中考數(shù)學二輪培優(yōu)訓練專題28 定弦定角(解析版)

專題28定弦定角模型的概述：因為同圓或等圓中等弦所對的圓周角相等，所以當弦的長度保持不變和弦所對應的角度大小固定時，動點的軌跡就是圓或者圓弧。如圖，已知AB為定線段，P為動點，且∠APB=α，則A、B、P三點必共圓，或稱為點P一定在以AB為弦的某一個圓上，且這個圓是固定的，圓心在線段AB的垂直平分線上，動點P的運動軌跡為關(guān)于線段AB對稱的圓弧上（①∠APB<90°，在線段AB對稱的優(yōu)弧上運動②∠APB>90°，在線段AB對稱的劣弧上運動），但不包括A、B兩點。定弦定角問題常應用于求線段的“最值”，問題的關(guān)鍵就在于找到運動過程中必存在的定線段，及這條線段關(guān)于某一動點的張角為定值，由張角的變化，去尋找這三點所構(gòu)成的定圓?！揪毩暋咳鐖D，已知AB=2，點C為動點，且∠ACB=30°、45°、60°，畫點C的運動軌跡，求△ABC外接圓半徑。【答案】圓心為兩邊垂直平分線交點?！鰽BC外接圓半徑根據(jù)垂徑定理自行求解。動點C的運動軌跡為關(guān)于線段AB對稱的優(yōu)弧上，但不包括A、B兩點。【提問】在△ABP中,∠P=α,AB=2x.1）求△ABP中AB邊所對的高的最值。2）求△ABP面積的最值?！咎崾尽窟@個模型就是我們所謂的定角定弦模型,也就是在一個三角形中一個角和它的對邊保持不變,在AB邊固定的同時,雖然∠P的大小不變,但頂點P的位置可以發(fā)生變化P,由于同弧所對的圓周角不變,故頂點P可以在△ABP的外接圓的BC這段弦所對的圓弧上運動（不包括B,C兩點）。當高線PD過圓心時有最大的高,即h≤OP1+OD.思路：作△ABP的外接圓圓O∵∠AP1B=α∴∠AOB=2α而△AOD≌△BOD∴∠AOD=∠BOD=αAD=BD=x在Rt△AOD中，AO=ADsinα=xsinαDO=AOPC≤P1D=OP1+OD=xsinα+xcosαsinα=xsinS△ABP=12?PC?AB≤12?P1D?AB=12?xsinα(1+cosα【培優(yōu)過關(guān)練】1．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，同一個圓中的兩條弦、相交于點E．若，，則與長度之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，以為邊作等邊，則，而，則E在的外接圓上運動，記，所在的圓為，連接，，，，證明，再證明，（當，，三點共線時取等號），再利用弧長公式進行計算即可．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，則，而，則E在的外接圓上運動，記，所在的圓為，連接，，，，∴，，∴，∵結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得：，（當，，三點共線時取等號），當時，半徑最小，此時半徑為，∴此時與的和最小，最小值為：．故選C．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應用，三角形外接圓的含義，圓周角定理的應用，弧長的計算，確定弧長和取最小值時圓心O的位置是解本題的關(guān)鍵．2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，作，垂足為，連接，點在移動的過程中，的最小值是______．【答案】【分析】先確定點H的運動軌跡，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得取最小值時，點H的位置，然后利用圓周角定理、線段的和差即可得．【詳解】如圖，設(shè)AD的中點為點E，則由題意得，點H的運動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上由點與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點H，則此時取得最小值，連接BDAB為半圓O的直徑故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、點與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識點，依據(jù)題意，確定點H的運動軌跡，從而得出BH取最小值時，點H的位置是解題關(guān)鍵．3．（2021秋·四川成都·九年級成都嘉祥外國語學校?？茧A段練習）如圖，在中，，，，過點作的平行線，為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為__________．【答案】2【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點E在以M為圓心，MB為半徑的上運動，連接MA交于E′，此時AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，,為定值，則點E的運動軌跡為一段圓弧如圖，點E在以M為圓心，MB為半徑的上運動，過點作∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，∵∠BCM=30°，BC=，∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時AE′的值最?。摺螦CB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．4．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，已知為等邊三角形，，將邊繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點E為上一點，且．連接，則的最小值為__________________．【答案】/【分析】過E作，交于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，進而得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到，得到，取的中點P，連接，可得點E在以H為圓心，為直徑的弧上運動，當B、E、H三點共線時，的長最小，過點B作于Q，利用勾股定理求出，即可得到的最小值．【詳解】解：如圖，過E作，交于H，為等邊三角形，，將邊繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，，，，，，，，取的中點P，連接，，即點H為的中點，，，點E在以H為圓心，為直徑的弧上運動，為定值2，當B、E、H三點共線時，的長最小，過點B作于Q，為等邊三角形，，，，，，即的最小值為故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校?？家荒＃┤鐖D，是邊長為6的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線與直線交于點F，若點D在內(nèi)，，則______；現(xiàn)將繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段長度的最小值是______．【答案】75【分析】第一個問題證明，推出，可得．第二個問題，如圖1中，設(shè)交于點T．證明，推出點F在的外接圓上運動，當最小時，的值最小，此時，求出可得結(jié)論．【詳解】解：∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．如圖1中，設(shè)交于點T．同法可證，∴，∵，∴，∴點F在的外接圓上運動，當最小時，的值最小，此時，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案為：75，．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，軌跡，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀緦W習心得】小雯同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖，在中，，，D是外一點，且，求的度數(shù)．若以點A為圓心，AB長為半徑作輔助圓，則C，D兩點必在上，是的圓心角，是的圓周角，則．(1)【初步運用】如圖，在四邊形中，，，求的度數(shù)；(2)【方法遷移】如圖，已知線段和直線，用直尺和圓規(guī)在上作出所有的點，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)【問題拓展】①如圖，已知矩形，，，為上的點．若滿足的點恰好有兩個，則的取值范圍為______．②如圖，在中，，是邊上的高，且，，求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)①；②【分析】（1）如圖所示，取中點E，連接，，則，即可得到A、B、C、D在以E為圓心，為半徑的圓心，則；（2）先作等邊三角形，再以O(shè)為圓心，的長為半徑畫弧與直線l的交點即為所求；（3）①如圖所示，在上截取一點F使得，連接，以為直徑作圓O，過點F作交于E，過點O作交于H交圓O于G，過點G作圓O的切線分別交，于K、Q，則當時滿足題意，據(jù)此求解即可；②如圖所示，作的外接圓，過圓心O作于E，于F，連接，，，則四邊形是矩形，分別求出、即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，取中點E，連接，，∵，E為的中點，∴，∴A、B、C、D在以E為圓心，為半徑的圓心，∴；（2）如圖所示，、即為所求；（3）①如圖所示，在上截取一點F使得，連接，以為直徑作圓O，過點F作交于E，過點O作交于H交圓O于G，過點G作圓O的切線分別交，于K、Q，則四邊形為正方形∵四邊形是矩形，∴，∴B在圓O上，，∴，∵OH⊥EF，∴，∴，∴，∴，∴，即．②如圖所示，作的外接圓，過圓心O作于E，于F，連接，，，則四邊形是矩形∵，∴，在直角中，∴，∵OE⊥BC，∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？【初步思考】(1)如圖1，是的弦，，點、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則______°，______°．(2)如圖2，是的弦，圓心角，點P是上不與A、B重合的一點，求弦所對的圓周角的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）____________．【問題解決】(3)如圖3，已知線段，點C在所在直線的上方，且，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點C所組成的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．【實際應用】(4)如圖4，在邊長為的等邊三角形中，點E、F分別是邊、上的動點，連接、，交于點P，若始終保持，當點E從點A運動到點C時，點P運動的路徑長是______．【答案】(1)，(2)或(3)見詳解(4)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補即可得到答案；（2）根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補即可得到答案；（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得對角為，根據(jù)圓心角等于圓周角兩倍即可得到圓心角為畫出圓心角即可得到圓心與半徑再畫圓弧即可得到答案；（4）根據(jù)題意易得，即可得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：，；（2）解：當點P在優(yōu)弧上點為，在劣弧上的點為，∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，綜上所述：弦所對的圓周角的度數(shù)為或；（3）解：∵，∴AB所在直線的下方點M，存在，即A、B、P、M四點共圓，作垂直平分線交于點N，以點N為圓心為半徑畫下圓弧交垂直平分線于一點即為圓心O點，以O(shè)為圓心為半徑畫圓??；如圖所示，滿足條件的點C所組成的圖形為以O(shè)為圓心、OA為半徑的．（4）解：由題意可，∵三角形是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴點P的路徑是以為弦的圓弧，∴弦所對圓周角為，圓心角為，半徑為，∴點P運動的路徑長是：．【點睛】本題考查了動點問題，涉及到了輔助圓的知識、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半、一條弦所對的圓周角相等或互補、圓內(nèi)接四邊形對角互補、尺規(guī)作圖——作垂線等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到定角，確定動點軌跡．8．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交x軸于點，，D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標為，交直線l：于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當時，求點P的坐標；（3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標t的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）運用待定系數(shù)法將，代入，即可求得答案；（2）利用配方法可求得拋物線頂點坐標，由得，再根據(jù)與的面積相等，可得，故點F分別是AP、ED的中點，設(shè)，，結(jié)合中點坐標公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當點P與點B重合時，點Q與點O重合，此時t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，以為圓心，為半徑作，交拋物線對稱軸于點，過點作軸于點H，運用勾股定理即可求得答案，②當點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線對稱軸于點M，連接OM，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點E，運用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：（1）拋物線交x軸于點，，將A、B坐標分別代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線的表達式為：；（2）如圖，D是拋物線的頂點，拋物線的表達式為：，，交直線l：于點E，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標為，，設(shè)，，又的面積為，的面積為，，，，，即點F分別是AP、ED的中點，又，，，，由中點坐標公式得：，解得：（與“”不符，應舍去），，，，；（3）①當點P與點B重合時，點Q與點O重合，此時t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則，，以為圓心，為半徑作，交拋物線對稱軸于點，過點作軸于點H，則，，，，，②當點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線對稱軸于點M，，經(jīng)過點C，連接OM，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點E，則，，，，，綜上所述，．【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查代數(shù)計算問題，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圓的相關(guān)知識，屬于壓軸題類型．9．（2023·陜西西安·?？级＃發(fā)現(xiàn)]如圖（1），為的一條弦，點在弦所對的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)（填“變”或“不變”）；若，則．愛動腦筋的小明猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，的大小確定，那么點是不是在某一個確定的圓上運動呢？[研究]為了解決這個問題，小明先從一個特殊的例子開始研究．如圖（2），若，直線上方一點滿足，為了畫出點所在的圓，小明以為底邊構(gòu)造了一個等腰，再以為圓心，為半徑畫圓，則點在上．請根據(jù)小明的思路在圖中完成作圖（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）．后來，小明通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結(jié)論，即：若線段的長度已知，的大小確定，則點一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．[應用]（1）如圖（3），，平面內(nèi)一點滿足，則面積的最大值為．（2）如圖（4），已知正方形，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過點作于點，點是的內(nèi)心．①；②連接，若正方形的邊長為2，求的最小值．【答案】[發(fā)現(xiàn)]不變，75[研究]補全圖形如圖1所示，見解析[應用]（1）（2）①135②【分析】[發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，直接得出答案，利用圓周角定理求出；[研究]先作出的垂直平分線，再以垂足為圓心，的一半為半徑確定出圓心，即可得出結(jié)論；[應用]（1）先確定出的外接圓的半徑，再判斷出點到的最大距離為3，即可得出結(jié)論；（2）①先確定出，再判斷出，，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；②先作出的外接圓，進而求出外接圓的半徑，進而判斷出最小時，點的位置，最后構(gòu)造直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)]根據(jù)圓周角性質(zhì)，的度數(shù)不變，∵，∴，故答案為：不變，；[研究]補全圖形如圖1所示，[應用]（1）如圖2，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，∵，∴，∵，∴，過點作于，∴，在中，設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理得，即，解得或（舍去），∴，，∵點到的最大距離為，∴．故答案為：；（2）①∵，∴，∴，∵點是的內(nèi)心，∴，分別是和的角平分線，∴，，∴；故答案為：；②如圖3，作的外接圓，圓心記作點，連接，，在優(yōu)弧上取一點Q，連接，，則四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，連接，與相交于點此時，是的最小值，過點作于，，交的延長線于，則四邊形是正方形，∴，∴，在中，，∴．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，理解題意，正確構(gòu)造出所需圓是解本題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學?？家荒＃締栴}提出】如圖1，為的一條弦，點C在弦所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，的大小確定，那么點C是不是在某個確定的圓上運動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段上方一點C滿足，為了畫出點C所在的圓，小芳以為底邊構(gòu)造了一個，再以點O為圓心，為半徑畫圓，則點C在上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結(jié)論．即：若線段的長度已知，的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應用】(1)若，平面內(nèi)一點C滿足，若點C所在圓的圓心為O，則__________，劣弧的長為__________．(2)如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過點E作于點F，若點P是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長為4，求的最小值．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過作,求得，進而求得，根據(jù)可求得，根據(jù)即可求出劣弧的長度；（2）①根據(jù)已知條件可得，證明，即可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過作交的延長線于點，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，根據(jù)勾股定理即可求得，，從而求得最小值．【詳解】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過作,，，，，，，，∴劣弧的長為故答案為：，；（2）①，，，點是的內(nèi)心，平分，，，，，，∴；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過作交的延長線于點，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓心為，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，，設(shè)優(yōu)弧所對的圓心角優(yōu)角為，則，，，，，，，四邊形是正方形，∴，，，∵，，，，．的最小值為．【點睛】本題考查了“定弦定角”模型，圓周角定理，解直角三角形，線段最短距離，勾股定理正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·廣西南寧·九年級?？茧A段練習）【問題提出】如圖1，為的一條弦，點在弦所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，的大小確定，那么點是不是在某個確定的圓上運動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段上方一點滿足，為了畫出點所在的圓，小芳以為底邊構(gòu)造了一個，再以點為圓心，為半徑畫圓，則點在上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結(jié)論．即：若線段的長度已知，的大小確定，則點一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應用】（1）若，平面內(nèi)一點滿足，若點所在圓的圓心為，則________，半徑的長為________．（2）如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過點作于點，若點是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長為，求的最小值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過作,求得，進而求得，根據(jù)即可求得；（2）①根據(jù)已知條件可得，證明，即可求得；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過作交的延長線于點，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，根據(jù)勾股定理即可求得，，從而求得最小值．【詳解】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過作,，，，，，，，故答案為：；（2）①，，，點是的內(nèi)心，平分，，，，，；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過作交的延長線于點，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓心為，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，，設(shè)優(yōu)弧所對的圓心角優(yōu)角為，則，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，．的最小值為．【點睛】本題考查了“定弦定角”模型，圓周角定理，解直角三角形，線段最短距離，勾股定理正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．12．（2023·吉林長春·?？级＃┤鐖D，在中，，，，點P在邊上（點P與點C不重合），連結(jié)，過點C作射線于點Q．(1)當點Q在內(nèi)部時，求長的取值范圍．(2)連結(jié)，則長的最小值為．(3)當是等腰三角形時，求的面積．(4)當時，直接寫出的長．【答案】(1)(2)(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)題意得：當點Q在內(nèi)部時，，求出時，的長，即可；（2）根據(jù)射線，可得點Q在以為直徑的圓上運動，如圖，取的中點O，連接，，則當點A，Q，O三點共線時，最短，即可；（3）分兩種情況討論：當時；當時，即可求解；（4）分兩種情況討論：當點Q在內(nèi)部時；當點Q在外部時，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：當點Q在內(nèi)部時，，∵，，，∴，當，即時，有，∴，解得：，∴，∴當點Q在內(nèi)部時，長的取值范圍為；（2）解：∵射線，∴，∴點Q在以為直徑的圓上運動，如圖，取的中點O，連接，，則當點A，Q，O三點共線時，最短，∴，，∴，即長的最小值為；故答案為：（3）解：當時，此時點Q為的中點，∴，如圖，過點B作于點D，由（1）得：，∴，∴；當時，設(shè)交圓O于點E，連接，∵為圓O的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；∴；綜上所述，當是等腰三角形時，的面積為或；（4）解：如圖，當點Q在內(nèi)部時，設(shè)交圓O于點F，連接，∵為圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；如圖，當點Q在外部時，設(shè)交圓O于點F，連接，∵為圓O的直徑，∴，，∵，∴，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·重慶江津·九年級校聯(lián)考期中）在△中，，，為上一點．(1)如圖1，過作于，連接．若平分，，求的長；(2)如圖2，以為直角邊，點為直角頂點，向右作等腰直角三角形△，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，取線段的中點，連接．猜想、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，連接，將△沿翻折至△處，在上取點，連接，過點作交于點Q，交于點，連接，若，，當取得最小值時，求△的面積．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過D作于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明是等腰直角三角形，求出，，的長度，也是等腰直角三角形，求出的長，再求出的長，用勾股定理求出即可；（2）延長至點G，使得，連接，證明，，N是線段的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)得出，即可證明．（3）連接，過點F作于點P，交于點S，則垂直平分，再證明是等腰直角三角形，再證得，可得，從而得到，，可得得到是等邊三角形，，∴點G在以為直徑的圓上，取的中點O，連接，交圓O于點G，則此時最小，過點G作于點T，則，再由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可．【詳解】（1）解：如圖，過D作于F，平分，，，，，中，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得，；（2）解：，理由如下：延長至點G，使得，連接，是等腰直角三角形，，，，，，又，，，又，N是線段的中點，是的中位線，，；（3）解：如圖，連接，過點F作于點P，交于點S，則垂直平分，，即，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，是等邊三角形，，即，點G在以為直徑的圓上，取的中點O，連接，交圓O于點G，則此時最小，過點G作于點T，則，，，，，，的面積為．【點睛】本題考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圖形翻折變換的性質(zhì)，圓周角定理等，正確畫出輔助線及熟練掌握幾何相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在邊長為8的等邊三角形中，為的中點，分別為上任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點，連接．(1)如圖1，點與點重合，且的延長線過點，證明：四邊形是菱形；(2)如圖2，的延長線交于點，當時，求的度數(shù)；(3)如圖3，為的中點，連接為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）邊三角形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等邊三角形，得到，再證明，得，，從而得是等邊三角形，得到，則有，即可得出結(jié)論；（2）過點E作，交于H，連接，證是等邊三角形，得到，不規(guī)則證明，得到，然后利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)求解即可；（3）先求出，由折疊知，，則點是在以點E為圓心，為半徑的上，再由旋轉(zhuǎn)可知，，所以點G在以的中點為端點，與互相垂直平分的線段上，所以的最小值為，要使最小，則最大，又點F為上的點，所以點F在點D或點A時，最大，即最大，最大值為，即可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，即，由旋轉(zhuǎn)可得，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴∵為的中點，是等邊三角形，，∴，，∴，∴∴是等邊三角形，∴，∴∴四邊形是菱形；（2）解：過點E作，交于H，連接，如圖，∵是等邊三角形，∴∵∴，，∴是等邊三角形，∴，由（1）可知，，∵為的中點，等邊三角形，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，

設(shè)，則，，∴∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：解：∵點E是的中點，∴，∴，由折疊知，，∴點是在以點E為圓心，為半徑的上，由旋轉(zhuǎn)可知，，∵點F為上的點，∴點G在以的中點為端點，與互相垂直平分的線段上，∴的最小值為，要使最小，則最大，∵點F為上的點，∴點F在點D或點A時，最大，即最大，如圖，最大值為，∴線段長度的最小值為．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，本題屬三角形綜合題目，有一定難度，屬中考試壓軸題