平面幾何四大定理

平面幾何四個重要定理四個重要定理：梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）△ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。例題：設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：?！痉治觥緾EF截△ABD→（梅氏定理）【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。過△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：?！痉治觥窟B結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【評注】梅氏定理D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，，AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN?！痉治觥俊驹u注】梅氏定理以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點?！痉治觥俊驹u注】塞瓦定理【分析】將CC'，OO'，PP'，連結(jié)OO'、PP'。則△BOO'、△BPP'都是正三角形?！郞O'=OB，PP'=PB。顯然△BO'C'≌△BOC，△BP'C'≌△BPC。由于∠BO'C'=∠BOC=120°=180°-∠BO'O，∴A、O、O'、C'四點共線。∴AP+PP'+P'C'≥AC'=AO+OO'+O'C'，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。14．(95全國競賽)菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分別作⊙O的切線交AB、BC、CD、DA分別于M、N、P、Q。求證：MQ//NP?！痉治觥坑葾B∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，結(jié)合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN←，AM·CN=AQ·CP。連結(jié)AC、BD，其交點為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是，∴AM·CN=AO·CO同理，AQ·CP=AO·CO?！驹u注】15．(96全國競賽)⊙O1和⊙O2與ΔABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點，EG、FH的延長線交于P。求證：PA⊥BC。【分析】【評注】16．(99全國競賽)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。證明：連結(jié)BD交AC于H。對△BCD用塞瓦定理，可得因為AH是∠BAD的角平分線，由角平分線定理，可得，故。過C作AB的平行線交AG的延長線于I，過C作AD的平行線交AE的延長線于J。則，所以，從而CI=CJ。又因為CI//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。因此，△ACI≌△ACJ，從而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。已知AB=AD，BC=DC，AC與BD交于O，過O的任意兩條直線EF和GH與四邊形ABCD的四邊交于E、F、G、H。連結(jié)GF、EH，分別交BD于M、N。求證：OM=ON。（5屆CMO）證明：作△EOH△E'OH'，則只需證E'、M、H'共線，即E'H'、BO、GF三線共點。記∠BOG=α，∠GOE'=β。連結(jié)E'F交BO于K。只需證=1（Ceva逆定理）。===1注：箏形：一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形。對應(yīng)于99聯(lián)賽2：∠E'OB=∠FOB，且E'H'、GF、BO三線共點。求證：∠GOB=∠H'OB。事實上，上述條件是充要條件，且M在OB延長線上時結(jié)論仍然成立。證明方法為：同一法。蝴蝶定理：P是⊙O的弦AB的中點，過P點引⊙O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP?！痉治觥吭O(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn)F'F，顯然'∈⊙O。又P∈GH，∴PF'=PF?！逷FPF'，PAPB，∴∠FPN=∠F'PM，PF=PF'。又FF'⊥GH，AN⊥GH，∴FF'∥AB?！唷螰'PM+∠MDF'=∠FPN+∠EDF'=∠EFF'+∠EDF'=180°，∴P、M、D、F'四點共圓?！唷螾F'M=∠PDE=∠PFN?！唷鱌FN≌△PF'