2024-2025學(xué)年吉林省白城市高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省白城市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F1(2，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且△APF1周長(zhǎng)的最小值為8，則雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.22.若直線：平分圓：的面積，則的最小值為（

）A.8B.C.4D.63.為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育新人”的黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)(滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù))整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.的值為0.005B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C.估計(jì)成績(jī)低于60分的有250人D.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分4.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)我國(guó)若干大型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到了從事芯片、軟件兩個(gè)行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個(gè)行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說法中不一定正確的是()A.芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過50%B.芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的“90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的25%C.芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多D.芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場(chǎng)崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多5.已知圓的半徑為2，過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，，那么的最小值為()A.B.C.D.6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A.B.C.D.7.已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝18.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)大于3的數(shù)據(jù)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失的數(shù)據(jù)可能是(

)A.5B.12C.18D.20二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.已知雙曲線－＝1(m>0)，則()A.離心率的最小值為4B.當(dāng)m＝1時(shí)，離心率最小C.離心率最小時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1D.離心率最小時(shí)雙曲線的漸近線方程為x±y＝010.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.與B.與C.與D.與11.白城一中組織全體學(xué)生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），如圖所示，畫出頻率分布直方圖，下列說法正確的是（

）

A.成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有46人B.圖中的值為C.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為9012.設(shè)直線：，：，下列說法正確的是()A.當(dāng)時(shí)，直線與不重合B.當(dāng)時(shí)，直線與相交C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，，，若過點(diǎn)A的直線l、直線BC及x軸正半軸y軸正半軸圍成的四邊形有外接圓，則該圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

．14.如圖①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥平面BCDE，如圖②.若點(diǎn)F是線段BE的靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A1F上的點(diǎn)，直線l過點(diǎn)B且垂直于平面BCDE，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為________.15.在平面直角坐標(biāo)系中，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，則的方程為

．16.設(shè)點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是

.四、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知直線與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的最小值；(2)求的最小值．18.已知x，y滿足＋≤1，求z＝y(tǒng)－3x的最值19.有4張面值相同的債券，其中有2張是中獎(jiǎng)債券．(1)有放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張都是中獎(jiǎng)債券的概率；(2)無(wú)放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張都是中獎(jiǎng)債券的概率；(3)有放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張中至少有1張是中獎(jiǎng)債券的概率；(4)無(wú)放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張中至少有1張是中獎(jiǎng)債券的概率<20.在雙曲線C：－＝1中，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)心為I.(1)求內(nèi)心I的橫坐標(biāo)；(2)已知A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F2與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若AM、AN的斜率k1、k2滿足k1＋k2＝－，求直線l的方程.21.如圖.在四棱錐中，底面是矩形，平面為中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.答案1.【正確答案】D由右焦點(diǎn)為F1(2，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，|AF1|＝＝3，三角形APF1的周長(zhǎng)的最小值為8，可得|PA|＋|PF1|的最小值為5，設(shè)F2為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，當(dāng)A，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF1|取得最小值，且|AF2|＝3，即3＋2a＝5，解得a＝1，所以c＝2，所以e＝＝2.2.【正確答案】A由題意可知：圓：的圓心為，若直線：平分圓：的面積，則直線：過圓心，可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：A.3.【正確答案】D對(duì)A，由題意頻率之和為1得，，解得，故A正確；對(duì)B，頻率分布直方圖中最高的一組即為眾數(shù)，∴由直方圖可得估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為分，故B正確；對(duì)C，由直方圖可得成績(jī)低于60分的頻率為，故估計(jì)成績(jī)低于60分的有人，故C正確；對(duì)D，由A可得區(qū)間的頻率分別為，因?yàn)椋?，故中位?shù)位于內(nèi).設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：D.4.【正確答案】C對(duì)于選項(xiàng)A，芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中“90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的55%，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的“90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的(37%＋13%)×55%＝27.5%，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)崗位的“90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的37%×55%＝20.35%，“80后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%，但從事技術(shù)崗位的“80后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不知道，無(wú)法確定二者人數(shù)多少，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，芯片、軟件行業(yè)中從事市場(chǎng)崗位的“90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的14%×55%＝7.7%，“80前”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的5%，故選項(xiàng)D正確．5.【正確答案】C設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故選：C.6.【正確答案】D表示直線上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，如圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以對(duì)稱點(diǎn)為，則,由圖知：的最小值為，故選：D.7.【正確答案】D設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以運(yùn)用點(diǎn)差法，即兩式相減，得+=0,變形得,即,所以直線AB的斜率k＝，設(shè)直線方程為y＝(x－3)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝＝2，又因?yàn)閍2－b2＝c2=9，解得b2＝9，a2＝18.8.【正確答案】C設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，則這七個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，眾數(shù)是3，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，解得；若，則中位數(shù)為5，此時(shí)，解得.綜上所述，丟失的數(shù)據(jù)可能是4，18.故選：C.9.【正確答案】CD由題意可得e2＝＝＝m＋，因?yàn)閙>0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝，即m＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1，漸近線方程是x±y＝0.10.【正確答案】AD對(duì)于A，AC∥A1C1，所以與的夾角即與的夾角，顯然為45°；對(duì)于B，與的夾角為135°；對(duì)于C，與的夾角為135°；對(duì)于D，與A同理，即與的夾角為45°.故選AD.11.【正確答案】BC對(duì)于A，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有人，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖表可知，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以設(shè)全校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)全校學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.【正確答案】BD對(duì)于A，時(shí)，若,,且時(shí)，兩直線：，：重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，聯(lián)立，可得,當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組有唯一一組解，故直線與相交，B正確；對(duì)于C，時(shí)，若，則無(wú)解，此時(shí)；若，則有無(wú)數(shù)多組解，此時(shí)重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由可得，即兩直線斜率之積等于，故；若,則可得，此時(shí)滿足，直線：，：，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，D正確，故選：13.【正確答案】(答案不唯一)當(dāng)過點(diǎn)A的直線與直線BC平行時(shí)，圍成的四邊形是等腰梯形，外接圓就是過，，的圓．設(shè)該外接圓的圓心坐標(biāo)為，則，，所以半徑，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)過點(diǎn)A的直線與BC垂直時(shí)，外接圓就是以線段AC的中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為.(答案不唯一)14.【正確答案】如圖建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(－2，2，0).設(shè)F(x0，y0，0)，則＝(x0，y0－3，0)，＝(－2，－1，0).由題知＝，∴即F.設(shè)P(x1，y1，z1)，則＝(x1，y1，z1－2)，＝，設(shè)＝λ，即(x1，y1，z1－2)＝λ，∴x1＝－λ，y1＝λ，z1＝2－2λ，即P.設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為P′，則P′(0，3，2－2λ)，點(diǎn)P到直線l的距離的平方||2＝λ2＋＝λ2－14λ＋9.由題知λ∈[0，1]，故當(dāng)λ＝時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，最小值為.15.【正確答案】圓，即，其圓心，又的圓心，根據(jù)題意可得直線為線段的垂直平分線，又，線段的中點(diǎn)，則直線的方程為，即.故答案為.16.【正確答案】如圖，作出圓，因點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，故可看成圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.考慮直線與圓相切時(shí)，設(shè)切線斜率為，則圓心到直線的距離為，解得，由圖知要使過原點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，需使直線傾斜角不小于切線的傾斜角，或不超過切線的傾斜角，故直線的斜率或，即的范圍為.故答案為.17.【正確答案】解(1)由整理得，，令，解得，即直線經(jīng)過定點(diǎn).不妨設(shè)直線的方程為，則有(*)由(*)和基本不等式可得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，的最小值為12；(2)因，由(1)得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.18.【正確答案】解z＝y(tǒng)－3x等價(jià)于y＝3x＋z，則z為直線y＝3x＋z在y軸上的截距，又＋≤1表示橢圓＋＝1及其內(nèi)部區(qū)域，所以當(dāng)直線y＝3x＋z與橢圓相切時(shí)，z可取到最大或最小值．將y＝3x＋z代入＋＝1，得169x2＋96zx＋16z2－400＝0.令Δ＝0,即-4169(16z2-400)=0，解得z＝±13.故z的最大值為13，最小值為－13.19.【正確答案】解(1)將4張面值相同的債券分別記作A，B，C，D，規(guī)定A，B是中獎(jiǎng)債券，則有放回地取出2張債券的所有結(jié)果列表如下：可見所有結(jié)果數(shù)共16種，取出的2張是中獎(jiǎng)的A債券和B債券的結(jié)果數(shù)有4種，故所求概率是＝.(2)我們知道，無(wú)放回地抽取可考慮順序，可不考慮順序．如果考慮順序的話，我們可以在(1)中的表格里去掉對(duì)角線上的(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)，得到的就是所有結(jié)果數(shù)，為12，當(dāng)然這個(gè)所有結(jié)果數(shù)還可以用樹狀圖法或列舉法得到，而取出的2張是中獎(jiǎng)的A債券和B債券的結(jié)果有2種，故所求概率是＝；如果不考慮順序的話，可以在(1)中的表格里要么只取對(duì)角線以上的幾種情況，要么只取對(duì)角線以下的幾種情況．這時(shí)可以看出所有結(jié)果數(shù)有6種，當(dāng)然結(jié)果數(shù)還可以用列舉法得到，而取出的2張是中獎(jiǎng)的A債券和B債券的結(jié)果只有1種，故所求概率是.(3)有放回地抽取，由(1)中的表格可以看出所有結(jié)果數(shù)是16，至少有1張中獎(jiǎng)的結(jié)果數(shù)是12，所以所求概率是＝.(4)無(wú)放回地抽取，借助(2)的分析解答，考慮順序的話所有結(jié)果數(shù)是12，至少有1個(gè)中獎(jiǎng)的結(jié)果數(shù)是10，所以此時(shí)的概率是＝；不考慮順序的話所有結(jié)果數(shù)是6，至少有1個(gè)中獎(jiǎng)的結(jié)果數(shù)是5，所以所求概率是.20.【正確答案】解(1)依題意，雙曲線C的焦點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，作出△PF1F2的內(nèi)切圓，I為圓心，切點(diǎn)分別為S，K，T，如圖，設(shè)點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為t，顯然IT⊥x軸，|PS|＝||，|F1S|＝|F1T|，|F2K|＝|F2T|，由雙曲線定義知4＝|PF1|－|PF2|＝(|PS|＋|F1S|)－(||＋|F2K|)＝|F1T|－|F2T|＝(t＋3)－(3－t)＝2t，解得t＝2，所以內(nèi)心I的橫坐標(biāo)為2.(2)點(diǎn)A(－2，0)，顯然直線l不垂直于x軸，否則由雙曲線對(duì)稱性得k1＋k2＝0，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：y＝k(x－3)，由