2020-2021學年上海北京師范大學附屬高級中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2020-2021學年上海北京師范大學附屬高級中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設向量=，=，則“”是“⊥”的（

）A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略2.已知為第三象限角，且，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.定義域是一切實數(shù)的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)()使得對任意實數(shù)都成立，則稱是一個“—伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“—伴隨函數(shù)”的結(jié)論：①是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“—伴隨函數(shù)”；②“—伴隨函數(shù)”至少有一個零點．；③是一個“—伴隨函數(shù)”；其中正確結(jié)論的個數(shù)是

（

）A．1個；

B．2個；

C．3個；

D．0個；參考答案：A①設是一個“—伴隨函數(shù)”，則，當時，可以取遍實數(shù)集，因此不是唯一一個常值“—伴隨函數(shù)”，故①不正確；②令，得，所以，若，顯然有實數(shù)根；若，．又因為的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以在上必有實數(shù)根．因此任意的“—伴隨函數(shù)”必有根，即任意“—伴隨函數(shù)”至少有一個零點，故②正確。③用反證法，假設是一個“—伴隨函數(shù)”，則（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0對任意實數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式無解，所以f（x）=x2不是一個“—伴隨函數(shù)”，故③不正確；所以正確的為1個，選A.4.設命題函數(shù)的最小正周期為；函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.則下列的判斷正確的是(

)A為真

B為假

C為假

D為真參考答案：A略5.過拋物線的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，直線l與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線的準線上的攝影為C，若，，則拋物線的方程為A．B．C．D．參考答案：D略6.已知實數(shù)滿足條件,則的最小值為A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：A由；由；由；由約束條件做出(x，y)的可行域如圖所示，的值為可行域中的點與原點O的連線的斜率，觀察圖形可知OA的斜率最小，所以()min=1.故選A.

7.如圖，在平面斜坐標系XOY中，，平面上任意一點P關(guān)于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若（其中分別是X軸，Y軸同方向的單位向量）。則P點的斜坐標為（x,y），向量的斜坐標為(x,y)。有以下結(jié)論：①若，P（2，-1）則②若P（，Q，則③若（，,則④若，以O為圓心，1為半徑的圓的斜坐標方程為其中正確的結(jié)論個數(shù)為

(

)A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：C8.已知集合，則()A．A∩B＝?

B．A∪B＝R

C．

D．參考答案：B略9.函數(shù)y=（x≠0）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，利用特殊值判斷即可．【解答】解：函數(shù)y=（x≠0）是奇函數(shù)，排除C，D．當x=時，y=＜0．排除B，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應用，基本知識的考查．10.集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=}，則A∩CRB=(

)A．[1，2） B．[1，2] C．（1，2） D．（1，2]參考答案：C【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；交、并、補集的混合運算．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用集合的運算性質(zhì)即可求出．【解答】解：∵y==≥2，∴B=[2，+∞），∴CRB=（﹣∞，2）．∵x﹣1＞0，∴x＞1，∴A=（1，+∞）．∴A∩CRB=（1，+∞）∩（（﹣∞，2）=（1，2）．故選C．【點評】熟練掌握函數(shù)的定義域的求法和集合的運算是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線的縱截距是

。參考答案：-112.（5分）已知直線l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，下列命題中真命題序號為①直線l的斜率為tanθ；②存在實數(shù)λ，使得對任意的θ，直線l恒過定點；③對任意非零實數(shù)λ，都有對任意的θ，直線l與同一個定圓相切；④若圓O：（x+1）2+y2=4上到直線l距離為1的點恰好3個，則λ=±1．參考答案：②③④①當cosθ=0時，直線l沒有斜率，故①不正確；②當λ=0時，直線l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ=0，當sinθ=0時，cosθ=1，直線l：﹣y=0過定點（0，0），當sinθ≠0時，直線l：x﹣y=0過定點（0，0），∴存在實數(shù)λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點（0，0），故②正確；③∵直線l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，∴點（﹣1，0）到直線l的距離d==|λ|，∴對任意非零實數(shù)λ，都有對任意的θ，直線l與同一個定圓（x+1）2+y2=λ2相切，故③正確；④∵圓O：（x+1）2+y2=4上到直線l距離為1的點恰好3個，∴圓（x+1）2+y2=4的圓心（﹣1，0）到直線xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，∴|﹣sinθ﹣0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正確．故答案為：②③④．13.若命題“”是真命題，則的取值范圍是__________參考答案：14.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是___________．參考答案：

考點：函數(shù)性質(zhì)

【思路點睛】函數(shù)單調(diào)性的常見的命題角度有：?1?求函數(shù)的值域或最值；?2?比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大?。?3?解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)與h(x)的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi)；?4?求參數(shù)的取值范圍或值.15.已知函數(shù)f（x）=f′（）cosx+sinx，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，則f（）=

．參考答案：1【考點】導數(shù)的運算．【分析】函數(shù)f（x）=f′（）cosx+sinx，可得+cosx，令x=，可得，即可得出．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=f′（）cosx+sinx，∴+cosx，∴=，解得．∴函數(shù)f（x）=（﹣1）cosx+sinx，∴==1．故答案為：1．16.在直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,若、、別是棱、、的中點,則下列四個命題:；②三棱錐的外接球的表面積為；③三棱錐的體積為；④直線與平面所成角為其中正確的命題有

．(把所有正確命題的序號填在答題卡上)參考答案：①②③17.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則=______．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設，過點作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點，連接AP，AQ分別交直線于M，N兩點，若直線MR、NR的斜率分別為、，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．參考答案：(1);(2)為定值.試題分析：（1）根據(jù)離心率、直線與圓相切建立關(guān)于的方程組，過得，從而得到橢圓的方程；（2）設，，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，得到關(guān)于的方程，再利用韋達定理得到之間的關(guān)系，從而得到的關(guān)系．試題解析：（1）由題意得解得故橢圓的方程為．（2）設，，直線的方程為，由得．∴，，由，，三點共線可知，，所以；同理可得所以．因為，所以．考點：1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；2、橢圓的幾何性質(zhì)；3、直線的斜率．【方法點睛】解答直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，再應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦長問題利用弦長公式＝或＝解決，往往會更簡單．19.某印刷廠為了研究印刷單冊書籍的成本y（單位：元）與印刷冊數(shù)x（單位：千冊）之間的關(guān)系，在印制某種書籍時進行了統(tǒng)計，相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：印刷冊數(shù)（千冊）23458單冊成本（元）3.22.421.91.7根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：=，方程乙：=．（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務．①完成下表（計算結(jié)果精確到0.1）；印刷冊數(shù)x（千冊）23458單冊成本y（元）3.22.421.91.7模型甲估計值

2.42.1

1.6殘差

0﹣0.1

0.1模型乙估計值

2.321.9

殘差

0.100

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并通過比較Q1，Q2的大小，判斷哪個模型擬合效果更好．（2）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進行二次印刷．根據(jù)市場調(diào)查，新需求量為8千冊（概率0.8）或10千冊（概率0.2），若印刷廠以每冊5元的價格將書籍出售給訂貨商，問印刷廠二次印刷8千冊還是10千冊能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本）參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；BP：回歸分析．【分析】（1）①計算對應的數(shù)值，填表即可；②計算模型甲、模型乙的殘差平方和，比較即可得出結(jié)論；（2）計算二次印刷時的成本和利潤，求出數(shù)學期望（均值），即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①經(jīng)計算，可得下表：印刷冊數(shù)x（千冊）23458單冊成本y（元）3.22.421.91.7模型甲估計值3.12.42.11.91.6殘差0.10﹣0.100.1模型乙估計值3.22.321.91.7殘差00.1000②模型甲的殘差平方和Q1=0.12+（﹣0.1）2+0.12=0.03，模型乙的殘差平方和Q2=0.12=0.01，∴Q1＞Q2，模型乙的擬合效果更好；（2）若二次印刷8千冊，則印刷廠獲利為（5﹣1.7）×8000=26400（元），若二次印刷10千冊，由（1）可知，單冊書印刷成本為（元）故印刷總成本為16640（元），設新需求量為X（千冊），印刷廠利潤為Y（元），則X810Y0.80.2EX=8×0.8+10×0.2=8.4，故EY=5×1000×EX﹣16640=42000﹣16640=25360，故印刷8千冊對印刷廠更有利．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=．（1）當時，求的值域；（2）若的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，，求的值．參考答案：（1）

，，

……………6分

（2）由條件得化簡得由余弦定理得=1

……………12分21.（本小題滿分13分）若某公司從七位大學畢業(yè)生,,,,,,,中錄用兩人,這七人被錄用的機會均等.（Ⅰ）用題中字母列舉出所有可能的結(jié)果；（Ⅱ）設事件為“或被錄用”求事件發(fā)生的概率.參考答案：（Ⅰ）解：從七位大學畢業(yè)生中錄用兩人所有可能結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21種.…………7分（Ⅱ）解：或被錄用的所有可能結(jié)果為,,,,,,,,,,,共11種.因此事件發(fā)生的概率.…………13分22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)