中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題23 梯子模型 （原卷版）

專題23梯子模型模型的概述：如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當(dāng)梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯子構(gòu)成圖形上的點的軌跡模型（圖2），就是所謂的梯子模型。圖1圖2【考查方向】已知一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，求線段最值問題。模型一：如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中點為P，連接OP、BP、OB，則當(dāng)O、P、B三點共線時，此時線段OB最大值。思路：∵OP+BP≥OB（三點共線時，取相等）∴OB≤OP+BP∴當(dāng)O、P、B三點共線時，此時線段OB取最大值OB=OP+BP=12AC+BC2+PC2即已知Rt?ACB中AC、BC的長，就可求出梯子模型中OB的最值。模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點A在邊OM上運動時，點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為P，連接OP、PD、OD，則當(dāng)O、P、D三點共線時，此時線段OD取最大值。思路：∵OP+PD≥OD（三點共線時，取相等）∴OD≤OP+PD∴當(dāng)O、P、D三點共線時，此時線段OD取最大值OD=OP+DP=12AB+AP2+AD2即已知矩形ABCD中AB、AD的長，就可求出梯子模型中OD的最值。【培優(yōu)過關(guān)練】1．如圖，，矩形在的內(nèi)部，頂點，分別在射線，上，，，則點到點的最大距離是（

）A． B． C． D．2．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時進行捕捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，，點，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點，點到，的距離分別為6和4，在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，一架長5m的梯子（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，這時梯子的頂端A距地面4m．梯子的正中間P點處有一只老鼠，梯子頂端A的正下方墻角O處有一只貓．下列說法錯誤的是（

）A．梯子的底端B到墻的距離為3mB．P處的老鼠離地面的距離為2mC．梯子頂端沿墻下滑的長度和梯子底端沿地面向右滑行的距離不一定相等D．梯子下滑的時候老鼠就會離貓越來越近4．如圖，有互相垂直的兩面墻，，梯子，兩端點A，B分別在兩面墻上滑動（長度不變），P為的中點，柱子，底端C到墻角O的距離為6m．在此滑動過程中，點D到點P的距離的最小值為_______m．5．已知AB=10的梯子斜靠在墻上，AC⊥BC，∠BAC=30°，當(dāng)梯子下滑到A′B′時，∠CA′B′=60°，記梯子的中點為M，則下滑的過程中，中點M運動的路程長是__________．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點C的坐標(biāo)；②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2）點C與點O的距離的最大值是多少cm．7．我們知道，圓可以看成到定點的距離等于定長的點的集合．我們又知道了在平面內(nèi)點與圓有三種位置關(guān)系．如圖1，點P在⊙O外，點A是⊙O上一個動點，連接PO交⊙O于點B，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點A與點B重合時，線段PA長最短．（1）利用圖1，說明PA>PB；（2）如圖2，一架10米長的梯子沿墻壁下滑，一只距離墻壁12米，距離地面5米的小鳥看到梯子的中點位置有食物，小鳥想用最短時間吃到食物，請在圖中畫出小鳥飛行的路徑，并計算出小鳥飛行的距離；（3）如圖3，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，直接寫出PA+PG的最小值．8．如圖（1）所示，一架長米的梯子斜靠在與地面垂直的墻壁上，梯子與地面所成的角為度.（1）求圖（1）中的與的長度;（2）若梯子頂端沿下滑，