積分第四章總結(jié)

第四章總復(fù)習(xí)積分積分不定積分定積分不定積分的概念不定積分的基本公式和法則不定積分的積分法定積分的定義定積分的幾何意義定積分的積分法原函數(shù)和不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系原函數(shù)族y=F(x)+C一個(gè)原函數(shù)不定積分(若F'(x)=f(x))積分曲線族y=F(x)+C一條積分曲線不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分)的關(guān)系無(wú)數(shù)常數(shù)所有原函數(shù)積分曲線族平行連續(xù)基本積分法正確選擇U和V基本積分公式第一換元法直接積分法分部積分法不定積分第二換元法定積分定積分的定義定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式定積分幾何意義例1

求積分解根據(jù)積分公式：例2

求積分解根據(jù)積分公式：例3

求積分解根據(jù)積分公式：第一類換元法（湊微分法）定理1設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有常見(jiàn)類型:例1（1）（2）解（1）解（2）例2

求解例3

求解第二類換元法定理設(shè)單調(diào)可微，且如果具有原函數(shù)，則有常用代換:例1

求解令例2

求解令分部積分法使用公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇選擇的原則:的原函數(shù)易求;(1)(2)新積分比原積分

易求常見(jiàn)類型:1.被積函數(shù)為等形式時(shí)，2.被積函數(shù)為等形式時(shí)，3.被積函數(shù)為等形式時(shí)，兩種選擇皆可。例1求積分分析若設(shè)顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解設(shè)對(duì)分部積分法運(yùn)用熟練后，設(shè)這一步，可省．例2求分析被積函數(shù)是冪函數(shù)與反正弦函數(shù)的乘積。

解

例3求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)反三角函數(shù)為.和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或例4

求積分解注意循環(huán)形式（1）分割（2）求和（3）取極限積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量定積分的幾何意義（1）如果函數(shù)在上連續(xù)且，等于以為曲邊的曲邊梯形的面積，即那么定積分aby=f(x)>0xy0Aaby=f(x)<0xy0A（2）如果函數(shù)在上連續(xù)且，那么定積分等于以為曲邊的曲邊梯形面積的相反數(shù)-A,或即abxyy=f(x)0（3）如果函數(shù)在上連續(xù),且時(shí)正時(shí)負(fù),則定積分等于以與直線所圍部分圖形面積的代數(shù)和,即牛頓---萊布尼茲公式關(guān)鍵：求出f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)．例解令當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0當(dāng)x＝4時(shí)，t＝2一.定積分的換元積分法定積分的分部積分公式