備戰(zhàn)2024高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(理)-第四章-三角函數(shù)與解三角形-第七節(jié)-解三角形應(yīng)用舉例

第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線

的角叫做仰角，目標視線在水平視線

的角叫做俯角(如圖1)．上方下方(2)方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°、北偏西45°、西偏北60°等．(3)方位角：指從正北方向

轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如點B的方位角為α(如圖2)．(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．順時針3．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為________km.4.某中學(xué)舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺E點和看臺的坡腳A點，分別測得旗桿頂部的仰角分別為30°和60°，量得看臺坡腳A點到E點在水平線上的射影B點的距離為10m，則旗桿的高是________m.重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)測量距離問題

[典例]如圖，某旅游景點有一座風景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個小時的時間進行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時1250m，請問：兩位登山愛好者能否在2個小時內(nèi)徒步登上山峰．(即從B點出發(fā)到達C點)[方法技巧]距離問題的解題思路這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．[提醒]

①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正弦、余弦定理要恰當．

重難點(二)測量高度問題

[典例]《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？用現(xiàn)代語言來解釋，其意思為：立兩個3丈高的標桿，之間距離為1000步，兩標桿與海島的底端在同一直線上．從第一個標桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼、標桿頂部和山頂三點共線；從后面的一個標桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼、標桿頂部和山頂三點也共線，則海島的高為(3丈＝5步) (

)A．1200步

B．1300步C．1155步

D．1255步[方法技巧]解決高度問題的注意事項(1)在解決有關(guān)高度問題時，理解仰角、俯角是關(guān)鍵．(2)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成解三角形問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用．若是空間的問題要注意空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化．

重難點(三)測量角度問題

[典例]兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的

(

)A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°[解析]由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖，B正確．[答案]

B[方法技巧]求解角度問題的3個注意事項(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點．

4.(鏈接生產(chǎn)生活)截至目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影．如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測旁邊山頂上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，該同學(xué)在公路D，E兩點處測得基站頂部A處的仰角分別為30°，45°，且∠DCE＝150°.該同學(xué)沿著公路的邊