高等數(shù)學(xué)課件D33泰勒公式教學(xué)教案

二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用應(yīng)用目的－用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).理論分析近似計(jì)算泰勒公式

第三章特點(diǎn):一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x

的一次多項(xiàng)式1.求

n

次近似多項(xiàng)式要求:故令則公式①稱(chēng)為的n

階泰勒公式

.公式②稱(chēng)為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)

.泰勒(Taylor)中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)公式③稱(chēng)為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)

余項(xiàng)

.在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫(xiě)為注意到③④*

可以證明:④式成立特例:(1)當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見(jiàn)誤差稱(chēng)為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中麥克勞林公式其中麥克勞林公式麥克勞林公式類(lèi)似可得其中其中麥克勞林公式已知其中因此可得麥克勞林公式三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問(wèn)題的類(lèi)型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n

和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.例1.

計(jì)算無(wú)理數(shù)e的近似值,使誤差不超過(guò)解:已知令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為說(shuō)明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò)總誤差限為這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過(guò)因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.例2.

用近似公式計(jì)算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必達(dá)法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:+內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.2.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P142~P144)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)泰勒多項(xiàng)式逼近6422464224O泰勒多項(xiàng)式逼近642246O4224思考與練習(xí)

計(jì)算解:原式作業(yè)P1452;7;9(2);10(3)

泰勒

(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何