即學即練2】

2.（2023下?山東臨沂,九年級?？茧A段練習）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若

4=30。，則N2=（）

A.56°B.66°C.72°D.76°

【答案】B

【分析】根據正五邊形得到NA￡G=NG4E=72。，利用三角形內角和求出NG的度數，根據平行線的性質得

出N2.

【詳解】解：如圖，延長54和五”分別交DE的延長線于點G和/,

回六邊形ABCDE是正五邊形,

SZAEG=ZGAE=72°,

EING=180°—2x72°=36°,

回NZ7E=NG+N1=66。，

由平行光線知，N2=NFIE=66°；

故選：B.

【點睛】本題考查平行投影的性質、多邊形外角性質以及三角形內角和定理，構造三角形AGE是解決問題

的關鍵.

知識點02.中心投影

（1）中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在燈光的照射下形成的

影子就是中心投影.

（2）中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關

系.

（3）判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就

是中心投影.

3.視點、視角和盲區(qū)

（1）把觀察者所處的位置定為一點，叫視點.

（2）人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角.

（3）盲區(qū)：視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū).

【即學即練3】

3.（2023下?山東泰安?九年級?？茧A段練習）下列各種現象屬于中心投影現象的是（）

A.早上升旗時地面上旗桿的影子B.上午人走在路上的影子

C.中午用來乘涼的樹影D.晚上人走在路燈下的影子

【答案】D

【分析】根據中心投影的性質，找到燈光的燈源即可.

【詳解】解：中心投影的燈源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光，

故選：D.

【點睛】本題考查中心投影的性質，解題的關鍵是理解中心投影的形成光源為燈光.

【即學即練4】

4.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點（2,3）是一個光源.木桿兩端的坐標分別

為（-1,1）,（3,1）.則木桿A2在x軸上的投影長為（）

A------------------B

--------------------?

Ox

A.2A/3B.372C.5D.6

【答案】D

【分析】延長上4、PB分別交x軸于A、B',作軸于E,交AB于。，證明4PA得到

ABPD口口-5

=——，即可求解.

ABPE

【詳解】解：延長"、P8分別交x軸于A、B',作尸軸于E,交AB于。，如圖，

P(2,3),A(-l,l),2(3,1).

:.PD=2,PE=3,AB=4,

AB//AB1,

.-.^PAB^APAB',

幽=歿，即工」

ABPEA'B'3

.-.AB'=6,

故選：D.

【點睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時的投影

是放大(即位似變換)的關系.

題型精講

題型01平行投影

1.(2023上?全國?九年級專題練習)三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根

木桿在太陽光下的影子合理的是（)

【答案】C

【分析】本題考查了平行平行投影，根據三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時刻三根木桿在太陽光

下的影子應該同方向、長度相等且平行，據此判斷即可.

【詳解】解：A、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該一致，故本選項錯誤，不符合題意；

B.在某一時刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應該相同，故本選項錯誤，不符合題意；

C.在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理，故本選項正確，符合題意；

D、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該互相平行，故本選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

2.（2023上?江蘇揚州?九年級?？计谥校┬⊥醯纳砀呤?.6m,他在陽光下的影長是1.2m,在同一時刻測得

某棵樹的影長為3.6m,則這棵樹的高度約為（）m

A.2.4B.3.6C.4.8D.7.2

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，設這棵樹的高度為何，根據同一時刻物體的高度和物體的影

長成比例建立方程首=三，解方程即可得到答案.

1.23.6

【詳解】解：設這棵樹的高度為由，

團同一時刻，物高與影長成正比例，

「1.6x

0—=—，

1.23.6

解得x=4.8,

團設這棵樹的高度為4.8m,

故選C.

3.（2023上?陜西西安?九年級?？计谥校┤杖枋俏覈糯萌沼皽y定時刻的儀器，其原理就是利用太陽的

投影方向來測定并劃分時刻，辱針在唇面上所形成的投影屬于投影.（填寫"平行"或"中心"）

【答案】平行

【分析】本題考查的是平行投影的概念，根據太陽光是平行光線可以判定辱針在號面上所形成的投影屬于

平行投影.

【詳解】解：因為太陽光屬于平行光線，而日號利用日影測定時刻，所以唇針在唇面上所形成的投影屬于

平行投影.

故答案為：平行.

4.（2023上?四川巴中?九年級?？茧A段練習）同一時刻，物體的高與它的影長成比例，小明利用這一原理,

測量一旗桿高度，他自己的身高是1.5米,影長是1米,又測得旗桿的影長是8米，則旗桿的高度是米.

【答案】12

【分析】本題考查相似三角形的應用.在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據此列方程即可解答.

【詳解】解：設旗桿高度為x,

根據題意，物體的實際高度和影長成比例，則

x_1.5

W=T，

解得x=12.

故答案為：12.

5.（2023上?福建三明?九年級永安市第六中學校考階段練習）樹和木桿C。在同一時刻的投影如圖所示,

木桿8高2m,影子DE長4m；若樹的影子BE長10m,則樹A3高多少m?

【答案】樹河高為5m.

【分析】本題考查的知識點是平行投影，解題關鍵是從實際問題中整理出平行線段.

根據樹和杠桿平行列出比例式代入相關數據即可求解.

【詳解】由題意得：與平行，

ABCD

一蕨一赤’

CD=2m,DE=4m,BE=10m,

CD2

...AB=——xBE=-xl0=5m,

DE4

故樹AB高為5m.

題型02中心投影

1.（2023上?河南鄭州?九年級?？计谥校┫铝心姆N影子不是中心投影（）

A.月光下房屋的影子B.晚上在房間內墻上的手影

C.都市霓虹燈形成的影子D.皮影戲中的影子

【答案】A

【分析】本題考查中心投影，由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影，由此即可判斷.關

鍵是掌握中心投影定義.

【詳解】解：晚上在房間內墻上的手影，都市冤虹燈形成的影子，皮影戲中的影子，是中心投影，

月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影.

故選：A.

2.（2023上?全國?九年級專題練習）一塊三角形板A5C,BC=12cm,AC=10cm,測得邊的中心投影用G

長為24cm,則AC邊的中心投影AG的長為（）

A.24cmB.20cmC.15cmD.5cm

【答案】B

【分析】由投影得由相似性質得4G：AC=AG：BC=2:1,求得4G=20cm.

【詳解】解：回，BC=12cm,=24cm,

0AG:AC=BG:BC=2:1,

ElAC=10cm,

0AG=20cm,

故選：B.

【點睛】本題考查中心投影，相似三角形的性質；由相似三角形得到線段間的數量關系是解題的關鍵.

3.（2023上?遼寧阜新.九年級阜新實驗中學?？计谥校┤前逶邳c光源O的照射下形成投影，三角板的頂

點A與其投影的對應點B的位置如圖，經測量Q4:OB=2:5,且三角板的面積為8cm?,則其投影的面積為

B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，易得三角板與它的投影成相似圖形，再根據面積比等于相

似比的平方，進行列式作答.

【詳解】解：依題意，三角板與它的投影成相似圖形

國。4:03=2:5,三角板的面積為8cm2

回三角板的面積回其投影的面積=]|：=[

即其投影的面積為50cm2

故答案為：50

4.（2021?貴州?統(tǒng)考一模）如圖，小莉用燈泡。照射一個矩形硬紙片ABCD,在墻上形成矩形影子AZ'C'D',

現測得OA=2cm,OA'=5cm,紙片ABCD的面積為8cm2,則影子AB'C'D'的面積為cm2

A'

【答案】50

【分析】易得對應點到對應中心的比值，那么面積比為對應點到對應中心的比值的平方，據此求解可得.

【詳解】解：OA-.OA,=2:5,

OB:OB'=2:5,

ZAOB=ZA'OB',

AB.AB'=2:5,

矩形ABC。的面積：矩形AB'C'D'的面積為4:25,

又矩形ABCD的面積為8cm2,則矩形AB'CD的面積為50cm2.

故答案為：50.

【點睛】本題主要考查了中心投影，相似三角形的應用，根據相似三角形的判定和性質求出AB:A9=2:5

是解決問題的關鍵.

5.（2023上?陜西榆林?九年級?？茧A段練習）我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，至今仍

有借鑒意義.如圖，身高1.5米的小王晚上在路燈燈柱AH下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈燈

泡的高度，具體做法如下：先從路燈底部A沿A"方向走20步到河處，發(fā)現自己的影子端點落在點尸處,

作好記號后，從點M沿A"方向走4步恰好到達點P處，此時他影子的端點在點。處，已知尸,。在同

一水平線上，路燈的燈泡。在上，小王的步間距保持一致.

H

ANAB

AMP

⑴請在圖中畫出燈泡。和影子端點。的位置；

⑵估計燈泡的高40,并求出影長PQ的步數.

【答案】(1)答案見詳解；

24

(2)路燈AO的高為9米，影長PQ為彳步.

【分析】此題考查了中心投影作圖、相似三角形的判定與性質，

(1)如圖所示，延長PN交路燈燈柱AH于點。，再連接并延長交A"延長線于點。即可；

(2)先證明△尸利用相似三角形對應邊成比例可求出AO,同理證一QPAQAO,利用相似

三角形對應邊成比例求出尸。.

熟練掌握投影的特點與相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵.

【詳解】(1)解：如圖所示，路燈。和影子端點。為所求；

H

（2）解：根據題意知：AOYAM,AM=20步，VP=4步，MN=PB=15m,

MN//AO,

■.PMN^CPAO,

MNMP1.54

——=——,即Hn——=-----,

AOPAAO20+4

解得AO=9；

PB//AO,

:.^QPB-QAO,

.依二尸。1.5二PQ

AOAQ7924+PQ'

24

解得PQ=M；

24

答：估計路燈AO的高為9米，影長尸。為胃步.

題型03正投影

1.（2023下?全國,九年級專題練習）把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱

柱時的正投影是（）

【答案】B

【分析】根據正投影的特點及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案.

【詳解】解：把一個正六棱柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是矩形.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正投影的性質，一個幾何體在一個平面上的正投影是一個平面圖形.

2.（2022上?山西大同?九年級統(tǒng)考期末）如圖，4耳是線段在投影面P上的正投影，AB=10cm,

/AA2=11O°,則投影Ag的長為（）

A.lOsin70°cmB.10sin20°cmC.10tan70°cmD.10cos70°cm

【答案】A

【分析】過點A作用于點C,根據解直角三角形即可求得.

【詳解】解：過點A作ACL5用于點C,

/.AC=A.B]fNAAC=NAC5I=90。，

0ZACB=180°-90°=90°,

團乙精3二110。，

0ABAC=110°-90°=20°,

團NABC=90?！?0。=70。，

在RtAABC中，AC=AB-sin/ABB】=10sin70°cm,

:.\BX=10sin70°cm,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練掌握和運用解直角三角形的方法是解決本題的關鍵.

3.（2023上?山東青島?九年級統(tǒng)考期中）如圖，一條線段AB在平面a內的正投影為A'B',AB=2拒，A'B'=娓,

則/ABB的度數為.

【分析】本題考查平行投影，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.過

A作AC_L85'，交BB’于C點.求出sin3的值，可得結論.

【詳解】解：過4作交BB'于C點.

國線段AB在平面a內的正投影為A?,AB=2A/2，A'B'=j6,

回ZAA'B'=ZBB'A'=90°,

SACAB',且AC=A3'=n，則/ABC即為所求.

?J6y/3

0sinB=—=

AB2V2-2

43=60°.

故答案為：60°.

4.（2023下?安徽安慶?九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，位于第二象限的點A（T3）在無軸

上的正投影為點A,貝l|cosNAOA=.

【答案】叵

10

【分析】依據點A（-1,3）在X軸上的正投影為點4,即可得到AO=LA4'=3,AO=JId,進而得出

cos/AO4=的值.

【詳解】點A（T,3）在x軸上的正投影為點A，，

EIA'O=1,A4'=3,

0AO=7W,

A:O

回cos/AOA==-7k=—,

OA回10

故答案為：叵

10

【點睛】本題主要考查了平行投影以及平面直角坐標系，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段

長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

5.（2022上?九年級單元測試）如圖，已知線段AB=2cm,投影面為P.

⑴當AB垂直于投影面尸時（如圖①）,請畫出線段A3的正投影；

⑵當平行于投影面尸時（如圖②）,請畫出它的正投影，并求出正投影的長;

⑶在（2）的基礎上，點A不動，線段繞點A在垂直于投影面尸的平面內逆時針旋轉30。，請在圖③中

畫出線段的正投影，并求出其正投影的長.

【答案】⑴畫圖見解析

（2）畫圖見解析，線段A2的正投影的長為2cm

⑶畫圖見解析，線段的正投影的長為也cm

【分析】（1）根據投影的作圖方法作圖即可；

（2）根據投影的作圖方法先作圖，再根據平行投影的性質即可得到AM=4?=2cm；

（3）根據投影的作圖方法先作圖，再在RtZXABD中求出AD的長即可得到答案.

【詳解】（［）解：如圖①所示，即為所求；

（2）解：如圖②所示，即為所求；

回A3平行于投影面P,

團ABr=AB=2cm；

（3）解：如圖③所示，即為所求；

由題意得AB'=AD,ZADB=90°,/54。=30°,AB=2cm,

0AD=ABcosZ.BAD=J§cm.

【點睛】本題主要考查了投影，解直角三角形，正確對應線段的投影是解題的關鍵.

題型04視點、視角和盲區(qū)

1.（2022?全國?九年級專題練習）如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這

個大樓，若想看到大樓的兩個側面，則小紅應站的區(qū)域是（）

c

圖1

圖2

A.A區(qū)域B.B區(qū)域C.C區(qū)域D.三區(qū)域都可以

【答案】C

【分析】根據視點,視角和盲區(qū)的定義，觀察圖形，選出答案.

【詳解】由圖可知，A區(qū)域可以看到一個側面，B區(qū)域可以看到三個側面，C區(qū)域可以看到兩個側面.故選

C.

【點睛】本題考查的是視點，視角和盲區(qū)在實際中的應用，比較基礎，難度不大.

2.（2022上?九年級單元測試）有一個高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同時看到的是（）

A.2個側面B.3個側面C.1個側面D.4個側面

【答案】D

【分析】根據視點，視角和盲區(qū)的定義，畫圖解決問題.

【詳解】由圖我們可以看出，無論怎么看，都無法同時看到五棱柱的四個側面.

故選：D.

【點睛】本題主要考查對視點，視角和盲區(qū)的認識和理解.

3.（2022?九年級單元測試）電影院的座位排列時，后一排總比前一排高，并且每一橫排呈圓弧形，這是為

了.

【答案】增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等

【分析】從減小盲區(qū)角度可理解后一排總比前一排高，從滿足有相同的視角可理解每一橫排呈圓弧形.

【詳解】電影院的座位排列時，后一排總比前一排高是為了增加視野，后面的觀眾看清屏幕，每一橫排呈

圓弧形是利用圓周角相等，保證同一排上的人看屏幕的視角相等.

故答案為增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等.

【點睛】本題考查了視點、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視

固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角.視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū).

4.（2022?九年級單元測試）現有m,n兩堵墻，兩個同學分別站在A處和B處，請問小明在哪個區(qū)域內活

動才不被這兩個同學發(fā)現（用陰影部分的序號表示）.

③

【答案】①②③

【分析】根據圖形找出AB兩點的盲區(qū)即可

【詳解】由圖可知，①②③都在AB兩個視點的盲區(qū)內，因此在這三處，不會被兩個同學發(fā)現，因此選

①②③.

【點睛】投影和視圖是本題的考點，根據圖形正確找出盲區(qū)是解題的關鍵.

5.（2023上?陜西漢中?九年級統(tǒng)考期末）如圖，為一盞路燈的燈桿，已知該路燈的燈泡尸位于燈桿

上,地面上豎立著一個矩形單杠ABCD,已知單杠右側。桿在路燈燈泡P的照射下的影子末端位于點E處，

已知O、B、C、E在一條直線上，且ABLOE,DCYOE.

⑴請在圖中找出路燈燈泡P的位置，并畫出單杠左側桿在燈泡P的照射下的影子所；

（2）經測量03=4米，3產=2米，單杠的高度至=2米，請你計算路燈燈泡距地面的高度OP.

【答案】⑴見解析

（2）6米

【分析】（1）連接團并延長交于點尸，連接上4并延長交OE于F,點尸和所即為所求;

（2）先求出。尸=6米，證明人鉆尸^^尸。尸，得到四=笆，即=_=2,則尸。=6米.

POOFPO6

【詳解】（1）解：如圖所示，點尸和所即為所求;

M

（2）解：回03=4米，3尸=2米,

SOF=OB+BF=6^i,

0MOXOE,ABLOE,即PO〃AB,

田△ABFsAPOP,

ABBF22

0--=--,即m----=—

POOFPO6

回尸0=6米,

回路燈燈泡距地面的高度。尸為6米.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用舉例，熟知相似三角形的性質與判定條件是解題的關鍵.

強化訓練

A夯實基礎

1.（2023上?陜西咸陽?九年級咸陽市秦都中學?？茧A段練習）下列說法正確的是（）

A.正投影可能是平行投影也可能是中心投影

B.物體在燈光下產生的投影可能是物體的正投影

C.物體在太陽光下產生的投影是物體的平行投影

D.電燈的光源距離投影面較遠的投影就是平行投影

【答案】C

【分析】本題考查平行投影中正投影的相關知識，平行投射線垂直于投影面的稱為正投影，解題需掌握正

投影的特點.

【詳解】解：A.正投影一定是平行投影，原說法錯誤，不合題意；

B.物體在燈光下產生的投影不是物體的正投影，原說法錯誤，不合題意；

C.物體在太陽光下產生的投影是物體的平行投影，原說法正確，符合題意；

D.電燈的光源距離投影面較遠的投影不是平行投影，原說法錯誤，不合題意.

故選：C.

2.（2023?湖北恩施,校考模擬預測）物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.一個三角板的

正投影不可能是（）

A.一條線段B.一個與原三角板全等的三角形

C.一個等腰三角形D.一個小圓點

【答案】D

【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關系逐一分析可得答案.

【詳解】解：當三角板所在的平面與投影光線平行時，可得投影是一條線段，故A不符合題意；

當三角板所在的平面與投影光線垂直時，可得投影是一個與原三角板全等的三角板，故B不符合題意；

當三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時，可得投影是一個變形的三角板，可能為等腰三角形，不

可能是一個點，故C不符合題意；D符合題意；

故選D

【點睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關是解本題

的關鍵.

3.（2022下?九年級單元測試）正午時我們在太陽下的影子長度比下午時我們在太陽底下的影子的長度

要.（長，短）

【答案】短

【分析】根據太陽光不同時刻照射時的角度，以及平行投影的性質判斷即可.

【詳解】解：太陽光可理解為平行光線，正午時刻太陽光照射的角度更大，因此我們于地面形成的影子更

短，而下午的時候，照射時的角度變小，在地面形成的影子就更長.

故答案為：短.

【點睛】本題考查投影，注意理解太陽光是平行光線，并且理解入射角度越大，形成的投影越短，角度越

小，形成的投影越長.

4.（2023上?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學?？茧A段練習）某一時刻太陽光下身高1.5m的小明的影長為

2m,同一時刻旗桿的影長為6m則旗桿的高度為m.

【答案】4.5

【分析】本題考查了平行投影以及相似三角形的性質；根據成比例關系可知，人身高比上人的影長等于旗

桿長比上旗桿的影長，代入數據即可得出答案.

【詳解】解困設旗桿高度為皿，根據題意得，

x_1.5

6~~2

解得x=4.5m.

故答案為：4.5.

5.（2023上?陜西咸陽?九年級咸陽市秦都中學?？茧A段練習）如圖，某一時刻，小樹在太陽光下的影子

為BD,依依同學站在小樹的影子末端。處（依依同學的身高用8表示），請你畫出依依同學這一時刻的

影子OE.

【答案】作圖見解析

【分析】本題考查平行投影的作圖，連接過點C作CE〃仞交HD的延長線于點E,體現了學數學要

注重基礎知識的新課標理念.靈活運用性質作圖即可.

【詳解】解：如圖，DE即為所求.

EDB

6.（2023上,廣東茂名?九年級校聯考階段練習）如圖，A3和?！晔侵绷⒃诘孛嫔系膬筛⒅?AB=6m,

某一時刻A3在陽光下的投影3c=4m,在陽光下的投影長為6m.

D

A

CE

/////////////////

⑴請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影EF.

⑵根據題中信息，求出立柱DE的長.

【答案】⑴見解析

⑵9

【分析】本題考查了投影作圖與相似三角形的判定與性質，熟記相關幾何結論是解題關鍵.

（1）連接AC,過D作D9〃AC即可完成作圖；

（2）證△ABCS^DEF,根據對應線段成比例即可求解.

【詳解】（1）解：連接AC,過D作。/〃AC交BC延長線于F,

如圖，斯即為DE在陽光下的投影：

D

⑦ZACB=NDFE,

又Z4BC=ZD"=90。，

回△ABCs/\DEF,

ABDE

團-------，

BCEF

團AB=6m,BC=4m,EF=6m,

6DE

0—二---

46

解得：DE=9m,

B能力提升

1.（2023上?陜西西安?九年級校考階段練習）中午12點，身高為165cm的小冰的影長為55cm,同學小雪此

時在同一地點的影長為60cm,那么小雪的身高為（）.

A.180cmB.175cmC.172cmD.170cm

【答案】A

【分析】本題考查了平行投影，相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度.設小雪的身高為xcm,根

據在同一時刻物高與影長的比相等得到義=笑，然后根據比例性質求X即可.通常利用相似三角形的性

16555

質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.

【詳解】設小雪的身高為xcm,根據題意得

x_60

165-55;

解得x=180.

所以小雪的身高為180cm.

故選A.

2.（2023上?陜西榆林?九年級校考階段練習）如圖是圓桌正上方的燈泡。發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上

形成陰影（圓形）的示意圖.已知桌面的直徑為1.2m,桌面距離地面1m,若燈泡。距離地面3m（桌面的

厚度忽略不計），則地面上陰影部分的面積為（）

o

A.24>rm2B.2^m2C.0.81^-m2D.0.36OTn2

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的應用.證明一OBQs一。4尸，根據相似三角形的性質求出AP,根據圓的

面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：如圖，

由題意得，2B=1xl.2=0.6（m）,OQ=OP-PQ=3-1^2（m）,BQ//AP,

OBQ^.OAP,

gp—=-

APOPAP3

解得，AP=0.9(m),

則地面上陰影部分的面積=%x0.92=0.8br(m2),

故選：C.

3.(2023上?福建廈門?九年級廈門市湖濱中學校考階段練習)如圖，AB和小是直立在地面上的兩根立柱,

AB=4m,AB在陽光下的影長3c=2m,在同時刻陽光下DE■的影長族=3m,則DE的長為米.

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，平行投影，連接AC,DF,證明一ACBS.OEE,根據對

應邊成比例即可求解.

判定和性質，

【詳解】解：如圖，連接AC,DF,

根據平行投影的性質得DF//AC,

ZACB=ZDFE,

又〔ZABC=NDEF=90°,

:.—ACBs二DFE,

；.迪=生,即士二，

DEEFDE3

解得。E=6m,

故答案為：6.

4.（2023上?甘肅張掖?九年級校考期中）如圖是三角尺在燈泡。的照射下在墻上形成的影子，現測得

OA=30cm,AA'=20cm,這個三角尺的面積與它在墻上形成的影子的面積的比是.

【分析】本題考查了相似三角形的應用.先根據相似三角形對應邊成比例求出三角尺與影子的相似比，再

根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.

【詳解】解：E6M=30cm,A4,=20cm,

團OA=50cm,

團。4:QA'=20:50=2:5,

回三角尺與影子是相似三角形，

回三角尺的周長與它在墻上形成的影子的面積的比是4:25,

故答案為：4:25.

5.（2023上?安徽宿州?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在地面上豎直安裝著4民E廠三根立柱，在同一時刻

同一光源下立柱AB，CD形成的影子分別為BG與DH.

1

4(

FBG1DH

⑴通過作圖判斷此光源下形成的投影是中心投影還是平行投影，并說明理由；

⑵作出立柱E尸在此光源下所形成的影子.

【答案】（1）中心投影.理由見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了中心投影，正確的作出圖形是解題的關鍵.

（1）根據在同一時刻同一光源下立柱AB、8形成的影子為3G與。/,連接G4、并延長交于點

據此判斷即可；

（2）連接0E并延長交直線形于/,于是得到結論.

【詳解】（1）中心投影.

理由：如圖所示，光線G4、"C相交于點O,所以此光源下形成的投影是中心投影.

（2）如圖所示，線段F/為立柱所在此光源下所形成的影子.

0

/、、

,、、、

IFBGDH

6.（2023上?河北張家口?九年級張北縣第三中學?？茧A段練習）如圖，陽光（平行光線）通過窗戶照到廠房

內，豎直窗框（8）在地面上留下2米長的影子（池），窗框影子的一端B到窗下墻腳。的距離為3.6米，

窗口底邊C與地面的距離OC為1.2米.

一

ABE

⑴求窗戶的高度（CD的長）；

（2）如下圖，隨著平行光線照射角度的變化，窗框影子的一端A沿OE向右移動到A,A4，=0.4米，另一端B

恰好移動到廠房的另一墻腳E,求8E的長

°AA'BE

【答案】⑴窗戶的高度為1.5米;

（2）3E=0.9米.

【分析】本題考查平行線分線段成比例定理的應用.

（1）由題意得利用平行線分線段成比例定理即可求解；

（2）由題意得DE〃AC,利用平行線分線段成比例定理求得A%=2.5,再根據3E=Q4'+AE-O3,求解

即可.

【詳解】（1）解：回陽光是平行線，即D3〃AC,

OAOC

團n--=---9

ABCD

團OC=L2,05=3.6,AB=2,

回OA=OB—AB=1.6,

國學=H，解得CD=L5（米），

答：窗戶的高度為L5米；

（2）解：由題意得DE〃A'C,

OXOC

團一;-=，

AECD

團

OC=1.2,OA=OA-AA=2,CD=1.5f

「21.2

團~：—二—,

AE1.5

回A￡=2.5,

團5￡=（M'+A石—05=2+25—3.6=0.9（米），

答：3E=0.9米.

C綜合素養(yǎng)

L（2022?河北石家莊?校聯考三模）如圖，在平面直角坐標系中，點（2,2）是一個光源，木桿兩端的坐標

分別為（0,1）,（3,1）,則木桿在x軸上的投影A?長為（）

【分析】利用中心投影，延長E4、網分別交無軸于點A、B',作尸軸于點E,交于點證明

PABPAB',然后利用相似比即可求解.

【詳解】解：延長上4、PB分別交無軸于點A、B',作軸于點E,交于點O,如圖，

13尸(2,2),4(0,1),5(3,1),

^PD=1,PE=2,AB=3,

^ZPAB=ZPA!B',ZPBA=ZPB'A',

S_PABPA'B',

ABPD31

13—；—r=----,BnJn—；一~~=一，

ABPEA'B'2

^AB=6,

【點睛】本題考查中心投影，熟練掌握中心投影的概念證明一上旬PAE是解題的關鍵.

2.（2023上?河北石家莊?九年級統(tǒng)考期中）某一時刻，與地面垂直的長2m的木桿在地面上的影長為1m.同

一時刻，樹A3的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角為45。的斜坡上，如圖所示.已知落在地面上的

影長4C為2m.落在斜坡上的影長。為2m.根據以上條件，可求出樹高42為（）.（結果精確到0.1m）

A.4.0mB.4.2mC.8.0mD.8.2m

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形，平行投影，正確作出輔助線，構造直角三角形，掌握同一時刻太陽光

下，物長和影長成比例，是解題的關鍵.過點。作DE1AC于點E,連接3。并延長，交AC延長線于點孔

易得CD=CE=gm，根據長2m的木桿在地面上的影長為1m,得出叁=當=2,則=

EFAF22

求出AP=AC+CE+EF=[2+-^—Jm,即可求解.

【詳解】解：過點。作DE/AC于點E,連接8。并延長，交AC延長線于點七

0DEJ.AC,ZDCE=45°,CD=2m,

0DE=CE=CDcos45°=2x—=V2m,

2

團長2nl的木桿在地面上的影長為lm,

回"=2=2,貝l]￡^=！￡)E=^m,

EF122

^AF=AC+CE+EF=2+^—m,

I2J

團長2m的木桿在地面上的影長為Im,

0—=2=2,貝I]A3=2AF=(4+3應)m合8.2(m),

AF1、)

故選：D.

3.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級校聯考期中）在“測量物體的高度”活動中，小麗在同一時刻陽光下，測得

一根長為1米的竹竿的影長為0.8米：測量樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學樓的第一級臺階

上（如圖），落在地面上的影長為4.8米，一級臺階高為0.25米，落在第一級臺階上的影子長為0.2米，則

樹高度為米.

【答案】6.5

【分析】求出臺階同等高度的大樹的影子的長度，然后根據同時同地物高與影長成正比列式求出樹的高度

一部分，再加上臺階的高度計算即可得出答案.

【詳解】解：根據同一時刻物高與影長成正比例，如圖所示：

A

G

BDC

則其中A5為樹高，所為樹影在第一級臺階上的影長，5。為樹影在地上部分的長，的長為臺階高，并

且由光沿直線傳播的性質可知即為樹影在地上的全長，延長正交于G,則RJABCSRKAGE,

AGAB1

°GFBC0.8'

0GF=O.8AG,

又⑦GF=GE+EF,BD=GE,

ElGP=4.8+02=5,

回AG=6.25,

SAB=AG+GB=6.5,

即樹高為6.5米，

故答案為：6.5.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似

比，列出方程，通過解方程求解，加上GB的長即可，解此題的關鍵是找到各部分以及與其對應的影長.

4.（2023上?河北邢臺?九年級邢臺三中校聯考期中）公元前6世紀，古希臘學者泰勒斯用圖1的方法巧測金

字塔的高度.如圖2,小明仿照這個方法，測量圓錐形小山包的高度，已知圓錐底面周長為62.8m.先在小

山包旁邊立起一根木棒，當木棒影子長度等于木棒高度時，測得小山包影子A2長為23m（直線AB過底面

圓心），貝！I：

（1）小山包的半徑為m；

（2）小山包的高為m.（乃取3.14）

【答案】1033

【分析】此