血管的三維重建培訓(xùn)課件

血管的三維重建（2001年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目）目錄問題的提出血管三維重建的背景問題分析模型的假設(shè)模型的建立及求解模型的檢驗問題的提出斷面可用于了解生物組織、器官等的形態(tài)。例如，將樣本染色后切成厚約1mm的切片，在顯微鏡下觀察該橫斷面的組織形態(tài)結(jié)構(gòu)。如果用切片機連續(xù)不斷地將樣本切成數(shù)十、成百的平行切片，可依次逐片觀察。根據(jù)拍照并采樣得到的平行切片數(shù)字圖象，運用計算機可重建組織、器官等準(zhǔn)確的三維形態(tài)。假設(shè)某些血管可視為一類特殊的管道，該管道的表面是由球心沿著某一曲線（稱為中軸線）的球滾動包絡(luò)而成。例如圓柱就是這樣一種管道，其中軸線為直線，由半徑固定的球滾動包絡(luò)形成。

問題的提出Z=1Z=0Z=99Z=98Z=49Z=50血管三維重建的背景這問題的來源于序列圖象的計算機三維重建。序列圖象的計算機三維重建是應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機技術(shù)在醫(yī)學(xué)與生物學(xué)領(lǐng)域的重要應(yīng)用之一；是醫(yī)學(xué)和生物學(xué)的重要研究方法，它幫助人們由表及里、由淺人深地認(rèn)識生物體的內(nèi)部性質(zhì)與變化，理解其空間結(jié)構(gòu)和形態(tài)。血管是血液流通的通路，其在生命活動中的重要性是眾所周知，診斷師在臨床中經(jīng)常需要了解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管可以看成是粗細(xì)均勻的管道，如何建立其數(shù)學(xué)模型是圖象三維重建的重要一環(huán)。血管三維重建的背景問題分析我們將說有100張切片按其在空間的位置疊加起來，已經(jīng)可以看到大體的血管的三維結(jié)構(gòu)。問題分析將100張圖片疊加在XOY平面，形成血管在XOY平面上的投影，可以看出血管是由一系列圓移動形成的。問題分析對于每一個切片，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：切片也是由一系列半徑不同的圓移動形成的。問題分析現(xiàn)在我們可以知道：血管可以看成無窮多個等徑并且圓心相距無窮小的球包絡(luò)面組成。因此，切片上的二維圖形就應(yīng)該是由無窮多個球被截的圓疊加而成。這些圓都是被截球的大圓或者小圓，其半徑有一極大值R，R同時也是球的半徑。這樣一個半徑R的圓是球心在切片平面內(nèi)的球被截而成的，其圓心為中軸線與切片平面的交點。假設(shè)，中軸線與每張切片有且只有一個交點，所以每一張切片圖上包含且只包含一個半徑為R的圓。我們只要找到這個圓，就可以定出中軸線與切片平面交點的坐標(biāo)，用這些交點坐標(biāo)我們可以建立起中軸線的空間形態(tài)。問題分析由以上分析，做出如下的判斷：每個切片中包含一系列滾球在平面上切出的圓，其中最大的圓為滾球半徑，圓心位于血管的中軸線上。血管中軸線在XOY上的投影為所有切片在XOY平面上疊加形成的陰影的中心線。在求得所有切片的最大圓圓心后，擬和這些點形成的曲線就是中軸線。重建后血管形狀應(yīng)和前面100張切片直接形成的形狀一致（用于進行模型的檢驗）。模型的假設(shè)血管粗細(xì)均勻，其表面由球心沿某一曲線〔稱為中軸線)且半徑固定的球滾動包絡(luò)而成。假設(shè)管道中軸線與每張切片有且只有一個交點，球半徑固定，切片間距以及圖像象素尺寸均為1。切點間距尺寸為1，則假設(shè)相繼切片間連續(xù)，即相繼的切片與中軸線的交點是連續(xù)的。模型的假設(shè)(更深一層次）血管粗細(xì)均勻的充要條件是各法截面圓之間不相交，這樣可保證各法截面圓周上的點全落在包絡(luò)面上(直觀地說，粗細(xì)均勻就是過中軸上的任意點P處用垂直于在P點切線方向的刀片切血管得到的截面是以P為圓心以固定的常數(shù)r為半徑的圓，稱此為過P點的法截面圓)。為此要求

滿足下列條件：中軸線上每一點處的曲率半徑大于r中軸線最窄處的寬度d大于2r中軸線兩端點處的法截面圓不相交。中軸線上最窄處的寬度d可以這樣決定：當(dāng)上兩點p，q的連線垂直于在這兩點處的切線時，或僅垂直在其中一點處的切線而另一點為的端點時，稱p，q為相關(guān)點對。

上可以沒有相關(guān)點對，也可以不止一對相關(guān)點對。如果上無相關(guān)點對，則認(rèn)為d為無窮大，否則取d為相關(guān)點對中的兩點間距離的最小值。模型的建立及求解通過以上分析，整個模型的建立分為兩個部分：滾球半徑的確定和中軸線的確定。確定滾球半徑的方法有很多：最笨也是最容易想到的方法就是枚舉的方法——求每張切片的圖象內(nèi)的最大內(nèi)切圓的圓心時，以位于圖象內(nèi)每一個象素為圓心作圓．遍歷所有象素點后再作確定。此種方法，思想簡單，程序簡單，但計算量大。1）平均法求出每張橫斷面團象內(nèi)的最大內(nèi)切圓半徑，再取r為它們的算術(shù)平均值。2)抽樣法由于已知滾動球半徑是常數(shù)，取前幾片切片圖象內(nèi)的最大內(nèi)切圓半徑的平均值為r的值。3)極大似然法在求得每一片切片圖象內(nèi)的最大內(nèi)切圓半徑后，進行統(tǒng)計，以出現(xiàn)頻率最大的值為r的值。模型的建立及求解為了減小搜索的區(qū)域，找到切片中血管所在的最小區(qū)域，然后在此區(qū)域里逐個象素的搜索。模型的建立及求解%先尋找最小區(qū)域[MN]=size(Im);xmin=1;xmax=N;forj=1:Nfori=1:Mif(Im(i,j)>0)xmax=j;break;endendendforj=N:-1:1fori=1:Mif(Im(i,j)>0)xmin=j;break;endendendymin=1;ymax=M;fori=1:Mforj=1:Nif(Im(i,j)>0)ymax=i;break;endendendfori=M:-1:1forj=1:Nif(Im(i,j)>0)ymin=i;break;endendend模型的建立及求解%在最小區(qū)域里搜索最大半徑rmin=1;rmax=min([(xmax-xmin)/2(ymax-ymin)/2]);flag=1;while(flag>0)R=(rmin+rmax)/2;[isR,Ox,Oy]=isneiqieyuan(Im,xmin,ymin,xmax,ymax,R);if(isR==1)rmin=R;OX=Ox;OY=Oy;elsermax=R;endD=abs(rmax-rmin);if(D<0.1)flag=0;R=rmin;endend模型的建立及求解模型的建立及求解確定中軸線的一些方法：平行切線法切片的圖象邊界上的兩點的連線如果同時垂直邊界在這兩點處的切線，則這兩點連線有可能是最大內(nèi)切圓的直徑。發(fā)現(xiàn)所有具有這樣性質(zhì)的點對，并檢驗之，以確定最大內(nèi)切圓的圓心。外推法利用中軸線的連續(xù)性，采用插值外推方法，根據(jù)前幾片已求得的最大內(nèi)切圓心位置，推斷出新的一片圖象包含最大內(nèi)切圓心的估計位置，然后經(jīng)過幾次迭代求得較正確的圓心位置。滾球法讓球在血管內(nèi)滾動，保證球與血管相內(nèi)切，逐個橫斷面地定出球心的位置。模型的建立及求解投影法將各切片的圖象疊加在XY平面上，形成血管在XY平面上的投影，其中心線是血管中軸線

在XY平面上的投影。類似地將血管向XZ平面(或YZ平面)投影，也可以求得中軸線

在XZ平面(或YZ平面)的投影。這樣做的參賽者為數(shù)不少。模型的建立及求解變換法切片圖象包含的最大內(nèi)切圓位置可以理解為圖象與固定半徑為r的圓的交的面積達到最大值時圖的位置，這可以通過幾何方法實現(xiàn)，也可以將其理解為圖象的與半徑r的圓的卷積達到最大值時的情況，可以運用傅里葉變換及其逆變換計算卷積，特別可以運用快速傅里葉變換的方法。模型的建立及求解值得提到的是：由于數(shù)據(jù)圖形（即切片圖形）為寬、高均為512個象素的圖像，所以數(shù)據(jù)精度最高為一個象素。上述的算法得到的結(jié)果卻為浮點形的數(shù)值，本身存在模型誤差，同時有浪費計算時間。應(yīng)用離散模型能一定程度的避免模型誤差。針對圖像的離散性質(zhì)，計算的時候也是使用象素精度，同時做圓的時候也使用Bresenham算法（詳見《計算機圖形學(xué)》）來做圓，盡可能的消除數(shù)字圖像所具有的鋸齒現(xiàn)象。模型的建立及求解模型的建立及求解得到的中軸線在各平面的投影：模型的建立及求解模型的建立及求解模型的建立及求解對數(shù)據(jù)點（中軸線坐標(biāo)）的擬和：在求得中軸線與各切片的交點的近似位置后．很多參賽者采用多項式的參數(shù)曲線進行擬合逼近，也有的采用參數(shù)樣條曲線進行擬合，這些方法都是可行的。但要注一點，如果直接擬和三維空間曲線，只能用參數(shù)曲線的形式；要用代數(shù)曲線的形式，只能分別對空間曲線在兩個正交坐標(biāo)平面上的投影進行擬和，然后將空間曲線表示成兩個柱面的交。模型的建立及求解F(x,y,z)=0或z=f(x,y)都表示曲面。

才表示空間曲線。我們可以簡單的用兩個柱面的交表示空間曲線，即模型的建立及求解模型的建立及求解參數(shù)曲線的形式：例如螺旋線：三次B樣條曲線：式中V1，V2，V3，V4為特征多邊形頂點，亦稱控制頂點；t為參數(shù)。模型的建立及求解模型的建立及求解模型的建立及求解重建后的血管三維圖像：模型的建立及求解模型的建立及求解簡易的血管三維圖形繪制效果模型的檢驗本題是應(yīng)該檢驗的，不檢驗只能說完成問題的一半。一方面，無論以何種方式建模，其過程都是近似計算，幾經(jīng)近似，效果如何，檢驗很必要；另一方面各血管的切面數(shù)據(jù)已知，按指定的空間位置放置，就能形成一段血管，完全可以作為檢驗的標(biāo)準(zhǔn)。不論用何種方法建立模型，對照給定血管的切片圖像數(shù)據(jù)，通過檢驗，發(fā)現(xiàn)模型的誤差，修正模型，可以提高模型的正確性。模型的檢驗檢驗的主要方法有：逐片比較運用求得的滾動球的半徑r