中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題29 阿基米德折弦定理（解析版）

專題29阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：一個圓中一條折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，AB>BC，點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D,則AD=DB+BC，AB-BC=2DB。證明過程：（方法一：截長補(bǔ)短法-截長）在AD上取一點(diǎn)E，使AE=BC,連接AM、EM、BM、CM∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC在△AEM和△CBM中AM=MC∠EAM=∠BCM(同弧所對的圓周角相等)AE=BC∴△AEM≌△CBM∴EM=BM又∵M(jìn)D⊥BE∴DE=DB則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB（方法二：截長補(bǔ)短法-截長）在AD上取一點(diǎn)E，使DE=DB,連接AM、EM、BM、CM則EM=BM∠BEM=∠MBE∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC∴∠MAC=∠MCA∵∠MCA=∠MBA∴∠AMC=∠EMB則∠AME=∠BMC在△AEM和△CBM中AM=MC∠AME=∠BMCEM=BM∴△AEM≌△CBM∴AE=BC則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB（方法三：截長補(bǔ)短法-截長）在AD上取一點(diǎn)E，使DE=DB,連接AM、EM、BM、CM延長EM交圓O于點(diǎn)F，連接AF、FC則EM=BM而∠BAF=∠BMF∴∠MBE=∠MEB=∠AEF=∠AFE∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC∠MFC=∠MBA∴∠MEB=∠MFC則AB∥FC∴BC=AF=AE則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB（方法四：截長補(bǔ)短法-補(bǔ)短）延長AB至點(diǎn)E，使BE=BC∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC∠MAC=∠MBA∵∠MBC+∠MAC=180°∠MBA+∠MBE=180°∴∠MBC=∠MBE在△MBC和△MBE中MB=MB∠MBC=∠MBEBE=BC∴△MBC≌△MBE∴MC=ME而AM=MC∴AM=ME又∵M(jìn)D⊥AE∴AD=DE則AD=DE=DB+BE=DB+BC（方法五：截長補(bǔ)短法-補(bǔ)短）(僅思路)過點(diǎn)M作BC垂線交BC延長線于點(diǎn)E，并連接AM、BM、CM∵M(jìn)D⊥ABME⊥EC∴∠MDA=∠MDB=∠MEC=90°而AM=MC∠MAB=∠MCB∴△MAD≌△MCE∴MD=MEAD=CE∴△MDB≌△MEB∴BE=DB則AD=EC=BE+BC=DB+BC（方法六：截長補(bǔ)短法-補(bǔ)短）(僅思路)在AD上取一點(diǎn)E，使DE=DB,連接AM、EM、BM、CM延長BC至點(diǎn)F，使AB=BF,則∠BAF=∠BFA，連接AF交圓O于點(diǎn)G,連接CG∵∠ABC=∠AMCAMMC=ABBF∴△AMC∽△ABF∴∠MAC=∠BAF∴∠CAG=又∵∠MAC=∠MBA∠BAF=∠BFA∴∠MBE=∠BFA又∵∠BCG+∠GCF=180°∠BCG+∠BAG=180°∴∠GCF=∠BAG∴∠GCF=∠MEB∴△BME≌△FGC∴BE=CF而AB=BF∴AE=BC則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB或AB-BC=BF-BC=CF=BE=2DB（方法七：作輔助圓法）(僅思路)連接AM、CM，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M,延長AB交⊙M于點(diǎn)E，連接CE在⊙O中，∠ABC=∠AMC在⊙M中，∠AMC=2∠AEC∴∠ABC=2∠AEC又∵∠ABC=∠BCE+∠BEC∴∠BCE=∠BEC則BC=BE∵在⊙M中DM⊥AE∴AD=DE則AD=DE=DB+BE=BC+DB【培優(yōu)過關(guān)練】1．阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點(diǎn)M是上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】延長ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，從而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性質(zhì)列式可求BE的長度，從而可求得AE的長度．【詳解】解：延長ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，如圖，∵BC為⊙O的直徑，MD⊥BC于點(diǎn)D，∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM又∠BMF=∠FAB∴∠BFM=∠FAB∴∠BFE=∠FAB∵∠EBF=∠FBA∴△BFA∽△BEF∴即∴BE=∴AE=4-=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出輔助線，得出三角形相似．2．定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝_____°．【答案】60°．【分析】連接OA、OC、OE，由已知條件，根據(jù)阿基米德折弦定理，可得到點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即,進(jìn)而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，則∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.【詳解】解：如圖2，連接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關(guān)鍵是掌握題中給出的關(guān)于阿基米德折弦定理的內(nèi)容并進(jìn)行應(yīng)用.3．閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．小明認(rèn)為可以利用“截長法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接任務(wù)：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，(2)就圖3證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先證明，進(jìn)而可得，即可得到解答；（2）由（1）可知，，整理等式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取C，連接，∵是的中點(diǎn)，∴在和中，∴，∴∵，∴∴；（2）證明：在中，，在中，，由（1）可知，，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子，在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容．前蘇聯(lián)在1964年根據(jù)阿爾·比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．【定理內(nèi)容】一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．【定理模型】如圖①，已知AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，那么從M向弦BC作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明的部分證明過程：如圖②，延長DB至點(diǎn)F，使，連接MF，AB，MC，MA，AC，…【定理證明】按照上面思路，寫出剩余部分的證明過程．【問題解決】如圖③，內(nèi)接于，已知，D為上一點(diǎn)，連接AD，DC，，，求的周長．【答案】[定理證明]見解析；[問題解決]【分析】[定理證明]證明，則，再證明，則，可得；[問題解決]過點(diǎn)A作交于E，可得為等邊三角形，則，根據(jù)阿基米德折線定理，，即可求的周長為．【詳解】[定理證明]證明：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[問題解決]解：過點(diǎn)A作交于E，∵，，，∴，，∴為等邊三角形，∴，根據(jù)阿基米德折線定理，，∴的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，理解阿基米德折線定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程證明：如圖2，在上截取，連接，，和是弧的中點(diǎn)，∴，……(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為______.(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點(diǎn)，連接，，，，求的周長.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理，即可證明結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，根據(jù)阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，．在和中，，，又，，．（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為故答案為：．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作，由阿基米德折弦定理得：，∵∴∴，∴的周長為【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，理解“截長法”是解答本題的關(guān)鍵．6．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點(diǎn)，，又，，，，又，，即．

(1)【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為5，則AD＝．【答案】(1)1(2)；證明見解析(3)或【分析】（1）由“問題呈現(xiàn)”結(jié)論可求解；（2）在上截取，連接、、、，由“”可證，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由“問題呈現(xiàn)”結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，即，，，．（2）解：．證明：在上截取，連接、、、，是弧的中點(diǎn)，，，又，，，，又，，，即．（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是圓的直徑，，，圓的半徑為5，，，，，．當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，，同理易得．綜上所述：的長為或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是本題的關(guān)鍵．7．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則；(2)【定理證明】阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】(3)如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】(4)如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，且滿足，若，，則．【答案】(1)3(2)見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出，再由所給的定義求出的長即可；（2）在上截取，連接、、、，可證明，得到，再由垂徑定理得到，則有，即可證明是折弦的中點(diǎn)；（3）仿照（2）的方法，在上截取，連接、、、，證明，可得到；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出．【詳解】（1）解：是的切線，為切點(diǎn)，，，，，，，是折線段的中點(diǎn)，，故答案為：3；（2）證明：在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（SAS），，，，，是折弦的中點(diǎn)；（3）解：，理由如下：如圖，在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（SAS），，，，，；（4）解：是的直徑，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；綜上所述：的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．8．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則______；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，且滿足，若，，則______________．【答案】（1）3；（2）證明見解析；（3）；（4）或【分析】（1）根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出，再由所給的定義求出的長即可；（2）在上截取，連接、、、，可證明，得到，再由垂徑定理得到，則有，即可證明是折弦的中點(diǎn)；（3）仿照（2）的方法，在上截取，連接、、、，證明，可得到；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出．【詳解】解：（1）是的切線，為切點(diǎn)，，，，，，，是折線段的中點(diǎn)，，故答案為：3；（2）證明：在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，是折弦的中點(diǎn)；（3），理由如下：在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，；（4）是的直徑，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖5，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；綜上所述：的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．9．請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．這個定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接MA，MB，MC．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．…任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，，連接AD，則的周長是______．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）先證明，進(jìn)而得到，再證明，最后由線段的和差解題；（2）連接CD，由阿基米德折弦定理得，BE=ED+AD，結(jié)合題意得到，由勾股定理解得，據(jù)此解題．【詳解】證明：（1）是的中點(diǎn)，在與中，與中，；（2）如圖3，連接CD等邊三角形ABC中，AB=BC由阿基米德折弦定理得，BE=ED+AD故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．【答案】（問題呈現(xiàn)）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運(yùn)用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實(shí)踐應(yīng)用）7或．【分析】（問題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；（實(shí)踐應(yīng)用）已知∠D1AC＝45°，過點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．【詳解】（問題呈現(xiàn)）①相等的弧所對的弦相等②同弧所對的圓周角相等③有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等故答案為：相等的弧所對的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案為：1；（變式探究）DB＝CD+BA．證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，∵M(jìn)是弧AC的中點(diǎn)，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（實(shí)踐應(yīng)用）如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．因?yàn)锳B＝6，圓的半徑為5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，過點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的長為7或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧.11．閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．問題背景：在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問題，其中有這樣一個問題：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．(1)如圖2，牛牛同學(xué)嘗試運(yùn)用“截長法”說明“”，于是他在CD上截取，連接MA，MB，ME，MC．請根據(jù)牛牛的思路完成證明過程；(2)如圖3，在中，，，若，則AE的長度為_______．【答案】(1)見詳解(2)2【分析】（1）正確解讀題意，證，即可證明；（2）根據(jù)（1）的思路即可求解；【詳解】（1）解：在中∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)在和中（2）如圖，在BC上截取，連接MB，MA，MD，MC．在中∵在和中，故答案是：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、三角形的全等，掌握相關(guān)知識，正確解讀題意是解本題的關(guān)鍵．12．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長法”和三角形全等來證明CD＝AB+BD，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC，…(1)請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長度為_________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，求BDC的周長．【答案】(1)見解析(2)3(3)8+8【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；（2）在AC上截取CF=AB，連接BD、CD、AD、DF，證明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AE=EF，由此得到AE；（3）首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進(jìn)而求出DE的長即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．又∵BA=GC，∠A=∠C，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）在AC上截取CF=AB，連接BD、CD、AD、DF，∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，∴△DCF≌△DBA（SAS），∴DF=AD，又∵DE⊥AC，∴AE=EF，∵CF=AB=4，AC=10，∴AE=3；（3）解：如圖3，在BD上截取BF=CD，連接AF，AD，CD，由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，則CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE=AB=4，則△BDC的周長=2BE+BC=8+8．故答案為：8+8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．13．問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實(shí)踐應(yīng)用：（1）如圖3，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為BE=CE+ACBE=CE+AC；（2）如圖4，已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為上一點(diǎn)，連接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于點(diǎn)E，△BCD的周長為4+2，BC=2，請求出AC的長．【答案】(1)見解析;(2)4【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結(jié)論；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出CE=B